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1、第十章 曲线积分 与曲面积分,1 对弧长的曲线积分,一、曲线形构件的质量,曲线形构件线密度(x,y),匀质时质量 m=l,分割 A=M0,M1,Mn1,Mn=B,si=弧MiMi-1的长度,求和,取极限,近似值,精确值,近似 任取,二、对弧长的曲线积分的概念与性质,1.定义,设L是xOy面内的一条有限长光滑曲线，函数f(x,y)定义在L上。用分点M0,M1,Mn1,Mn把L任意分成n个小弧段，第i 个小弧段的长度记为si，并在其上任取一点(i,i)。,被积函数,积分弧段,积分和,曲线形构件的质量,如果当各小弧段长度的最大值 0 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y)在曲线L上对弧
2、长的曲线积分或第一类曲线积分，,3.可积条件：,2.推广,必要条件：,函数f(x,y,z)在空间曲线上对弧长的曲线积分为,充分条件：L是光滑或分段光滑曲线，f(x,y)在L上,连续，则 存在。,4.性质(积分的七条性质可照搬过来),(4)=L的长度。,(5)若在L上 f(x,y)g(x,y)，则,推论,(7)设 f(x,y)在L上连续，则存在(,)L，使得,说明：1)对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关。,2)虽然被积函数是二元函数，但点(x,y)限制在 L上，只有一个变量是独立的，因而积分是一维的。,3)对弧长的曲线积分中弧长元素 ds 0.,例1,解,4)L为闭曲线时常记作,5)以上所有内
3、容对于空间对弧长的曲线积分都成立。,三、对弧长的曲线积分的计算法,定理 设 f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L 的参数方程为 x=(t),y=(t),(a t b),其中(t)、(t)在a,b 上有一阶连续导数且(t)2+(t)2,说明：1)计算时，只需把 x=(t),y=(t)及,代入即可。,3)特殊情形,2)计算时，定积分的上限 b 必须大于下限 a。,(c d),(a b),4)推广：,解,例2(P130例1)计算,，其中,L：y=x2，0 x 1。,解,例4 求,解,=0.,例5(P130例2)计算半径为R，中心角为2的圆弧L对于,它的对称轴的转动惯量及重心(线密度=1)。,解,建立如图所示的坐标系，则,L的参数方程为：,x=Rcost,y=Rsint,t,.,由对称性,例6 求,解 由,得：,令,由对称性知，,又 z=，故有,四、物理意义(x,y)表示L的线密度),(1)L的质量,(2)曲线弧L对于 x 轴及 y 轴的转动惯量,(3)曲线弧L重心坐标,五、小结,1、对弧长的曲线积分的概念(定义和性质),2、对弧长的曲线积分的计算,3、对弧长的曲线积分的应用,习题(P131)：3(1)(4)(5)(8)，5,思考题,对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？,思考题解答,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,
