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1、第11章 级数,11.1 无穷级数的概念及基本性质11.2 正项级数及其敛散性的判别法11.3 任意项级数11.4 函数项级数11.5 幂级数的收敛半径 幂级数的性质11.6 泰勒级数,11.7 幂级数的应用11.8 复数项级数 欧拉公式11.9 三角级数 欧拉-傅里叶公式11.10 傅里叶级数11.11 定义在任意区间上的函数的傅里叶级数11.12 傅里叶级数的复数形式,11.1 无穷级数的概念及基本性质,设有半径为R的圆，作圆内接正六边形，其面积记为a1，可作为圆面积S的一个近似值。为了提高精确度，以正六边形的每条边为底边作顶点在圆周上的6个等腰三角形，它们的面积记为a2，则a1+a2是圆
2、内接正十二边形的面积，它是圆面积S的比a1较精确的近似值。,它是圆内接正32n边形的面积，当n愈大，圆内接正32n边形的面积愈接近圆面积S，因此当n无限增大时圆内接正32n边形面积的极限值就是圆面积S，即,再以正十二边形的每条边为底边作顶点在圆周上的12个等腰三角形，他们的面积记为a3，则a1+a2+a3是圆内接正二十四边形的面积。它是圆面积S的比a1+a2较精确的近似值。,按照上述步骤继续n次，就得到和式,或 除了计算圆面积时需要讨论形如 的“和”之外，还可以举出大量的例子说明我们经常要研究形如式(1)的“和”。初等数学中的循环小数,与无限不循环小数,都是简单的例子。又譬如在泰勒公式中已经知
3、道,由于，因此,可见计算e时，需要讨论形如式(1)的“和”，e就是 当n时的极限。,11.1.1 无穷级数的收敛与发散,设有数列 u1，u2，un，则把它们依次相加得 u1+u2+un+这式子成为无穷级数(简称为级数)，简记为 即,以上设式中的每一项称为级数的项；其中un称为级数的通项或一般项设 S1=u1，S2=u1+u2，,其中前n项的和Sn称为级数的第n部分和，或简称为级数的部分和。如果部分和数列Sn的极限 存在且等于S，则称级数是收敛的，且收敛于S，并称S为级数的和，记作,如果极限 不存在，则称级数是发散的。,例1 讨论级数的收敛性。解：此级数的部分和为,从而，故 收敛，且,例2 设a
4、0，讨论等比级数(或称几何级数)的敛散性。解：级数的部分和为,当|q|1时，由 知,当q=1时，,当|q|1时，由 知 不存在；,当q=1时，；,综上所述，当|q|1时，级数 收敛于和；当|q|1时，级数 发散。,故 不存在。,例3 讨论级数的敛散性。解：两式相减得故当q1时，,还可以用另一种方法求Sn(若把q视为变量)：当q1时，,当|q|1时，因,和，故；,当q=1时，故,当|q|1时，,当q=1时，故；,综上所述，当|q|1时，级数 收敛，其和为当|q|1时，级数 发散。,11.1.2 级数的基本性质 级数收敛的必要条件,由级数敛散性定义很容易证明以上的性质,3.将级数增加有限项或删减有
5、限项，不改变级数的敛散性。,4.收敛级数具有可结合性，即收敛级数的项任意加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变,例4 当|q|1，a0时，等比级数(几何级数)是发散的。证：因为当a0时,不存在，,5.级数收敛的必要条件：若级数 收敛，则,总之，当|q|1时，级数 发散,故级数 发散,例5 讨论级数 的敛散性,解：级数的通项，由于,解：把调和级数按下列方式加括号,也就是从调和级数的第三项起，依次地2项、4项、2k1项、加括号。设此新级数为 则,例6 证明调和级数 是发散的,故，由性质5知 发散,又由性质4知调和级数 发散,11.2 正项级数及其敛散性的判别法,若级数 的通项满足un0，则称它为正项
