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1、第一部分 实验指导书,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,1,3.1 函数的简单函数表示,一、实验目的 1理解Taylor公式的意义；2认识Taylor公式的地位和作用；3了解较复杂函数的简单函数表示。,二、实验使用的软件 Mathematica 5.0或以上版本.,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,2,三、实验的基本理论及方法1Taylor公式11带皮亚诺余项的Taylor公式,设函数,在,处,阶可导,则,.,特别地,，即得Maclaurin公式,.,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,3,12
2、带拉格朗日余项的Taylor公式,设函数,且,则,其中,介于,与,之间.,特别地,，即得Maclaurin公式,其中,介于,与,之间.,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,4,2幂级数展开 给定函数f(x)及任意一点x0是否能找到一个幂级数，在其收敛区间内的和函数恰好就是给定的函数f(x)呢？如果能找到这样的幂级数，我们就说f(x)在x0能展开成幂级数，而该幂级数就称为f(x)的在该点处的幂级数展开式。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,5,3傅里叶级数展开 对波的研究在物理学和工程技术中显得非常重要，它反映了物质作周期运动的运
3、动规律，我们常常用一个以T为周期的周期函数f(t)=f(t+T)来描述它。而简谐振动是最简单的一种周期运动，其运动规律为y=Asin(t+)，其中y表示动点的位置，t表示时间，A表示振幅，是初相，为角频率.那么其它的波能否用无穷多个简谐波的叠加来表示是傅里叶级数所要解决的问题。若函数f(x)是以2 为周期的周期函数，且在区间-,上连续或只有有限个第一类间断点，而且只有有限个极值点（上述条件称为狄里克雷充分条件），则有,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,6,（1）当,是,的连续点时，,(1),其中的系数,由式（2）确定,(2),其中，式(1)的右端称为函数f(x
4、)的傅立叶级数；式（2）称为傅立叶系数公式。,（2）当x是f(x)的间断点时，傅立叶级数收敛于,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,7,四、实验材料,1.编写Mathematica程序，从图象上观察多项式与函数的接近或逼近 在同一坐标系里分别作出各次多项式函数与函数y=sinx的图象。观察这些多项式函数的图象向y=sinx的图象逼近的情况。,2.构造多项式与函数逼近,设多项式函数,与函数,f(x)逼近，则,对f(x)分别构造各阶（例如一阶、二阶、十五阶）Maclaurin或Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计
5、学系,2023/10/27,8,3.傅立叶级数 分别取n=20,30,画出函数,在区间-3,3上的图象，观察正弦波的叠加。Mathematica没有专门的命令将一个周期函数进行傅里叶级数展开，但我们可以通过下列的程序将一个以2为周期的周期函数展开成有限阶不带任何余项的傅里叶级数 n=Input“n=”;fx_=Inputfx=L=(1.0/Pi*NIntegratefx,x,-Pi,Pi;Fori=1,i=n,i+,L=L+(1.0/Pi)*NIntegratefx*Cosi*x,x,-Pi,Pi*Cosi*x+(1.0/Pi)*NIntegratefx*Sini*x,x,-Pi,Pi*Sin
6、i*x;L 编辑一个程序从图形上演示傅里叶级数逐步逼近锯齿波、锯齿波的过程。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,9,本实验做几件事？实验目的是什么？（解读实验指导书）,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,10,思 考?,2.编写实验程序；明确实验思路。（制订实验计划）,第二部分 实验指导书解读 与实验计划制订,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,11,一、实验指导书解读 本实验主要做两方面的工作：一是从使用多项式函数局部逼近函数到函数的幂级数展开，理解Maclaurin(Taylor)多项式函数局
7、部逼近于函数，而Maclaurin(Taylor)级数并不整体等于函数。二是从若干个简谐波的叠加来观察一般波的构造从而理解傅里叶级数。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,12,二、实验计划1、多项式函数的局部逼近11程序 函数、在区间 上图象可用如下Mathematica程序画出 fx_=expr;gx_=Sinx;Plotf,g，x，a，b,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,13,12实验思路 例1.1 在同一坐标系里分别作出多项式函数，和函数 的图
8、象观察这些多项式函数的图象向 的图象逼近的情况思考：哪些多项式函数能与 逼近？在什么范围内逼近？,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,14,思考：哪些多项式函数能与 逼近？在什么范围内逼近？一般地，观察一类多项式能与哪一个函数在什么范围内逼近。,例1.2在同一坐标系里分别作出多项式函数,和函数 的图象观察这些多项式函数的图象向 的图象逼近的情况,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,15,2、Maclaurin(Taylor)级数的整体表示21程序函数 的 阶Maclaurin公式构造的Mathematica计算程序如下n=n0;f
