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1、1,高等数学,天生我材必有用 直挂云帆济沧海,2,1、适应初等数学到高等数学的转变。,2、适应直接面授到多媒体教学的转变。,3、适应教学管理模式的转变。,4、适应左脑学习到全脑学习的转变。,5、学习“学习的方法”。,叨 叨 两 句,3,1、每次作业必须交，自己独立完成！,2、字迹一定工整清楚，计入平时作业成绩！,3、出勤与作业构成平时成绩。,4、最后成绩是期末考试成绩跟平时成绩综综合,所占比例分别为0.8与0.2.,5、数学学习作业非常重要！,作业要求,4,究竟谁大?=?_,?,如果后者大,那比前者大多少?,那么是相等吗?,想知道里边的奥秘吗?那就跟我进入数学的世界吧!,5,数学研究数和空间图
2、形及其相互关系的科学。,科 学,自然科学 数学,社会科学,数学科学,初等数学 代数、几何、三角、解析几何,高等数学 微积分、空间解析几何、微分方程、无穷级数.,微积分（数学分析）,用极限研究函数,一元函数微积分,多元函数微积分,6,第1章 函数与极限,第1节 函数（初等函数）第2节 极限：数列的极限，函数的极限，,无穷小与无穷大，极限运算法则，极限存在准则，两个重要极限 无穷小的比较.第3节 连续:函数的连续性与间断点 连续函数的运算法则，初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质,高等数学课程的主要内容是微积分及其应用,微积分的基础就是:极 限,7,本节要点,重点:基本的概念与定义,要求必须理
3、解,勿以简单而不屑,任何高深知识都是积累起来的,第1节 函 数,常量与变量,函数概念,函数,函数的表示法,函数的几种特性,反函数与复合函数,初等函数,8,常量与变量,常量:在一定过程中保持不变的量(常用a、b、c等表示）,变量:随过程而变化的量（常用x、y、z等表示）,常量在数轴上的图像：一个定点,1、函数概念,函数例子：,圆的面积,自由落体,变量在数轴上的图像：一个点集,例如，如果变量,的所有取值的全体组成区间,则,9,则称 是 的函数，,记作,叫作函数的值域。,叫作函数在 处的函数值。,D叫作函数定义域，,叫作自变量，,叫作因变量。,定义:,若,按照一定的法则总有一个确定的数值和 的这个值
4、对应,在一个给定的数集D中取值，,10,例 确定下列关系是否是函数关系,对任何实数x,都没有按给定的法则与之对应的y值.函数的定义域不能为空集,所以此例不是函数关系.,按”关系这种对应,任意x,都有无穷多y 值与之对应.这与函数的定义不符,所以不是函数关系.,2.定义域:a.自然定义域 b.实际定义域,b.如上例,是,11,两个函数相同的定义：定义域，对应法则相同,(1)(2)都不是相等的函数关系.,函数的表示,函数的对应法则 可用不同的形式表达:,1.解析法,2.表格法,3.图形法,12,函数的图形:,W表示函数y=f(x)的值域,下面看几个函数具体的例子,平面点集,一般是一条或几条曲线.,
5、13,例 1,符号函数,例 3,绝对值函数,定义域,值域,例 2自学.,分段函数 有的函数在其整个定义域上不能用一个统一的解析式来表示，而是在定义域的几个不重叠的部分，分别用几个不同的解析式来表示，这样的函数称为分段函数.,例 1与例3所给函数称为分段函数.,14,单值函数：自变量在定义域内取一个数值时，函数值只有一个,多值函数：一个自变量对应多个函数值,多值函数的例子：,以后如果没有特殊说明的话，函数都是单值函数。,15,函数的奇偶性,偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.,2、函数的几种特性,16,函数的单调性,恒有，,则称 在 内单调增加。,恒有，,则称 在 内单调减少
6、。,例.确定函数的单调区间,结论:(1)在整个定义域上单调增.,(2),17,函数的有界性,上界：,下界：,有界：,使得:都有,称 在 上有上界。,都有,称 在 上有下界。,都有,称 在 上有界。,设函数 的定义域为D，区间,如果 常数,18,2、有界的几何解释：,注意:,不同的区间上，可有,不同的有界或者无界的性质,复习：有界：,都有,称 在 上有界。,无界：,使得,称 在 上无界。,19,它是一个有界函数。,在（0，1）内没有上界，但有下界，,例,例,但在（1，2）内有界。,例,在定义域（0，+）内有下界，无上界.,在（-1，1）内既无上界也无下界。,函数的周期性：自学,20,3.反函数与
7、复合函数,对于任一,必定有唯一的xD,使 f(x)=y,记作,称为 y=f(x)的反函数,其定义域为W，值域为 D.,相对而言,y=f(x)称为直接函数.,那么变量 x 是变量 y 的函数,yW，,反函数定义,21,通常表示为,习惯上自变量用 x 表示,因变量用 y 表示,的反函数,反函数的图形：,平面上,y=x 对称。,的图形画在同一坐标,这两个图形关于直线,函数 与 是变量 x 与 y 的同一方程.,22,复合函数,y=f(u),这个函 数称为由函数,复合函数概念的两个作用（1）复合;（2）分解,例4自学,23,4.初 等 函 数,基本初等函数,幂函数:,(是常数）,是最常见的幂函数.,我
8、们经常研究的一些函数都是由几种最简单的函数构成的.,常数函数,重点：函数的定义域，值域，图形，单调性等，无穷远点处的变化趋势.,24,是科技中常用的指数函数.,对数函数,指数函数与对数函数：,叫作对数函数。,值域,定义域,25,三角函数,周期函数,奇函数,周期函数,偶函数,26,定义域,定义域,此外,27,反函数存在性的充分条件:,若函数y=f(x)定义在某个区间I上并在该区间单调(增加或减少)则,它的反函数必存在.,例,对于每一个y,有无穷多个x的值,满足 sinx=y,正弦函数 y=sin(x)的定义域为 值域为,因此,y=sinx在 上不存在反函数,但如果把函数定义在一个单调区间上 此函
9、数存在反函数,称为反正弦函数,记作 y=arc sinx,定义域-1,1,值域,反余弦函数,y=arc cos x 定义域 值域,反正切函数,y=arc tg x 定义域,反余切函数,y=arc ctg x 定义域 值域,反三角函数,28,29,由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个解析式表示的函数,叫做初等函数,30,初等函数,如何研究全部初等函数：基本初等函数的性质，再利用四则运算法则，复合运算法则.,复合函数的分解：,由外向内，层层分解.,31,称为点 的去心邻域.,即开区间,邻域,记作,5.极坐标,极坐标系：,32,补充作业,的定义域，值域，作出它们的图形以及它们的渐近线，经过的特殊点，用彩色笔标出函数在无穷远点处的变化趋势.,33,小结,1.重点理解并掌握函数的概念 及函数性质,会求函数的定义域.,2.会求简单的反函数.,掌握基本初等函数的定义域、值域、图形与性质。,3、分段函数：要会求分段函数的定义域，函数值,