6、级数,定理1 正项级数 收敛的充分必要条件为其部分和数列Sn有上界。,11.2.1 比较判别法,定理2 设 和 均为正项级数，且 unvn(n=1,2,3,),1.若 收敛，则 也收敛,2.若 发散，则 也发散,例1 用比较判别法证明调和级数 发散,证：取级数，由于部分和,而，故 发散,又因为当x0时，xln(1+x)，故,由定理2知 发散,例2 讨论p级数 的敛散性,解：(1)当p1，由于，而 发散，,故 发散,(2)当p1，依次地把级数的每1项、2项、4项、8项、依次加括号，得级数它的各项不大于级数,的对应项。由于级数式(2)是公比为 的几何级数，故由正项级数比较判别法知级数式(1)收敛，
7、因而级数 的部分和有上界，故级数 收敛,综上所述，p级数 当p1时收敛，p1时发散，例如级数,是收敛的，级数是发散的,例3 判别级数的敛散性,解：由于 发散，故 也发散。又因,故 也发散,例4 设a0，讨论级数 的敛散性解：,当a=1时，因，故已给级数发散,当0a1时，因，故已给级数发散,当a1时，因，而等比级数 收敛，,故由比较判别法知已给级数收敛综上所述，当01时已给级数收敛,例5 判别级数的敛散性解：容易证明,由于当 时，p级数 发散，故级数 发散,因而级数 也发散,定理3 若 和 均为正项级数(vn0)，且l为常数或+，则,1.当0l+时，则 与 有相同的敛散性；,2.当l=0时，有
8、收敛，可得 收敛；,3.当l=+时，由 发散可得 发散。,例6 判别级数 的敛散性解：,方法一 由于，而 收敛，故 原级数收敛。,方法二 由于，而 收敛，故 原级数收敛。,例7 讨论级数 的敛散性解：,由于,而级数 收敛，故已给级数收敛,例8 设p0，讨论级数 的敛散性解：,方法一 由于，故 与,敛散性相同，即已给级数当p1时收敛；而当p1时发散,方法二 1.设p1，由于当 时，xsin x0，,故,而当p1时级数 收敛，故已给级数收敛,设0p1，由于当x0时，sin xx，故当n充分大时，有，故 而当0p1时级数 发散，故已给级数发散。,用比较判别法来确定正项级数 敛散性时，需要选择一个适当
9、的已知其敛散性的级数 来 加以比较，但有些时候这种选择并不容易。为此我们介绍直接利用级数本身项的结构来判定其敛散性的两个常用的判别法。其中最简单而又常用的是比值判别法(或称达朗贝尔判别法)。,例9 设a0，判别级数 的敛散性,定理4 设 为正项级数，其中un0，且，则,1.当0l1时，级数 收敛；,3.当l=1时，不能确定级数 的敛散性。,2.当1l+时，级数 发散；,解：级数通项,由于故由比值判别法级数收敛,例10 设a0，b0，讨论级数 的敛散性,故若01时级数发散；当b=1时级数为，由例4知级数发散。,例11 设a0，讨论级数 的敛散性,解：级数通项,故当0e时级数发散；当a=e时比值判
10、别法失效，但此时由于 随n的增大而趋于e，故,由此可知，故当a=e时已给级数发散,综上所述，级数 当0ae时收敛；当ae时发散,因而,11.2.2 根值判别法,对于正项级数，若，或者 不存在(非)时，则比值判别法失效，这时可以考虑用以下的根值判别法(或称柯西判别法),定理5 设 为正项级数，且，则,1.当0l1时，级数 收敛；,2.当1l+时，级数 发散；,3.当l=1时，不能确定级数 的敛散性。,例12 设a0，讨论 的敛散性,解：不难看出，对此级数宜用根值法而不宜用比值法，通项,故当a1时，此级数收敛；当0a1，此级数发散；而当a=1时，由 通项不趋于0，故此级数发散,解：级数为若用比值判