9、x_=expr;ax,k_=Dfx,x,k/k!;Tablea0,k,k,0,n;px_,n=Suma0,k*xk,k,0,n 阶Maclaurin公式当 时的Mathematica程序gx_:=Suma0,k*xk,k,0,Infinity,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,16,阶Maclaurin公式当 时的近似函数(取)与对应函数比较的Mathematica程序 hx_:=Suma0,k*xk,k,0,1001；Plotfx,hx，x，a，b,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,科学出版社,南通大学理学院计算科学
10、与统计学系,2023/10/27,17,函数 关于 的 阶Taylor公式构造的Mathematica计算程序如下n=n0;x0=x0;fx_=expr;ax,k_=Dfx,x,k/k!;Tableax0,k,k,0,n;px_,n=Sumax0,k*(x-x0)k,k,0,n,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,18,22实验思路 例2.1 构造函数sinx的5、7、9、11、13、15阶Maclaurin公式，观察函数sinx的各阶Maclaurin公式与sinx的逼近程度；观察n阶Maclaurin公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。取x
11、0=1对sinx分别构造一阶、二阶、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围；观察n阶Taylor公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。再取x0=/3对sinx分别构造一阶、二阶、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围；观察n阶Taylor公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,19,例2.3 设，构造Maclaurin公式；观察阶数；从图象观察逼近程度与范围。例2.4 设，构造Maclaurin公式；观察阶数；从图象观察逼近程度与范围。,科学出版社,南通大学理学院计算
12、科学与统计学系,2023/10/27,20,3、周期函数的傅里叶级数31程序下列的程序将一个以2 为周期的周期函数展开成有限阶不带任何余项的傅里叶级数 n=Input“n=”;fx_=Inputfx=L=(1.0/Pi*NIntegratefx,x,-Pi,Pi;Fori=1,i=n,i+,L=L+(1.0/Pi)*NIntegratefx*Cosi*x,x,-Pi,Pi*Cosi*x+(1.0/Pi)*NIntegratefx*Sini*x,x,-Pi,Pi*Sini*x;L,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,21,32实验思路 例3.1 分别取 画出函数
13、在区间 上的图象当 时，这个函数趋向于什么函数?Mathematica程序是：,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,22,fx_,n_:=SumSink*x/k,k,1,n,2Plotfx,10,x,-2Pi,2Pi,例3.2 编辑一个程序从图形上演示傅里叶级数逐步逼近锯齿波 的过程 分别取 观察各阶傅里叶和式及其函数本身的图形。尤其观察函数不连续点处各阶傅里叶和式的数值变化趋势。例3.3 编辑一个程序从图形上演示傅里叶级数逐步逼近三角波的过程 分别取 观察各阶傅里叶和式及其函数本身的图形。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,2
14、3,第三部分 实验过程演示,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,24,例1.1,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,25,实验观察：由奇次幂构成的多项式函数才可能与函数y=sinx逼近，其中,这类多项式与函数y=sinx逼近效果最好；随着多项式次数升高，逼近范围渐进扩大。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,26,第四部分 实验报告(部分),科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,27,一、实验指导书解读(略)二、实验计划(略)三、实验过程与结果 1、多项式函数的局部逼近
15、 实验1.1 在Mathematica5.0上输入如下程序 fx_=x;gx_=Sinx;Plotfx,gx，x，-1，1,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0运行结果为,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,28,在程序中把多项式x分别替换其它多项式运行程序，有如下结果(结果省略).,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,29,实验观察：由奇次幂构成的多项式函数才可能与函数y=sinx逼近，其中,这类多项式与函数y=sinx逼近效果最好；随着多项式次数升高，逼近范围渐进扩大。,科学出版社,南通大
16、学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,30,四、实验总结 1.如果函数在x=x0(x=0)处具有n阶导数，多项式函数可能与函数局部逼近，其中某一函数的Maclaurin（Taylor）多项式与此函数逼近效果最好，而且随多项式次数升高(不超过n次)，逼近范围渐进扩大。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2023/10/27,31,2023/10/27,32,南通大学理学院计算科学与统计学系,科学出版社,2023/10/27,南通大学理学院计算科学与统计学系,33,I want to thank you for being a part of my life.,下课啦,科学出版社,
