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1、一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质,第三节 正定二次型与正定矩阵,二、正(负)定二次型的概念,为正定二次型,为负定二次型,例如,为不定二次型,证明,充分性：,故,三、正(负)定二次型的判别,必要性：,故,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的特征值全为正,推论对称矩阵 为负定的充分必要条件是：的特征值全为负,定理3,充分性,必要性,若 A 为正定矩阵，则 A 的特征值全大于零且存在,正
2、交矩阵 C，使得,这个定理称为霍尔维茨定理,定理4 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,二次型正定的充要条件,(2)正惯性指数为 n；,(3)A 的特征值全部大于零；,(4)A 与 I 合同；,n 元实二次型 正定(或 n 阶实对称阵 A,正定)的充要条件是下列条件之一：,二次型正定的必要条件,(5)A的各阶主子式为正.,例1,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知A是正定矩阵，,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,例5（矩阵正定的必要条件）,正定矩阵具有
3、以下一些简单性质,故 均为正定阵。,证明 均为正定阵。,已知 A、B 为正定阵，M 为可逆阵，,例6,即 A 对称且 A 与 I 合同，,故 A 为正定矩阵。,若存在可逆对称矩阵 B，使得,使得,证明 A 为正定矩阵的充要条件是存在可逆对称矩阵 B，,例7,则,必要性,若 A 为正定矩阵，则 A 的特征值全大于零且存在,其中，,正交矩阵 C，使得,满足 且,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导,测试题,一、填空题(每小题4分，共32分),二、计算题（共40分）,三、证明题（共20分）,四、（8分）设二次型,经正交变换 化成,测试题答案,
