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1、第四节,一元复合函数,求导法则,内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(全导数公式),推广:,1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全
2、导,叉路偏导,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,验证解的问题中经常遇到,下列例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见,引入记号,例4.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫
3、做全微分形式不变性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,两边对 x 求导,回顾,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.方程,解:令,则,求,两边对
4、x 求偏导,同样可得,则,解法1 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,解法2 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,例2.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,解法3.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,解法2.利用公式,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,解法3.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,由d y,d z 的系数即可得,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,公式 目录 上页 下页 返回
5、结束,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.,雅可比 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,二元线性代数方程组解的公式,例4.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习:求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,故有,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、隐函数(组)求导方法,方法1.
6、利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.代公式;,方法3.利用微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,1.已知,求,解:由,两边对 x 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别由下列两式确定:,又函数,有连续的一阶偏导数,3.设,解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得,(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得,因此,4.设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得,(99考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可得,练 习 题,练习题答案,
