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1、二次根式,九年级数学上册,第一课时二次根式的定义,什么是一个数的算术平方根？如何表示？,正数的正的平方根叫做它的算术平方根。,复习,什么叫做一个数的平方根？如何表示？,一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。,用(a0)表示。,0的算术平方根平方根是0,a的平方根是,正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根。,1、平方根的性质：,1、16的平方根是什么?算术平方根是什么？,2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？,3、7有没有平方根？有没有算术平方根？,正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。,思考,50米,a米,塔座所形成的这个直角三角形的斜边长
2、为_米。,塔座,?米,截面,S,圆形的截面在平面图上的面积为S，则半径为_.,如图所示的值表示正方形的面积，则,正方形的边长是,b-3,表示一些非负数的算术平方根,a叫被开方数,你认为所得的各代数式有哪些共同特点？,2.a可以是数,也可以是式.,3.形式上含有二次根号,4.a0,0,注意理解：1.表示a的算术平方根,(双重非负性),在实数范围内,负数没有平方根,练习：,知识点一 二次根式的判定,2、判断下列代数式中哪些是二次根式？,，,（3）,（4）,，,（5）,（1）（3）（4）（5）,求下列二次根式中字母的取值范围：,求二次根式中字母的取值范围的基本依据：,被开方数不小于零(二次根式有意义
3、)；,分母中有字母时，要保证分母不为零。,知识点二 二次根式内字母的取值范围,a-1,a为一切实数,1、x取何值时,下列二次根式有意义?,快速口答,二次根式内字母的取值范围拓展训练,解得：x=2,把x=2代入已知式子得：y=5,6,知识回顾,2.已知a.b为实数，且满足 你能求出a+b 的值吗？,若,=0，则,=_。,3、已知 有意义,那A(a,)在 象限.,第二,作业,4、2+3-x的最小值为，此时x的值为。,3,2,3,由已知可得:a=1,第二课时二次根式的性质,探究,2,4,17,0,知识点三 二次根式的性质,例题讲解,计算：,解：,1、练习,解：,探究,2,0.1,0,一般地，根据算术
4、平方根的意义，,a,-a,(a0),(a0),例题讲解,化简：,解：,练习,8,3,12,6,1、计算：,2、练习,2.从取值范围来看,a0,a取任何实数,1:从运算顺序来看,先开方,后平方,先平方,后开方,区别,3.从运算结果来看:,=a,a(a 0),-a(a0),=,=a,作业化简下列各式:,(2009年河南省)实数p在数轴上的位置如图所示，化简,1.若，则化简的结果是,2.设a,b,c为 ABC的三边，化简,第三课时二次根式典型练习题,二次根式的非负数性质的典型例题,变式,1.什么叫二次根式？,2.两个基本性质:,复习提问,=a,a(a 0),-a(a0),=,=a,(a 0),知识回
5、顾,快速口答,第四课时二次根式的乘除（1）,计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律,1、=_,用你发现的规律填空,并用计算器验算,思考：,(a0,b0),6,6,20,20,一般地,对于二次根式的乘法规定:,注意:,a、b必须都是非负数！,算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根,(a0,b0),(a0,b0),算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根,练习:计算,解:,注意字母的取值范围,化简二次根式的步骤：,1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.,2.应用,3.将平方项应用 化简.,想一想？,成立吗？为什么？,非负数,例题 计算：,同学们自己来算吧！看谁算得既快又准确！,1.化
6、简：,2.化简:（1）（2）（3）（4）,3.已知一个矩形的长和宽分别是，求这个矩形的面积。,练习,解:,答：AB长 cm.,1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根。,课堂小结：,a0,b0,1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.,2.应用,2.化简二次根式的步骤：,3.将平方项应用 化简,自我检测,1.下列运算正确的是,A,选做题(A组),-4 13,8.64,-3-10,2.填空,选做题(B组),第五课时二次根式的乘除（2）,1.什么叫二次根式？,2.两个基本性质:,复习提问,=a,a(a 0),-a(a0),=,=a,(a 0),思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？请试着自己
7、举出一些例子,3.二次根式的乘法：,算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根,积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.,复习提问,(a0,b0),两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数,计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?,规律:,例：计算,解：,两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数,试一试,计算：,解：,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。,例5：化简,解：,两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数,注意：如果被开方数是带分数，应先化成假分数。,练习一,解：,练习二,1,例6：计算,解：,在二次根式的运算中，
8、最后结果一般要求(1)分母中不含有二次根式.(2)最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式.,把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分母有理化。,怎样形式才是最简二次根式,1.被开方数不含分母,2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式3.在分母的位置上不含根号,下列根式中，哪些是最简二次根式？,第六课时二次根式的化简,怎样形式才是最简二次根式,1.被开方数不含分母,2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式3.在分母的位置上不含根号,B,4,练习一：把下列各式化简(分母有理化),解：,注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分母进行化简。,思 考
9、,应用平方差公式进行分母有理化,1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。,练习二：,2.把下列各式的分母有理化：,3.化简：,（）a1,（）10,（）4,5、如图，在RtABC中,C=900，A=300，AC=2cm,求斜边AB的长。,m5,知识回顾,第七课时二次根式的混合运算,计算,二次根式的混合运算顺序与实数运算类似,思考题：,1.,1.,知识点一达标练习,C,D,x1,x0,任意实数,x-,x-4且x3,2,作业,第八课时二次根式的练习题,A,第九课时二次根式的加减,回顾,1、什么叫同类项？2、怎样合并同类项？,1、同类二次根式,几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几
10、个二次根就叫做同类二次根式。,4,-2,训 练,A,2、二次根式的加减,（1）先化简，,（2）再合并。,化 简,合 并,例1、计算,3、二次根式的混合运算,例2、计算,例3、计算,课堂训练,第十课时二次根式的典型习题,二次根式的特性,一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？,解：,达标练习一,A,A,D,达标练习二,A,-1,7,1,第十一、十二课时二次根式的复习题,二次根式复习检测,9(2012中考预测题)若 3a，则a与3的大小关系是()Aa3 Da3,25已知:,利用上面的规律计算：,=。,27.观察下列分母有理化的运算,2011,故乙的解答是错误的。,29.如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为20平方厘米？此时PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）,解：设经过t秒时，PBQ的面积为20平方厘米。,则此时有PB=t,BQ=2t;,在RtPBQ中，SPBQ=,
