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1、2023/10/29,1,第二节 函数的求导法则,二、反函数的导数,三、复合函数的导数,四、初等函数的求导问题,五、小结思考判断题,一、四则运算求导法则,第二章,2023/10/29,2,思路:,(构造性定义),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,2023/10/29,3,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,且,下面证明,并同时给出相应的推论和例题.,2023/10/29,4,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设,则,故结论成立.,2023/10/29,5,(2),证:设,则
2、有,故结论成立.,推论:,(C为常数),2023/10/29,6,例1.,解:,2023/10/29,7,(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),2023/10/29,8,例2.求证,证:,类似可证:,2023/10/29,9,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,2023/10/29,10,例3.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,利用,则,2023/10/29,11,2)设,则,小结:,2023/10/29,12,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.
3、,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时),故有,2023/10/29,13,例4.求 y=sin x2 的导数.,解,设 y=sinu u=x2,例5.求 的导数.,解 设,2023/10/29,14,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,2023/10/29,15,例6.求下列导数:,解:(1),(2),(3),说明:类似可得,2023/10/29,16,例7.设,求,解:,思考:若,存在,如何求,的导数?,练习:设,2023/10/29,17,例8.设,解:,记,则,(反双曲正弦),其它反双曲函数
4、的导数见 P94例16.,的反函数,2023/10/29,18,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数(P94),2023/10/29,19,2.有限次四则运算的求导法则,(C为常数),3.复合函数求导法则,4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,2023/10/29,20,例9.,求,解:,例8.,设,求,2023/10/29,21,例10.,求,解:,关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,2023/10/29,22,例11.设,求,2023/10/29,23,例12.,分段函数求导时,分界点导数用左右导数
5、求.,解,2023/10/29,24,例13.,练习：,解,2023/10/29,25,内容小结,求导公式及求导法则(见 P94),注意:1),2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,1.,思考与练习,对吗?,2023/10/29,26,2.设,其中,在,因,故,阅读 L.P 51 例1,正确解法:,时,下列做法是否正确?,在求,处连续,2023/10/29,27,3.求下列函数的导数,解:(1),(2),或,2023/10/29,28,4.设,求,解:方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,2023/10/29,29,作业,P 96 2(2),(8),(10);3(2),(3);4;6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);10;11(4),(8);12(3),(8),(10),
