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,第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,重积分的应用,1.能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法(元素法),分布在有界闭域上的整体量,3.解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的方法,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积 V.,解:曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在 xoy 面上的投影为,(记所围域为D),在点,例1.求曲面,例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解:在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素),则,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,例3.计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A.,