11、别法，因，当n，,例13 讨论级数 的敛散性,，当n，,故 不存在，因此比值判别法失效，现在用根值判别法，因,故，由根值判别法知级数收敛,11.2.3 积分判别法,虽然比值判别法和根值判别法用起来很方便，但对有些级数它们是失效的。下面讨论的柯西积分判别法可作为它们的补充,定理6 设 为正项级数，其各项单项减少：,u1u2un若在1，+)上存在单调减少函数f(x)，使得un=f(n)，则级数 与广义积分 有相同的敛散性,例14 讨论p级数 的敛散性(p0),解：取，则f(x)满足定理6中的一切条件。由于,故当p1时，广义积分，收敛；当01时收敛，当0p1时发散,例15 求极限解：作级数由于,故级
12、数 收敛，由收敛级数的必要条件知,11.3 任意项级数,任意项级数是指级数的各项可以随意取正数、零或负数。例如：,等都是任意项级数,11.3.1 交错级数及其莱布尼兹判别法,除了正项级数之外，任意项级数中最简单的情形是交错级数。级数中各项正负相间，它的一般形式是为了确定起见，只需讨论从正项开始的交错级数关于这种级数，有如下的收敛性判断法，称为莱布尼兹判别法,定理1 若交错级数 满足条件：,例1 判别级数 的敛散性,1.各项绝对值单调减，即unun+1(n=1，2，)；,2.通项趋于零，即，则此交错级数收敛，且其余和的绝对值小于un+1，即,解：所给级数为交错级数，它的通项，由于,且a0时，,依
13、莱布尼兹判别法知级数 收敛,例2 判别级数 的敛散性解：,易见un+1un，但，因此这个交错级数是发散的,11.3.2 绝对收敛和条件收敛,若绝对值级数 发散，而级数 收敛，则称 为条件收敛。,下面要讨论任意项级数。先引进两个重要的概念级数绝对收敛和条件收敛设有任意项级数,把各项取绝对值所成的级数 称为它的绝对值级数。,若绝对值级数 收敛，则称级数 为绝对收敛；,定理2 如果 绝对收敛，则 必收敛,例3 下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？,(1)；,(2)；,(3),解：,(1)因为，而级数 收敛，故对于任意实数a，级数 收敛，因此级数 绝对收敛,(2)因为(3)因为,故级数
14、 收敛，因此级数 绝对收敛,而级数 发散，故 也发散，因此已给级数不是绝对收敛,但是由于故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数 条件收敛,定理3 若级数 绝对收敛，则任意改变其各项的次序所得的新级数仍旧绝对收敛，且级数的和不变,11.4 函数项级数,设un(x)(n=1，2，3，)是定义在实数集合(一般为区间)X上的函数序列，则称式子u1(x)+u2(x)+un(x)+为函数项级数，简记为对于数集X上任一点x0，对应着一个数项级数,如果数项级数 收敛，称x0为函数项级数 的一个收敛点，否则称x0为函数项级数 的发散点。的全体收敛点的集合称为它的收敛域,在收敛域上，级数 的和依赖于点x，因此函数项
15、级数的和是x的函数，并称它为级数 的和函数，记作S(x)，即当x为收敛域上的点时，如果用Sn(x)来记级数 的部分和函数(简称部分和)：,则对于级数的收敛点x，有用极限的N语言来描述就是：对于任意给定的正数，存在正整数N，当nN时，使|Sn(x)S(x)|，这里的N既与有关，又与收敛域上的点x有关。用符号表示为,当函数项级数 收敛时，把,称为函数项级数 的余和，显然在收敛域I的每一点x，S(x)=Sn(x)+rn(x)，由于，故,即余和随项数无限增加而趋于零,例1 考察函数项级数 的收敛域、和函数及余和,解：此级数部分和为,显然当|x|1时，；当|x|1时，不存在。故 的收敛域为|x|1，和函
16、数为，,常记为当|x|1时，它的余和为,例2 讨论下列函数项级数的收敛域：解：,(1)；,(2),(1)，我们来考察|un(x)|，由于,当，即x0时，收敛，故 绝对收敛；,当，即x0时，发散；,当，即x=0时，此交错级数,这样得到级数 的收敛域为0，+),(2)由11.1节例3得知，级数,当|1+sinx|1收敛，|1+sinx|1时发散。而不等式|1+sinx|1的解为(2k1)x2k(k=0，1，2，)它就是所给级数的收敛域。由以上的例题可以看到，函数项级数的收敛域多种多样，甚至可能是很复杂的数集。由于函数项级数仅当收敛时才有意义，因此一旦讨论清楚级数的收敛域时，就应该把它附在级数的后面
