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1、6.4 非线性方程组的数值解法,非线性方程组的Newton法,6.4.2 非线性方程组的Newton法,6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法,1.2,学习目标:,设含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为(6,4,1)其中 为n维列向量,,6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法,中至少有一个是x的非线性函数,并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组(6.4.1)与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式,可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动点迭代法和Newton型迭代法。但是,这里某些定理的证明较为复杂,我们将略去其证明。,把它写成等价形式,函数也称映射,若函数 的定义
2、域为,则可用映射符号 简便地表示为。为了讨论不动点迭代法(6.4.3)的收敛性,先定义向量值函数的映内性和压缩性。,定理6.7(Brouwer不动点定理)若 在有界凸集 上连续并且映内,则 在内 存在不动点。,定理6.8(压缩映射定理)设函数 在闭集 上是映内的,并且对某一种范数是压缩的,压缩系数为L,则(1)在 上存在唯一的不动点。(2)对任何初值 迭代法(6.4.3)生成的序列 且收敛到,并且有误差估计式,证:首先容易算出,对于任何,都有 因此,迭代函数 在 上是映内的。进而,对于任何都有,定义6.4 设 为 的不动点,若存在 的一个领域,对一切,由(6.4.3)式产生的序列 且,则称 具
3、有局部收敛性。,得知,从而有。于是,由定义6.4知迭代法(6.4.3)在点 处局部收敛。定理得证。与单个方程的情形类似,有时可以用关于导数的条件代替压缩条件来判别收敛性,定理6.10 设,在D内有一不动点,且 在 处可导,且谱半径,则迭代法(6.4.3)在点 处局部收敛,其中,函数 的导数为Jacobi矩阵(见*式)利用谱半径与范数的关系,我们可用 代替定理6.10中的条件,(*),例如,对于例6.11有对于例6.12所取的区域 的不动点 在它的内部。容易验 证,在 上有,因此,迭代法(6.4.5)在点 处局部收敛。,对于非线性方程组,也可以构造类似于一元方程的Newton迭代法。设 是方程组(6.4.1)的解,是方程组的一个近似解。用点 处的一阶Taylaor展开式近似每一个分量函数值,有,6.4.2 非线性方程组的Newton法,例6.13 用Newton法解例6.11的方程组(6.4.4)解 对该方程组有取初始向量,解方程组,即,关于Newton法的收敛性,有下面的局部收敛性定理,定理6.11 设,满足。若有 的开邻域,在其上连续,可逆,则,其中的参数 称为阻尼因子,称为阻尼项,解出 后,令。加进阻尼项的目的,是使线性方程的系数矩阵非奇异并良态。当 选的很合适时,阻尼Newton法时线性收敛的。,非线性方程组的Newton法,