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1、一 曲线的参数方程,第二讲 参数方程,如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100 m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？,问题探究,A,v=100m/s,如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100 m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？,问题探究,x,y,O,A,v=100m/s,-500,如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100 m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应
2、如何确定投放时机呢？,问题探究,M,x,y,O,A,v=100m/s,-500,1.参数方程的概念,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数,1.参数方程的概念,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数,并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.,参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个与物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.,练习：
3、指出下列参数方程中的参数,例1.,2、参数方程和普通方程的互化,将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系那么 就是曲线的参数方程。,例2、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,（2）把 平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。,所以,代入,1.将下列参数方程化为普通方程：,(1),(2),（1）（x-2）2+y2=9,（2）y=1-2x2（-1x
4、1）,（3）x2-y=2（X2或x-2）,步骤：（1）消参；（2）求定义域。,练一练,2.求参数方程,表示,（）,（A）双曲线的一支，这支过点（1，,）：,（B）抛物线的一部分，这部分过（,1，,）；,（C）双曲线的一支，这支过点（1，,）；,（D）抛物线的一部分，这部分过（1，,）,分析,一般思路是：化参数方程为普通方程,求出范围、判断。,解,x2=,=1+sin=2y，,普通方程是x2=2y，为抛物线。,，又02，,0 x,，故应选（B）,说明,这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法,是最好的方法。,例3,解（1）把 带入椭圆方程，得到 于是由参数 的任意性，可取因此椭圆的参数方程为（为参数）
5、,思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,因此椭圆的参数方程为,x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,曲线y=x2的一种参数方程是（）.,注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,在y=x2中，xR,y0，,分析:,发生了变化，因而与 y=x2不等价；,在A、B、C中，x,y的范围都,而在中，,且以,练一练,小结,圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点的位置呢？,3.圆的参数方程概念,圆周运
6、动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点的位置呢？,3.圆的参数方程概念,如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M(x,y)，那么t.设|OM|r，那么由三角函数定义有,即,讲授新课,这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).,讲授新课,讲授新课,考虑到t，也可以取为参数，于是有,这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程.其中参数的几何意义是OM0绕点O旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.,圆心是(a,b),半径是r的圆的参数方程是什么呢？,例1、已知圆方程x2+y2+2x-6
7、y+9=0，将它化为参数方程。,解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，,参数方程为,(为参数),练习.,(1)(x1)2y24上的点可以表示为,A.(1cos,sin)B.(1sin,cos)C.(12cos,2sin)D.(1 2cos,2sin),(),练习.,(1)(x1)2y24上的点可以表示为,A.(1cos,sin)B.(1sin,cos)C.(12cos,2sin)D.(1 2cos,2sin),(),D,练习.,的圆心为_，半径为_.,练习.,的圆心为_，半径为_.,(4,0),练习.,的圆心为_，半径为_.,(4,0),2,解:设M的
8、坐标为(x,y),可设点P坐标为(4cos,4sin),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,例1.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,参数方程的应用,(1)参数法求轨迹方程,解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,由中点坐标公式得:点P的坐标为(2x-12,2y),(2x-12)2+(2y)2=16,即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4,点P在圆x2+y2=16上,例1.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐
9、标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,例2.已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0 上动点，求（1）x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。,解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为,由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），,（1）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).,x2+y2 的最大值为14+2，最小值为14-2。,（2）.参数法求最值,(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）,x+y的最大值为5+，最小值为5-。,(3),显然当sin（+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。,1.已知点P(x，y)是圆x2y22y上的动点.(1)求2xy的取值范围；(2)若xya0恒成立，求实数a的取值范围,巩固练习,小结,(1)圆x2y2r2的参数方程为,(2)圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为,