17、，从而把级数及其收敛域视为一个整体。,11.5 幂级数的收敛半径 幂级数的性质,现在我们讨论形式最简单同时又是非常重要的一类函数项级数幂级数，它的一般形式是其中x0是一个定点，而a0，a1，是常数，称为幂级数的系数,11.5.1 幂级数及其收敛半径,幂级数 是最简单的函数项级数，因为：,1.它是多项式当n时的极限形式，而多项式是只包含加法和乘法两种最基本运算的简单函数2.和其他的函数项级数不同，幂级数收敛域是结构特别简单的区间,由于通过变量变换y=xx0可以把幂级数 化为因此，不失一般性，我们只需讨论x0=0时的幂级数。对于这种幂级数的收敛域，有如下的阿贝尔定理定理1 设有幂级数 1.当x=x
18、0(x00)时幂级数收敛，则当|x|x0|时绝对收敛；,2.当x=x0时幂级数发散，则当|x|x0|时 也发散；,定理2 设有幂级数，且(可以是+)，则,1.当0+时，则；,2.当=0时，则R=+；3.当=+时，则R=0。,例1 求幂级数 的收敛半径及收敛区间解:,当x=2时，级数为，这是收敛的交错级数；,当x=2时，级数为，这是发散级数，故所论幂级数的收敛区间为(2，2,如果幂级数只含有x的奇次幂或x偶次幂，它的形式是 或，这时虽有，但它的收,敛半径R不一定等于，因为这时,根据达朗贝尔判别法，当x21，即 时级数发散，在这种情况下，级数 或 的收敛半径为为了避免不恰当地应用定理2而产生的错误
19、，通常宁可直接用达朗贝尔判别法而不用定理2来确定幂级数的收敛半径及收敛区间,例2 求幂级数 的收敛半径和收敛区间解:,于是R=+，收敛区间为(，+)，即对于一切实数x，幂级数 收敛,例3 求幂级数的收敛区间解：,当，即 时所论幂级数绝对收敛；,当，即 或 时级数发散；,当，即 时，级数为,这是收敛级数由此知所论幂级数的收敛区间为,例4 求幂级数 的收敛区间,解：故收敛半径,当 时，,由于 可知,故级数的一般项un不趋于0，从而此时幂级数发散于是幂级数 的收敛区间为,例5 求幂级数 的收敛区间解：因,由于故由定理3知收敛半径当x=1时，级数为把它的通项与级数,故 不存在，因而不能用定理2来求收敛
20、区间,也发散当x=1时，级数为假定这级数收敛，把它加括号后的级数应该收敛，其通项,的通项作比较，由于，而级数 发散，故,由于级数,发散，故 发散，根据级数基本性质知 发散归纳以上结果，已给幂级数的收敛区间为(1，1),设幂级数,11.5.2 幂级数的运算,和的收敛半径分别为R1和R2，并令R=minR1，R2，则在(R，R)内有加法运算,及乘法运算,其中加法运算性质由数项级数的响应性质即可得到，而乘法性质可由幂级数在收敛区间内绝对收敛及数项级数的绝对收敛的相应性质得到例如，由于幂级数当|x|1时绝对收敛，故由幂级数的乘法得,定理4 设幂级数 的收敛半径为R，则其和函数S(x)在区间(R，R)内
21、连续,定理5 设幂级数 的收敛半径为R，则其和函数S(x)在区间(R，R)内可积，且可逐项求积分，即,积分后的幂级数 与原幂级数 的收敛半径相同,定理6 设幂级数 的收敛半径为R，则其和函数S(x)在区间(R，R)可微，且可逐项求导，即,而且求导所得级数 与原幂级数 的收敛半径相同,由此可知幂级数在收敛域内有任意阶导数,例6 求幂级数 的和函数,解：由于故,又故,例7 求级数 的和,解：从级数形式看出我们要先求幂级数 和函数，再将 带入，由,可得,故,于是令，就有,定理1 若函数f(x)在包含x0的邻域U(x0，)内各阶导数f(x)、f(x)、f(n)(x)、都存在，则可把f(x)展开为xx0
