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1、2023/11/2,1,【教育类精品资料】,2023/11/2,2,6.4 定积分的应用,第六章,（Applications of Definite Integral）,二、定积分在几何学上的应用,一、定积分的元素法,三、思考与练习,2023/11/2,3,一、定积分的元素法,1.什么问题可以用定积分解决?,表示为,1)所求量 U 是与区间a,b上的某分布 f(x)有关的,2)U 关于区间 a,b 具有可加性,即可通过,“大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定义,一个整体量;,2023/11/2,4,第一步 利用“化整为零,以常代变”求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“积零为整,无限累
2、加”求出整体量的,积分表达式,这种分析方法称为元素法(或微元法),元素的几何形状常取为:,条、带、段、环、片、壳 等,近似值,精确值,2.如何应用定积分解决问题?,2023/11/2,5,定积分在几何学上的应用,1.平面图形的面积,2023/11/2,6,2023/11/2,7,2023/11/2,8,解:利用对称性,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a=b 时得圆面积公式,例3 求椭圆,2023/11/2,9,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,2.平行截面面积为已知的立体的体积,2023/11/2,10,轴旋转一周围成的立体体积时,特别地,当考虑连续曲线段,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,2023/11/2,11,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:（方法1）利用直角坐标方程,则,(利用对称性),例4 计算由椭圆,2023/11/2,12,内容小结,1.掌握定积分的元素法，并会应用元素法来解决一些几何方面的问题。,2.定积分几何学上的应用,（1）平面图形面积（直角坐标系）,（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体）,
