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1、第一章 函数与极限习题课,数列与函数的极限,几何解释:,一、数列极限,1数列极限的定义,2数列极限的运算法则,3数列极限的主要性质,4数列极限的存在准则,二、函数的极限,1函数极限的定义,2函数的左右极限,左极限:,右极限:,3函数极限收敛的充要条件,4函数极限的运算法则,5函数极限的主要性质,则,（4）夹逼准则：若,三、无穷小与无穷大,1无穷小的基本概念,（1）无穷小的定义,（2）无穷小阶的比较,2无穷小的主要性质,四、两个重要极限,1.,2.,则,或,五、解题方法及典型例题,数列极限解题 方法流程图,求,可找到数列 和 满足,应用夹逼准则,验证 单调有界,应用单调有界准则,恒等变形,应用极
2、限的四则运算法则求极限,判别 的形式,为分式,求,为未定式,为复合函数,函数极限解题 方法流程图,一、函数连续的基本概念,1函数连续的定义,右连续:,函数的连续性,3函数连续与极限的关系,4间断点的分类,间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点：,跳跃间断点：,无穷间断点：,振荡间断点：,（左右极限都存在）,（左右极限至少有一个不存在）,左右极限至少有一个是,二、连续函数的运算法则,1若 都连续;则 也连续.,2若 都连续;则 也连续.,3若 都连续;则 也连续(时).,4复合性质：若 在点 连续;在,连续,则 在 连续.,三、闭区间上连续函数的性质,函数极限典型例题,【例1】计算,分析
3、 经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子 分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子 约去，再求极限。,解：,分析 对形如 的极限，分子、分母可同除以 中x的最高次，再利用 可求得最终结果。,【例2】计算,解：,解：,思考,【例3】计算,分析 由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成 的形式。,解法2：,【例4】计算,注意：下面的计算是错误的。,因为,所以,因为,，故 并不存在，,所以不能应用极限四则运算法则。,解：,【例 5】*计算,分析 本题含，当 与(0)时，有不同的结果，需要用左右极限求之。,解：,【例 6】计算,而,由夹逼准则得,分析 本题是求n项和的数列极限问题，从通项
4、的形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。,【例 7】设,解：(1),由于,所以,又,有下界,进而证明了数列的有界性。,由单调有界数列必有极限知,解：(2),设,则有,（因，故舍去负值）,注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。,所以,解法1：,【例 8】计算,解法2：,分析 分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。,解：,【例 9】计算,解：,分子有理化,极限非零部分可先提出,【例 10】计算,分析 由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化变形，可求
5、出极限。,即所求,解：由于，,极限 存在,故必有，,于是有，即,将 代回原极限式有,函数连续与间断典型例题,分析 求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。,解：,【例1】求下列极限：(1)(2),又，故当 时,在 处连续.,解：因为,已知 在 内连续，所以在 处连续，则有,所以,【例4】求函数 的间断点，并指出间断点的类型。,解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为,所以 为间断点。,而,所以 为第二类无穷间断点。,所以 为第一类可去间断点。,解:由 的表达式,间断点只能在无定义的点或分界点处,所以 是第二类无穷间断点.,当 时,所以 是第一类跳跃间断点.,当 时，,证明:令,【
6、例6】证明方程 在区间 内至少有一个根.,则 在 上连续,又,由零点定理，至少,使得,即,分析 如果令，那么证明方程 有根等价于 有零点，因此可用零点定理证明。,所以方程 在区间 内至少有一个根.,证明:令,显然 在 上连续,已知,故,则当 时,可取 或.,而当 时,由零点定理，至少,使得,分析 如果令，那么证明等式 成立等价于 有零点，因此可用零点定理证明。,即.,分析 初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间.,解：函数为初等函数，,为其间断点。,因为,所以 为第二类无穷间断点.,所以连续区间为 和,分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。,【例9】*求函数 的所有间断点，并指出类型。,解:当 时，,当 时，,当 时，,所以,故 是 的跳跃间断点;,故 也是 的跳跃间断点;,因为,因为,