22、的幂级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n时的极限为零，即,11.6 泰勒级数,11.6.1 泰勒级数,式(2)右边的级数称为f(x)在点x=x0的泰勒级数。它的系数 称为f(x)的泰勒系数。当x=0时，泰勒级数也称为麦克劳林级数,定理1表明：当f(x)的泰勒公式中余项Rn(x)趋于零时，f(x)的泰勒级数收敛于f(x)，这时我们称f(x)在x=x0处可以展开为泰勒级数，等式(2)称为f(x)在x=x0的泰勒展开式。特别地，当x=0时，f(x)的泰勒展开式,也称为f(x)的麦克劳林展开式应当注意的是：把函数展开为泰勒级数时，必须指出使展开式成立的范围例1 将f(x)=ex
23、展开为x的幂级数，并指出收敛区间解：f(x)=ex的泰勒公式为其中,于是得级数因故级数的收敛半径R=+，收敛区间为(，+)对于任何有限数x，总可以取正数M，使|x|M,由比值判别法知级数 收敛，故其通项趋于零，即，由此的，故得ex的幂级数展开式为,例2 将 展开为麦克劳林级数,解：因故f(x)的麦克劳林公式为,其中由于求出Rn(x)中的具体表达式并非易事，因此研究余项Rn(x)是否趋于零非常困难，通过直接除法，得,比较两式得的麦克劳林展开式为,显然只有当|x|1时，于是,定理2 如果f(x)可以展开为xx0的幂级数，那么这样的幂级数是唯一的，并且它的系数就是泰勒系数唯一性定理为我们提供很大的方
24、便，只要我们建立函数一些基本的展开式之后，就可以通过变量代换或其他方法求出比较复杂的函数的展开式。这种展开函数的方法也称为间接展开法,例3 将函数 展开为x3的幂级数,故令，则由唯一性定理得,解：由于,即解：由得,例4 将 在x=0处展开为幂级数,例5 将ex(1x)展开为x的幂级数的到含有x4的项解：用x(1x)代换ex的麦克劳林展开式中的x得即,11.6.2 一些初等函数的泰勒展开式,前面我们已经建立了、ln(1+x)、ex的泰勒展开式，下面我们还要建立sinx、cosx及(1+x)m(其中m为任意实数)等函数的泰勒展开式，然后通过例题说明如何利用这些基本的展开式来推导某些函数的展开式,例
25、6 将sinx展开为x的幂级数解：sinx的麦克劳林公式为,其中于是,由于级数 在(，+)上收敛，故其通项趋于零。从而 故由定理1得,可用上述方法推出的展开式为也可以利用幂级数的逐项求导性质从sinx的展开式推出这个展开式例7 将sinx在x=x0展开为幂级数解：因,因故有,例8 将(1+x)m展开为x的幂级数，其中m为任意实数解：(1+x)m的泰勒公式为,其中Rn(x)为余项，可以证明当|x|1时，,故有,要证明当|x|1时，,首先求出上式右端的级数的收敛半径，再设此级数收敛于S(x)，即,于是只要证明S(x)=(1+x)m因为所以这个幂级数的收敛半径为1。由于幂级数可以逐项求导，故,两边同
26、乘以x得两式子相加得即等式左边的原函数为lnS(x)，右边的原函数为mln(1+x)，故得即,因为当x=0时，S(x)=1，故C=1，由此得S(x)=(1+x)m这样得到了(1+x)m的泰勒展开式这个级数称为二项式级数。当m是正整数时，上式展开式只有有限项，因而,对一切实数x都成立当m不是正整数时，(1+x)m的展开式是无穷级数，当x=1时级数是否收敛要看m取什么值而定，例如1.当m=1时，得这是我们早就熟悉的展开式。当x=1时级数发散,2.当 时，得,当x=1时，级数为这个级数是发散的(见11.2节例5),当x=1时，级数为这是交错级数，满足莱布尼兹定理条件，因此它是收敛的于是得,3.当 时
