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1、函数解析式的求法,在给定条件下求函数的解析式 f(x),是高中数学中经常涉及的内容,形式多样,没有一定的程序可循,综合性强,解起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索,还是有一些常用之法.下面谈谈求函数解析式 f(x)的方法.,一、配凑法,f(x)=x2-x+1(x1).,例2.已知,，求,解：,分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。,方法一：,配凑法,二、换元法,方法二：令,换元法,注意点：注意换元的等价性，即要求出 t
2、的取值范围.,练习.已知f（）=x2+5x,则f(x)=.解析,三、解方程组法,解由,组成的方程组,得:,例4.设f(x)满足关系式求函数的解析式.,分析：如果将题目所给的 看成两个变量，那么该等式即可看作二元方程，那么必定还需再找一个关于它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程,【练习】（1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求f(x)的解析式；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解
3、析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x，可用解方程组法求解.,思维启迪,解:（1）f（x）为二次函数，设f(x)=ax2+bx+c(a0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.由已知得c=1.由、式解得b=2,a=,c=1,f（x）=x2+2x+1.,四、递推求和法,例4 已知 f(n)-f(n-1)=an,n 为不小于 2 的自然数,a0 且f(2)=8,求 f(n)的解析式.,解:由已知,f(3)-f(2)=a3,f(4)-f(3)=a4,f(n)-f(n-1)=an,将这(n-2)个式子相加,得:,评注:这是运用数列中递推公式的思想.
4、,f(n)-f(2)=a3+a4+an=,f(2)=8,练习1.根据下列条件求二次函数解析式,(1)抛物线过点(0,0)(1,2)(2,3)三点,解法:抛物线过一般三点 通常设一般式将三点坐标代入 求出a,b,c的值,解:设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c,则,解得：,所求的抛物线解析式为:,(2)抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2),解法(一)可设一般式列方程组求a,b,c,解法(二)可设顶点式,解:抛物线的顶点为(2,-1),设解析式为:y=a(x-2)2-1,把点(-1,2)代入，得 a(-1-2)2-1=2，,(3)图象与X轴交于(2,0)(-1,0)且过点(0,-2),解
5、法(一)可设一般式,解法(二)可设交点式,解:抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0),设解析式为:y=a(x-2)(x+1),把点(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2解得 a=1,y=(x-2)(x+1),即:y=x2-x-2,练习2:（求下列二次函数解析式）,若抛物线y=(m2-2)x2-4mx+n对称轴是 直线x=2,且最高点在直线 上.,解法:可先求出顶点坐标(2,2),再由题意得,解得:,m=-1,n=-2.,即：y=-x2+4x-2,五、待定系数法,例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求 f(x).,解:由原式可知 fg(x)中的 g(x)一个是 2x
6、,另一个是 3x+1,都是一次式.,而右端是二次式，故 f(x)是一个二次式,则可设:,f(x)=ax2+bx+c,从而有:,f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).,比较系数得:a=1,b=0,c=-1.,从而有:f(x)=x2-1.,评注:先分析出 f(x)的基本形式,再用待定系数法,求出各系数.,又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)与 13x2+6x-1 表示同一个式子,即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x-1.,例6 已知 fff(x)=27x+13,且
7、f(x)是一次式,求 f(x).,解:由已知可设 f(x)=ax+b,则:,六、迭代法,ff(x)=a2x+ab+b.,fff(x)=a3x+a2b+ab+b.,由题意知:a3x+a2b+ab+b27x+13.,比较系数得:a=3,b=1.,故 f(x)=3x+1.,评注:本题的解法除了用迭代法,还用了待定系数法.,19,20,21,22,七、数学归纳法,解:f(1)=a,=4-21+2-1a,故猜想:f(n)=4-23-n+21-na,用数学归纳法证明如下:,=4-20+2-2a,=4-2-1+2-3a,=4-2-2+2-4a,=4-22+20a,证明从略.,故 f(n)=4-23-n+21
8、-na.,评注:先用不完全归纳法摸索出规律,再用数学归纳法证明,适用于自然数集上的函数.,例8.已知集合A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f:AB满足f(a)+f(b)=f(c),求这样的映射共有多少个?,f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0;f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0;f(a)=f(b)=f(c)=0;,解:f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1;f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1;,f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1;f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1.,八、映射方法,例 9：,九、用构造函数方法证明不等式,证明:,例 10：,29,十
9、、用构造函数方法解方程,解：构造函数f(x)x2011x，则f(x)是奇函数且为R上的增函数，得 f(3xy)f(x)0，即f(3xy)=-f(x)=f(-x).注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数，所以 3xyx,4xy0.,30,十、用构造函数方法解方程,解：原方程化为(x8)2011(x8)x2011x0,即(x8)2011(x8)(x)2011(x),构造函数f(x)x2011x,知f(x)是R上的单调递增函数,原方程等价于f(x8)f(x),而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数,于是有x8x,x4为原方程的解.,31,知能迁移1设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f
10、(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为（）A.1 B.2C.3D.4 求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系 数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.,思维启迪,解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,x0时，显然x=2是方程f(x)=x的解;x0时，方程f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方程f（x）=x解的个数为3.答案 C 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题.如本例，需分x0时，f（x）=x的解的个数和x0时，f（x）=x的解的个数.,探究提高,知能迁移2 设
11、则fg(3)=_,=_.解析 g(3)=2,fg(3)=f(2)=32+1=7，,7,35,36,37,38,课堂练习,1.已知 f(x)是一次函数,且 ff(x)=4x-1,求 f(x)的解析式.,5.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求 f(x).,4.已知 2f(x)+f(-x)=10 x,求 f(x).,6.已知 f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求 f(x).,7.已知 f(x)是 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(-x),当 x(-2,2)时,f(x)=-x2+1,求当 x(-6,-2)时 f(x)的解析式.,f(x)=x2-1(x1),f(x)=x2+x+1,f(x)=-x2-8x-15,9.已知 F(x)=f(x)-g(x),其中 f(x)=loga(x-b),当且仅当点(x0,y0)在 f(x)的图象上时,点(2x0,2y0)在 y=g(x)的图象上(b1,a0 且a1),(1)求 y=g(x)的解析式;(2)当 F(x)0 时,求 x 的范围.,
