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1、第七章 应力和应变分析 强度理论,7.1 应力状态概述,一、问题的提出,轴向拉压：,扭转：,强度条件,弯曲：,工字形截面梁腹板与翼缘交结点的应力：,正应力,切应力,两者均较大,如何分析该点的强度,？,研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：,1.了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。,2.在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度
2、理论-theory of strength,failure criterion)的基础。,本章将研究.平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态)的概念；.平面应力状态和三向应力状态下的应力应变关系广义胡克定律(generalized Hookes law)，以及这类应力状态下的应变能密度(strain energy density)；.强度理论。,二、一点应力状态的概念,轴向拉伸：,应力单元体,可见：同一点不同截面上的应力情况是不同的。,同一点所有截面上的应力情况集合,称为一点的应力状态,单元体（Element）,1.每个面上应力均匀分布；,2.相互平行的面上应力相同
3、；,点,3.通过研究单元体不同斜截面上的应力来分析该点的应力状态。,三、一点应力状态的表示,应力状态的研究方法:,1.选取一个单元体（含几个应力已知的特殊面），这个过 程常称为一点应力状态的描述。,2.研究通过一点的不同截面上的应力变化情况，就是应力状态分析。,同一点所有截面上的应力情况集合,称为一点的应力状态,应力状态的几个概念：,主平面：,切应力为零的平面；,主应力：,过一点主平面上的正应力；,主方向：,主平面的法线方向。,三、一点应力状态的表示（续）,过一点某单元体上各面的应力已知，则过该点其它面上应力也就完全确定了。,可以证明:,四、应力状态分类：,可以证明：通过受力构件内的任一点，一
4、定存在三个互相垂直的主平面。,对应三个主应力：,按其代数值大小排列：,三向（空间）应力状态:,单向应力状态,纯剪应力状态,应力状态分类：,二向（平面）应力状态:,7.2 二向和三向应力状态的实例,1、二向应力状态实例1,圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用,圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。,二向应力状态实例2,7.3 二向应力状态分析,解析法,1.任意一点二向应力状态的表示方法,法线平行于 x 轴面上正应力和切应力,法线平行于 y 轴面上正应力和切应力,第一个角标 x 表示切应力作用面的法 线方向；,第二个角标 y 表示切应力的方向。,应力的正负号规
5、定：,正应力以拉为正，压为负；,切应力对单元体中任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；,2.平面应力状态任意斜截面上的应力,：拉应力为正：顺时针转动为正：逆时针转动为正,n:,t:,考虑到,化简整理求得：,平面应力状态任意斜截面上应力计算公式,表明：若x、y、xy已知，则、完全可确定。,2.平面应力状态任意斜截面上的应力(续),3、极值应力及主应力,则 取极值,便可以确定正应力和剪应力的极值,确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在平面,3、极值应力及主应力(续),（1）正应力极值、主应力,能使 的截面上恰好,所在平面即为主平面,3、极值应力及主应力(续)
6、,（2）切应力极值,确定两个相互垂直的平面：,一个是最大切应力所在平面，另一个是最小切应力所在平面,最大、最小切应力所在平面与主平面夹角为45o,一、应力圆,7.4 二向应力状态分析,图解法,（2）,圆周坐标值代表应力单元体中任意斜截面上的应力,应力圆莫尔(Mohr)圆,一、应力圆(续),应力圆实际上可如图a所示作出，亦即使单元体 x 截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力sy,ty(取ty=-tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s 轴的交点C为圆心，并且以 或 为半径作圆得出。,用应力圆求任意斜截面上的应力,几种对应关系：,点面对应应力圆上点的坐标值对应微元某
7、一斜面上的 正应力和切应力；,二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,用应力圆求极值应力和主应力,（2）切应力极值,（1）正应力极值、主应力,用应力圆求主平面位置,B,A,c,a 单向拉伸应力状态的应力圆,b 纯剪切应力状态的应力圆,B,E,例1：分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大切应力值。,单位：MPa,解：(一)使用解析法求解,(二)使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出：,例3：求图示应力状态的主应力和最大剪应力(应力单位为Mpa)。,解：,
8、例:各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。,13.6 广义胡克定律,纵向应变：,横向应变：,13.6 广义胡克定律,纵向应变：,横向应变：,广义胡克定律：,对于二向应力状态：,两种基本形式：脆性断裂 塑性屈服。,2、应力状态对材料破坏形式的影响,13.8 强度理论概述,材料破坏的形式主要有两类：,屈服流动破坏,断裂破坏,材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂相应地，强度理论也可分为两类：一类是关于脆性断裂的强度理论；另一类是关于塑性屈服的强度理论。,13.8 四种常用强度理论,1.最大拉应
9、力理论（第一强度理论）,假定：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力 1 达到单向拉伸断裂时的极限应力u，材料即破坏。在单向拉伸时，极限应力 u=b 失效条件可写为 1 b,一、关于脆断的强度理论,第一强度强度条件：,试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。,第一强度强度条件：,2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）,假定，无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点的最大伸长线应
10、变1达到单向拉伸断裂时应变的极限值 u，材料即破坏。所以发生脆性断裂的条件是 1 u若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则,由此导出失效条件的应力表达式为：,第二强度条件：,煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。,第二强度条件：,1.最大剪应力理论（第三强度理论）假定，无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大剪应力max达到单向拉伸屈服剪应力S时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。屈服破坏条件是：,用应力表示的屈服破坏条件：,第三强度条件：,二、关于屈服的强度理论,第三强度
11、理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力2的影响，其带来的最大误差不超过15，而在大多数情况下远比此为小。,第三强度条件：,2.形状改变比能理论(第四强度理论),假定，复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会发生屈服。屈服破坏条件是：,简单拉伸时：,屈服破坏条件是：,第四强度条件：,这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。,四个强度理论的强度条件可写成统一形式：,称为相当应力,强度理论的选择和应用一般说来，在常
12、温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，通常用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，应采用第三、第四强度理论。,影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。,无论是塑性材料或脆性材料：,在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；,在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。,在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比,例6：填空题。,解：
13、在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为,第三强度理论的强度条件为：,由此得：,剪切强度条件为：,按第三强度理论可求得：,第四强度理论的强度条件为：,由此得：,剪切强度条件为：,按第四强度理论可求得：,在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比,例6：填空题。,0.5,0.577,第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为r3及r4，对于纯剪应力状态，恒有r3r4。,例7：填空题。,13 二向和三向应力状态的实例,1、二向应力状态实例1,圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用,由环向截面上的平衡条件求得：,由纵向截面上的平衡条件求得：,例9：钢制封闭圆筒，在最大内压作用下测得圆筒表面任一点的x1.5104。已知E=200GPa，0.25，160MPa，按第三强度理论校核圆筒的强度。,解：,由上两式可求得,故,故满足强度条件。,圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。,二向应力状态实例2,C,2,D,07、已知单元体的主应力，可求得 截面上的正应力=，=。,08.图示受力杆件中，已知P=20kN，M=0.8kNm，直径d=40mm。试求外表面上A点的主应力。,P,P,m,m,A,谢谢大家,