27、，得,当x=1时，级数为把这个级数去掉前两项，然后考察它的绝对值级数,由于，故,而当 时，p级数收敛，故 收敛，因而当x=1时级数绝对收敛,当x=1时，级数为从上面可知，这是一个绝对收敛级数于是得,几个基本展开式,例9 将arctanx展开为x的幂级数利用幂级数可逐项积分性质得当x=1时，上式右边级数收敛，故得,解：因，而,例10 将arctanx在x=0展开为幂级数逐项积分得,解：由于，在的展开式中，以x2代替x得,当x=1时，上式右边的级数为x=1时，右边的级数也是收敛的于是,由于，以它为通项的级数 收敛，因此上述级数收敛,当x=1时得解：,例11 将 在x0=2处展开成幂级数,注意以上运
28、算的结果是 两个幂级数之和，因此收敛区间是它们各自收敛域的公共部分，故得,例1 求e1的近似值，精确到106等式右边是满足莱布尼兹定理条件的交错级数。余和的估计,11.7 幂级数的应用,11.7.1 用级数表示函数值,解：在展开式 中令x=1得,由题意要使|rn|106，只要。由于10!=3628800106，故可取n=9，于是,例2 求ln2的近似值，精确到106,解：由于，令x=1得,等式右边是满足莱布尼兹定理条件的交错级数。余和的估计，由题意要使|rn|106，只要,n106，这样要计算100万项的和，计算量太大，原因是这个级数收敛速度太慢，设法用收敛速度快的级数，由于两式相减得,令，解
29、得，故得,由于,要使|rn|106，只要，可取n6，,于是,如果在展开式 中，令,，解得，则,依次令n=2，3，即可得到ln3，ln4，即正整数的自然对数,例3 给出求的近似值的有效方法即,解：由于，令x=1得,利用这个级数来计算的值，即使只要求精确到104，也要计算 项，因此要设法加快其收敛速度我们知道，在函数的幂级数展开式中，|x|愈小，则级数收敛得愈快，因此希望建立一个等式，它既包含,要求的数，又包含一个收敛较快的幂级数，同时能用它表示。由此得到,在arctan x的幂级数展开式中令 及 得,但是这两个等式右边的级数收敛的速度还不够快。,令，则,因tan41，如果设，则|很小，于是故,即
30、,在arctanx的幂级数展开式中分别令 及，并带入上式，就得到计算的等式。,11.7.2 用级数表示积分,连续函数f(x)的原函数一定存在，若F(x)是f(x)的一个原函数，则,但是原函数不一定能表示成初等函数的形式。如果f(x)可以展开为幂级数则它在收敛区间内可以逐项积分，即于是f(x)的原函数就可以用幂级数来表示,由于幂级数结构简单，而且在收敛区间上的性质和它的有限形式多项式的某些性质十分相似，因此把f(x)的原函数表示成幂级数。,例4 求不定积分 的幂级数表达式，其中被积函数当x=0时定义为1,解：由于,故经补充定义后，上式对于x=0也成立。于是根据幂级数可以逐项积分的性质得在定积分计
31、算中，如果被积函数的原函数不是初等函数，或者原函数即使是初等函数，但不易求出，这时就需要用数值方法来近似计算定积分。,把定积分用幂级数表示，只要能估计出n项之后的余和，就可以用级数的前n项和佐为积分的近似值，而且达到要求的精确度,例5 计算积分 的近似值，精确到108,解：因为，积分不是广义积分，补充定义，使被积函数在x=0时等于1，于是被积函数为连续函数，由于,则取前n项和作为近似值，其余和的绝对值要使误差小于108，只要n5，故得,11.8 复数项级数 欧拉公式,11.8.1 复数项级数,假设级数 的项wn是复数，则称 为复数项级数，与实(数项)级数一样，我们把wn=un+ivn称为复(数
