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1、,第五节,一、近似计算,二、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、近似计算,例1.计算,的近似值,精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算,的近似值,使准确到,解:已知,故,令,得,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数.如,(n为自然数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.利用,求,误差.,解:先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值,并估计,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(取,
2、例4.计算积分,的近似值,精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.计算积分,的近似值,精确到,解:由于,故所给积分不是广义积分.,若定义被积函数在 x=0 处的值为 1,则它在积分区间,上连续,且有幂级数展开式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、欧拉(Euler)公式,则称 收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于,故知,欧拉 目录 上页 下页 返回 结束,定义:复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当 y=0 时,
3、它与实指数函数,当 x=0 时,的幂级数展式一致.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法,不难验证,特别有,作业 P229 1(2),(4);2(2),第六节 目录 上页 下页 返回 结束,欧拉(1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论,微,还,写了大量力学,几何学,变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理,积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数,公式和定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
