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1、数列极限收敛数列极限函数极限,3 函数的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,S=,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,例如,二、数列的定义,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,数列是整标函数,f(n)具有函数的一些性质：如单调性xn+1 xn、有界性xnM，等。,注:,三、数列的极限,n=19,n=32,n=42,n=50,问题:,1)当 n 无限增大时,x n 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,2)“无限接近”意味着什么
2、?如何用数学语言刻划它.,通过演示实验的观察:,随着n的增加，1/n会越来越小。例如,我们可用两个数之间的距离来刻化两个数的接近程度.,只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。,引入符号和N来刻化无限靠近和无限增大。,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注:,几何解释:,其中,数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。,例1,证,所以,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).,例3,证,例4,证,思考,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有
3、成立,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大”的值,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,定理1（唯一性）每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,1.3.2 收敛数列的性质,有界性,例如,有界；,无界。,定理2 收敛的数列必定有界.,证,由定义,有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,注:,例5,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,定理3（保号性）,定理4 四项基本运算,定理5（保不等性）若,使得,定理6.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广
4、到函数的极限,例1,解,由夹挤定理得,定理7.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),1.3.3 函数极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限,特例：通过上面演示实验可观察到:,问题:,如何用数学语言刻划当 x 无限增大，函数 f(x)“无限接近”确定值A.,1、定义,2.另两种情形,3.几何解释,例1,证,2.自变量趋向有限值时函数的极限,几何解释,注：,例2,证,例3,证,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,例5,证,3.单侧极限,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,例7,解,左右极限存在且相等,定理10.局部 有界性,定理9.唯一性,定
5、理11局部保号性,推论,定理,定理12、极限运算法则,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,定理15.复合函数极限性质,定理,设函数u=(x)在x0的某个去心领域U(x0,)内(x)a,但是则复合函数f(x)当xx0时的极限也存在,且,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.,三、小结,函数极限的统一定义,(见下表),四、小结,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,思考,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,(1),三、两个重要极限,例3,解,3)设 u=arcsinx x0时u0,(2),首先证明,类似地,x与n同时趋向+,用变量代换可求出,例4,解,例5,解,思考题,求极限,思考题解答,