32、项)级数的通项，把 称为复级数的第n部分和如果 存在，且，则称复数项级数 收敛于S，并将S称为复数项级数的和。如果 不存在，则称复数项级数 发散，当复数项级数,收敛时，称复数项级数的绝对收敛和条件收敛概念与实数项级数的绝对收敛和条件收敛概念相同。同样可以用实数项级数的比较判别法、比值判别法等来判别复数项级数的绝对收敛性,为级数 的第n项后的余和,如果复数项级数 收敛，则它的通项趋于零，即,关于复数项幂级数也有如下的阿贝尔定理定理 设有幂级数1.如果当z=z0(z00)时幂级数收敛，则当|z|z0|时幂级数绝对收敛；,设z为复变数，z=x+iy，则形如 的级数称为复数项幂级数，或简称幂级数，其中
33、a为复平面上的一固定点，a0，a1，a2，为复常数，称为幂级数的系数，当a=0时，幂级数为,2.如果当z=z0时幂级数发散，则当|z|z0|时幂级数发散从这定理可知，对于复数项幂级数 来说，也存在正实数R，当|z|R时级数发散。R称为复数项幂级数的收敛半径。显然幂级数 的收敛域是以z=0为中心的圆域。这个圆域可能只有一点，也可能是整个复平面,复数项幂级数的收敛半径也可以像实数项幂级数的收敛半径那样用比值法或根值法求得,11.8.2 欧拉公式,这里介绍一个复变函数中的欧拉公式eix=cosx+isinx把实指数函数ex和实三角函数sinx、cosx的展开式中的x换成复数z，得到复数项幂级数,可以
34、证明它们在整个复平面上都是绝对收敛的，在z=x时它们分别表示指数函数ex和三角函数sinx、cosx，于是我们很自然地定义,当x=0时，z=iy为纯虚数，此时有把y换成x，上式变为eix=cosx+isinx这就是欧拉公式,令x=，得到ei=1，即ei+1=0这个等式被数学史家称为数学中“最美”的等式，因为它将数学上最重要的5个常数0，1，e，i以极为简单的形式联系在一起在欧拉公式用x代替x得eix=cosxisinx并可立即推出,这两个等式也称为欧拉公式,我们把上式称为三角级数，其中常数a0、an、bn(n=1，2，)称为三角级数的系数,11.9 三角级数 欧拉-傅里叶公式,11.9.1 三
35、角级数,11.9.2 三角函数系的正交性,三角级数的各项是由三角函数cos0 x、cosnx、sinnx(n=1，2，)所组成的。函数系(序列),1，cosx，sinx，con2x，sin2x，cosnx，sinnx，,称为三角函数系，可以验证,上式表明三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间，上的积分等于零，称三角函数系在，上正交,11.9.3 欧拉-傅里叶公式,上式称为欧拉-傅里叶公式,上一节我们假设f(x)能够用一个收敛的三角级数表示然后利用三角函数系的正交性得到了确定系数的欧拉-傅里叶公式。反过来，如果以2为周期的函数f(x)在区间，上可积，把已确定的系数a0、an、bn(n=1，2
36、，)所构成的三角级数称为f(x)的傅里叶级数，记为,11.10 傅里叶级数,问题是：f(x)满足什么条件时，它的傅里叶级数收敛如果收敛，它的和是否等于f(x)，关于这些问题，有如下的充分条件,11.10.1 傅里叶级数收敛定理狄利希莱定理,定理 设有以2为周期的函数f(x)在区间，上满足如下的狄利希莱条件：,1.连续或只有有限个第一类间断点；2.只有有限个极值点。则它的傅里叶级数(1)在区间，上收敛，并且它的和为：1.f(x)，当x为f(x)的连续点；,2.，当x为f(x)的间断点；,3.，当x=。,11.10.2 函数展开为傅里叶级数举例,例1 以2为周期的函数f(x)定义如下：把它展开为傅
37、里叶级数解：这个函数在区间，上满足狄利希莱条件，因此可以展开为傅里叶级数，根据欧拉-傅里叶公式得,于是得到f(x)的傅里叶级数它的收敛情况是,这就是说，等式,在除去x=之外所有的点都成立当x=时，这个傅里叶级数的和是下图分别给出f(x)及f(x)的傅里叶级数的和函数的图形,由此得到,例2 以2为周期的函数f(x)定义如下：f(x)=ex，(，(为不等于零的常数)，试把它展开为傅里叶级数解：这个函数在，上无疑地满足狄利希莱条件，因此能展开成傅里叶级数，由欧拉-傅里叶公式得,因此得到傅里叶级数它的收敛情况是,由于因此可以推得,1.，且 的傅里叶级数为,2.，且 的傅里叶级数为,11.10.3 奇函
