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1、第七节,二、第二型线积分,三、第二型面积分,第二型线积分与面积分,一、场的概念,一、场的概念,从数学的观点看，给定了一个函数就相当于给定了一个场。若此函数是数量值函数时，称为数量场；若此函数是向量值函数则为向量场。,一般地，我们把分布着某种物理量的平面或空间区域称为场。在数学上表现为定义在某一区域上的数量值函数或向量值函数。,当这个函数为数量值函数时，称为数量场；当这个函数为向量值函数时，称为向量场。例如温度场、高度场、电位场是数量场；力场、速度场、磁场等为向量场。,这样的函数称为场函数，函数的定义域称为场域。,若场不仅与位置有关，而且也与时间有关，则称其为非定常场，或时变场。分别记为u(M,
2、t)或A(M,t).,如果场的物理量仅与点M的位置有关，不随时间变化，那么这种场称为定常场或稳定场。,或向量场分别记为u(M)或A(M).,视场是数量场,本节我们仅讨论定常场。,我们知道，给定了一个场，在数学上也给定了一个函数。对于一个平面或空间的数量场,或,相应的二元函数或三元函数可以分别通过等值线或等值面来几何表示。,例7.1 高度场的等高线.,例7.2 电位场的等值面.,设有带电量为q的点电荷，则在空间形成一个电位场。若建立坐标系，并将此点电荷放在坐标原点，则电位场可以表示为,等值面是宏观了解数量场分布的一种方法。对数量场微观的研究主要是研究函数 u=u(M)在各点沿各个方向变化的快慢程
3、度，以及沿什么方向变化最大等，即讨论它的方向导数和梯度。,无论是数量场还是向量场，我们都需要从宏观和微观两个方面去研究它们。,为了对向量场进行比较深入的研究，需要首先讨论第二型线积分和面积分。,二、第二型线积分（对坐标的曲线积分）,1.第二型线积分的概念,首先我们看一个具体的例子,引例:变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求质点移动过程中变力所作的功W.,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法:,1)“大化小”.,把L分成 n 个小弧段,所做的功为,则,2)“常代变”,有向小弧段,近似代
4、替,则有,用有向线段,3)“近似和”,4)“取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),定义.,第二型线积分的向量形式为,在直角坐标系下可以表示成坐标形式。,2.第二型线积分的性质,即对坐标的曲线积分与积分弧段的方向有关.,3.对坐标的曲线积分的计算法,光滑曲线L的参数方程是,特殊情形,的一段.,例2.计算,其中L 为沿抛物线,从点,例3.计算,其中 L 为,(1)半径为 a 圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取 L 的方程为,则,则,例4.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3
5、)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,例4的结果显示，对于某些第二型线积分，其积分值取决于起点和终点，与路径无关，这是一个重要而有趣的性质。什么样的第二型积分具有这样的性质呢？我们将在后面下一节讨论。,4.两类曲线积分之间的联系,则,由上式看到，可把有方向的第二型线积分化为无方向的第一型线积分。,其中,特别,注意：,二者夹角为,例6.设,曲线段 L 的长度为s,证明,续,证:,设,说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,三、第二型面积分,1.有向曲面及曲面元素的投影,曲面的分类:,（1）双侧曲面;,曲面分内侧和外侧,曲面分上侧和下侧,曲面分左侧和右侧,双侧曲面的特
6、征：规定了此曲面在一点P处法向量的指向后，当点在曲面上连续移动而不越过其边界再回到原来位置时，法向量的指向不变。,莫比乌斯带,典型的单侧曲面,（2）单侧曲面.,单侧曲面的特征：规定了此曲面在一点P处法向量的指向后，当点在曲面上连续移动而不越过其边界再回到原来位置时，法向量的指向改变。,对于双侧曲面，我们把确定了法向量指向的曲面称为有向曲面。,其方向用法向量指向表示:,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,设 为有向曲面,侧的规定,其曲面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,引例 设
7、稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,分析:若 是面积为S 的平面闭区域,则流量,法向量:,流速为常向量:,流量即为斜柱体的体积.,2、第二型面积分的概念,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,稳定流动的不可压缩流体的,速度,进行分析可得,则,注意：有的书也把dxdy写成dxdy.但应注意它不同于直角坐标系下二重积分的面积微元。这里的dxdy包含符号（取决于曲面法线的侧）.,上式右端是第二型面积分的坐标表示,因此第二型面积分也称为对坐标的面积分。,上式是三个积分的组合，他们也可以单独出现。,存在条件:,物理意义:,在单位时间内流向指定侧的流体的体
8、积.,3.性质:,其中等式两端的积分曲面同侧。,关于对坐标的曲面积分，必须注意积分曲面所取的侧.,4、对坐标的曲面积分的计算法,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧,则,计算时应注意以下两点,一投,二代,三定号,解,例3,1:x=02:y=03:z=04:x+y+z=1,解:,5、两类曲面积分的联系,两类曲面积分之间的联系：,利用两类曲面积分之间的关系可简化曲面积分计算,例4.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,机动 目录 上页
9、 下页 返回 结束,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,联系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
