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1、2023年10月27日星期五,1,第六节 傅立叶级数,第十章,(Fourier Series),一、三角级数 三角函数系的正交性,二、函数展开成傅立叶级数,三、正弦级数和余弦级数,四、周期为2 l的周期函数的傅立叶级数,五、小结与思考练习,2023年10月27日星期五,2,一、三角级数 三角函数系的正交性,(Trigonometric series),简单的周期运动:,(谐波函数),(A为振幅,复杂的周期运动:,令,得函数项级数,为角频率,为初相),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,2023年10月27日星期五,3,证:,同理可证:,正交,上的积分等于 0.,即其中任意两个不同的函数
2、之积在,定理 1 组成三角级数的函数系,2023年10月27日星期五,4,上的积分不等于 0.,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,2023年10月27日星期五,5,二、函数展开成傅立叶级数,(Expanding to Fourier series),定理 2 设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且,右端级数可逐项积分,则有,证:由定理条件,对在,逐项积分,得,2023年10月27日星期五,6,(利用正交性),类似地,用 sin k x 乘 式两边,再逐项积分可得,2023年10月27日星期五,7,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶
3、级数.,称为函数,2023年10月27日星期五,8,设 f(x)是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有,x 为间断点,其中,(证明略),为 f(x)的傅里叶系数.,x 为连续点,注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,定理3(收敛定理,展开定理),2023年10月27日星期五,9,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,上的表达式为,解:先求傅里叶系数,将 f(x)展成傅里叶级数.,例1,2023年10月27日星期五,10,机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束,2023年10月27日星期五,11,1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数的部分和逼近,f(x)的情况见右图.,说明:,2023年10月27日星期五,12,上的表达式为,将 f(x)展成傅里叶级数.（由课本 例2改编）,解:,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,例2,2023年10月27日星期五,13,说明:当,时,级数收敛于,2023年10月27日星期五,14,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,其它,定义在,上的函数 f(x)的傅氏级数展开法,2023年10月27日星期五,15,级数.（自学课本例4）,则,解:将 f(x)延拓成以,展成
5、傅里叶,2为周期的函数 F(x),例3 将函数,2023年10月27日星期五,16,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x=0 时,f(0)=0,得,说明:,2023年10月27日星期五,17,设,已知,又,2023年10月27日星期五,18,三、正弦级数和余弦级数,1.正弦级数和余弦级数的概念,定理4 对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,(Sine series and cosine series),2023年10月27日星期五,19,的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成
6、傅里叶级数.（课本例6）,是周期为2 的周期函数,它在,解:若不计,周期为 2 的奇函数,因此,例4 设,2023年10月27日星期五,20,n1,根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f(x)的情况见右图.,n5,2023年10月27日星期五,21,展成傅里叶级数.,解:,是周期为2 的,周期偶函数,因此,例5 将周期函数,（课本 例7）,2023年10月27日星期五,22,2023年10月27日星期五,23,周期延拓 F(x),f(x)在 0,上展成,周期延拓 F(x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f(x)在 0,上展成,2.函数展开为正弦级
7、数或余弦级数,2023年10月27日星期五,24,分别展成正弦级,数与余弦级数.（课本例8）,解:先求正弦级数.,去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,例6 将函数,2023年10月27日星期五,25,注意:,在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数,因此得,f(x)=x+1 的值不同.,2023年10月27日星期五,26,将,则有,作偶周期延拓,再求余弦级数.,2023年10月27日星期五,27,说明:令 x=0 可得,即,2023年10月27日星期五,28,2023年10月27日星期五,29,四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数,周期为 2l 函数 f(x),周期为 2 函数 F(z),变量
8、代换,将F(z)作傅氏展开,f(x)的傅氏展开式,2023年10月27日星期五,30,设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f(x)的连续点处),其中,定理5,2023年10月27日星期五,31,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,(在 F(z)的连续点处),变成,是以 2 为周期的周期函数,证明:令,2023年10月27日星期五,32,其中,令,(在 f(x)的 连续点处),证毕,2023年10月27日星期五,33,其中,(在 f(x)的连续点处),如果 f(x)为偶函数,则有,(在 f(x)的连续点处),其中,注:无论哪
9、种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里叶级数,收敛于,如果 f(x)为奇函数,则有,说明:,2023年10月27日星期五,34,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有,例8 把,2023年10月27日星期五,35,作偶周期延拓,则有,(2)将,2023年10月27日星期五,36,说明:此式对,也成立,由此还可导出,据此有,（自行练习课本 例1011）,2023年10月27日星期五,37,方法1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法:,当函数定义在任意有限区间上时,2023年10月27日星期五
10、,38,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数,方法2,2023年10月27日星期五,39,展成傅里叶级数.,解:令,设,将F(z)延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.,由于F(z)是奇函数,故,则它满足收敛定,例9 将函数,（课本例12）,2023年10月27日星期五,40,内容小结,1.周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意:若,为间断点,则级数收敛于,2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,2023年10月27日星期五,41,3.在 0,上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓,展开为正
11、弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,为正弦 级数.,4.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f(x)为奇 函数时,(偶),(余弦),5.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,2023年10月27日星期五,42,课外练习,习题106 1；2(1)；3(2)；4；6,思考练习,1.在 0,上的函数的傅里叶展开法唯一吗?,答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.,傅氏级数的和函数.,2.写出函数,答案:,2023年10月27日星期五,43,处收敛于,则它的傅里叶级数在,在,处收敛于.,提示:,设周期函数在一个周期内的表达式为,3.,2023年10月27日星期五,4
12、4,又设,求当,的表达式.,解:由题设可知应对,作奇延拓:,由周期性:,为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域,4.设,2023年10月27日星期五,45,数展式为,则其中系数,提示:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),的傅里叶级,5.,2023年10月27日星期五,46,是以 2 为周期的函数,其傅氏系数为,则,的傅氏系数,提示:,令,6.设,2023年10月27日星期五,47,立叶级数,并由此求级数,(91 考研),解:,为偶函数,因 f(x)偶延拓后在,展开成以2为周期的傅,的和.,故得,7.,2023年10月27日星期五,48,得,故,2023年10月27日星期五,49,傅里叶(176
13、8 1830),法国数学家.,他的著作热的解析,理论(1822)是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分.,最卓越的工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响.,2023年10月27日星期五,50,狄利克雷(1805 1859),德国数学家.,对数论,数学分析和,数学物理有突出的贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法的数学家.,函数 f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.,他的主要,的创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集(1889一1897)中.,1829年他得到了给定,证明,