38、数及偶函数的傅里叶级数,分析一下sinhx和coshx的傅里叶级数，可以发现sinhx的傅里叶级数中只含正弦项，而coshx的傅里叶级数中只含余弦项，其原因在于sinhx是奇函数而coshx是偶函数。如果把奇函数f(x)展开成傅里叶级数，由于乘积f(x)cosnx是奇函数，而乘积f(x)sinnx是偶函数，因此,有,这时级数中只含正弦项：，称为正弦(傅里叶)级数，如果我们把偶函数f(x)展开成傅里叶级数，由于乘积f(x)cosnx是偶函数，而乘积f(x)sinnx是奇函数，因此有,这时级数中只含余弦项：，称为余弦(傅里叶)级数,例3 把以2为周期的函数(a为不等于0的正常数)展开为傅里叶级数,
39、解：因为f(x)是奇函数，故由式(2)得an=0，n=0，1，2，,于是傅里叶级数是,例4 以2为周期的函数f(x)定义如下：f(x)=x2，x，把它展开为傅里叶级数解：因为f(x)是偶函数，由式(3)得,故傅里叶级数为当x=时，f(x)=2，从上面的等式可以得到关系式,在讨论数项级数时，只知道级数 是收敛的，现在我们求出了它的和,11.11 定义在任意区间上的函数的傅里叶级数,11.11.1 定义在l，l上的函数的傅里叶级数,设定义在l，l上的函数f(x)满足狄利希莱条件。为了能直接利用前面的结果，只需作线性变换，就可以得到一个定义在，上的函数 把它展开为傅里叶级数，则在连续点处有,其中,代
40、回到原变量x得到其中,若x是f(x)的间断点，则傅里叶级数收敛于若x=l，则级数收敛于特别的，若f(x)是定义在l，l上的奇函数，则,这时级数为正弦级数：，若f(x)是定义在l，l上的偶函数，则,这时级数为余弦级数：,例1 把函数f(x)=|x|(lxl)展开为傅里叶级数解：因为f(x)是偶函数，故,因此有,11.11.2 定义在0，l上的函数的傅里叶级数,设函数f(x)在0，l上有定义，且满足狄利希莱条件。为了把它展开为傅里叶级数，则需要在区间l，0上补充定义而得到一个定义在l，l上的函数。由于补充函数定义的任意性，可以得到各种不同的傅里叶级数。为简单起见，一般采取如下两种补充定义的方法,1
41、.偶式延拓。这种方法是在l，0上对函数补充定义，使得f(x)=f(x)，于是得到一个偶函数。这个偶函数的傅里叶级数只含有余弦项，这样，就能把f(x)在0，l上展开为余弦级数,2.奇式延拓。这种方法是在l，0上对函数补充定义，使得f(x)=f(x)，于是得到一个奇函数。这个奇函数的傅里叶级数只含有正弦项，这样，就能把f(x)在0，l上展开为正弦级数,值得注意的是：由傅里叶级数收敛定理，余弦级数和正弦级数在x=0及x=l处的收敛情况是不同的。余弦级数在x=0处收敛于f(+0)，在x=l处收敛于f(l0)，而正弦级数在x=0和x=l处都收敛于0,例2 把函数 展开为正弦级数解：an=0，n=0，1，
42、2，,故得函数的正弦展开式为例3 把函数f(x)=sinax(a不是整数)在区间0 x上展开为余弦级数解：,故所求级数为,留给同学们考虑a为整数的情形同学们可以通过适当的线性变换x=at+，把定义在a，b上的函数f(x)变为定义在，或0，上的函数，然后把它展开成傅里叶级数,在交流电及频谱分析等问题中，常用到傅里叶级数的复数形式设定义在l，l上的函数f(x)展开成傅里叶级数，即,11.12 傅里叶级数的复数形式,利用欧拉公式,得如果记则可简洁地表示成,这就是傅里叶级数的复数形式，cn和cn是函数f(x)的复数形式的傅里叶级数例 设有周期为T的矩形脉冲函数,如图所示，试把它展开为复数形式的傅里叶级数解：,故得,
