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1、一阶微分方程 习题课,基本概念,一阶方程,类 型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4,二阶常系数线性方程解的结构,特征方程的根及其对应项,f(x)的形式及其特解形式,二阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、四种标准类型的一阶微分方程的解法,(1)可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2)齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,(3)一阶线性微分方程,齐次,非齐次.,解法,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,解法 需经过变量代换
2、化为线性微分方程,(4)伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,齐次方程,可分离变量的方程,一阶线性非齐次,伯努利方程,两种基本类型,变量可分离,一阶线性,其余类型的方程可借助于变量代换或可转化成基本类型的方法,两种基本类型代表两种典型解法,分离变量法,常数变易法,变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非变量可分离,降阶,作变换,作变换,3、一阶方程解题程序,分离变量,解方程,解方程,齐次型,一阶线性,Bernoulli,二、典型例题,解,原式可化为,伯努利方程,例1,原式变为,一阶线性非齐方程,对应齐方通解为,利用常数变易法,代入非齐方程得,原方程的通解为,例2 解方程,经过整理，分离变量后积分，求得上式的通解为,解 此方程是齐次方程，通过作变换 y=ux，将它化为可分离变量方程,将 代入原方程，得到,解 设在 t 时刻物体的温度为 u，则由题意建立微分方程,例3 假定加热后的物体在空气中的冷却速度与问物体和空气的温度差成正比，设比例系数为k，物体加热后的温度是100，空气温度是20，试求物体温度关于时间的函数。,初始条件为t0，u100，这是可分离变量方程，变量分离后积分得,将初始条件代入，得C80，于是所求物体温度和时间的函数关系为,
