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1、第八节函数与方程,【知识梳理】1.必会知识 教材回扣填一填(1)函数的零点:函数零点的定义:函数y=f(x)的图像与_称为这个函数的零点.,横轴的交点的横坐标,函数零点的判定(零点存在性定理):,连续曲线,f(a)f(b)0,f(x0)=0,(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与零点的关系:,(x1,0),(x2,0),(x1,0),2,1,0,(3)二分法:定义:每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个_的方法称为二分法.给定精度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:(i)确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精度;(ii)求区间(a,b)的中
2、点c;,小区间,(iii)计算f(c);a.若f(c)=0,则c就是函数的零点;b.若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c);c.若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b).()判断是否达到精度:即若|a-b|,则得到零点近似值;否则重复(ii)(iii)().,2.必备结论 教材提炼记一记(1)有关函数零点的结论:若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持_.连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.,同号,(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x
3、)的图像与_有交点函数y=f(x)有_.,x轴,零点,3.必用技法 核心总结看一看(1)数学思想:函数与方程、转化与化归、数形结合思想.(2)记忆口诀:用二分法求零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办?依据精度来判断.,【小题快练】1.思考辨析 静心思考判一判(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则一定有f(a)f(b)0.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点.()(4)若函数f(x)在(a,b)上单调且
4、f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点.(),【解析】(1)错误,函数f(x)=x2-1的零点为-1和1,而并非其与x轴的交点(-1,0)与(1,0).(2)错误.函数f(x)=x2-x在(-1,2)上有两个零点,但f(-1)f(2)0.(3)正确.当b2-4ac0时,二次函数图像与x轴无交点,从而二次函数没有零点.(4)正确.由已知条件,数形结合得f(x)与x轴在区间a,b上有且仅有一个交点.故正确.答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改编 链接教材练一练(1)(必修1P116例2改编)函数f(x)=ex+3x,则方程ex+3x=0实数解的个数是().A.0B.1C
5、.2D.3【解析】选B.由已知得f(x)=ex+30,所以f(x)在R上是增加的,又f(-1)=e-1-30,因此f(x)的零点个数是1,故方程ex+3x=0有一个实数解.,(2)(必修1P117例4改编)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间2,3内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是.【解析】因为f(2)f(2.5)0,所以满足条件的下一个区间为(2,2.5).答案:(2,2.5),3.真题小试 感悟考题试一试(1)(2015西安模拟)函数f(x)=的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,2)与(2,3),【解析】选B.f(x)
6、=当10,所以f(x)0,故函数f(x)在(1,2)上没有零点.f(2)=1-ln1=1,f(3)=因为 2.828e,所以8e2,即ln82,即f(3)0,又f(4)=-ln30,所以f(x)在(2,3)内存在一个零点.,(2)(2015抚州模拟)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是.【解析】由 得所以g(x)=-6x2-5x-1的零点为答案:,(3)(2015宿州模拟)已知函数f(x)=lnx-x+2有一个零点所在的区间为(k,k+1)(kN*),则k的值为.【解析】由题意知,当x1时,f(x)是减少的,因为f(3)=ln3-10,f(
7、4)=ln4-20,所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以k=3.答案:3,考点1 确定函数零点所在区间【典例1】(1)(2014北京高考)已知函数f(x)=-log2x在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+),(2)设函数f(x)=x-lnx,则函数y=f(x)()A.在区间(,1),(1,e)内均有零点B.在区间(,1),(1,e)内均无零点C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点,【解题提示】(1)利用零点存在性定理进行判断.(2)判断函数图像的连续性、函数在已知区
8、间上的单调性,利用函数零点存在性定理进行判断.,【规范解答】(1)选C.因为f(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(3)=2-log230,f(4)=-log24=-20,f(e)=e-lne0,所以函数有零点在区间(1,e)内.故选D.,【一题多解】解答本题,你知道几种解法?解答本题,还有以下解法:选D.令f(x)=0得 x=lnx.作出函数y=x和y=lnx的图像,如图,显然y=f(x)在(,1)内无零点,在(1,e)内有零点.故选D.,【规律方法】确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区
9、间上.(2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图像是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,【变式训练】(2015嘉兴模拟)方程log3x+x=3的根所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.方法一:方程log3x+x=3的根即是函数f(x)=log3x+x-3的零点,由于f(2)=log32+2-3=log32-10且函数f(x)在(0,+)上是增加的.所以函数f(x)的零点即方程log3x
10、+x=3的根所在区间为(2,3).,方法二:方程log3x+x=3的根所在区间即是函数y1=log3x与y2=3-x交点横坐标所在区间,两函数图像如图所示.由图知方程log3x+x=3的根所在区间为(2,3).,【加固训练】1.(2015西安模拟)函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为()A.(0,)B.(,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.因为f()=log2-2=-30,故函数零点所在区间为(1,2).,2.已知定义在R上的函数f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4,其中函数y=g(x)的图像是一条连续曲线,则方程f(x)=0在下面哪个范围内必有实数根()A.(0
11、,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4=(x-1)(x-2)g(x)+3x-4,故f(1)=-10,f(1)f(2)0.,3.(2013重庆高考)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内,【解析】选A.因为a0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,即函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)
12、内.,考点2 确定函数零点的个数【典例2】(1)(2013天津高考)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2014福建高考)函数f=的零点个数是.,【解题提示】(1)根据2x|log0.5x|-1=0转化为两个函数g(x)=|log0.5x|与h(x)=图像的交点个数问题求解.(2)分段函数采用分段判断,并结合零点的存在性定理确定零点的个数.,【规范解答】(1)选B.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即2x|log0.5x|-1=0的解,即|log0.5x|=的解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数h(x)=的图像,由
13、图像可知,两函数图像共有两个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点.,(2)令x2-2=0,解得x=(舍)或x=-;令2x-6+lnx=0,即lnx=-2x+6,在x0的范围内两函数的图像有一个交点,即原方程有一个根.综上函数f(x)共有两个零点.答案:2,【易错警示】解决本例题(1)易出现如下三点错误:(1)不能对|log0.5x|化简.(2)不能将问题转化为两个函数的交点问题.(3)函数图像不准确导致失误.,【互动探究】本例(2)中的函数变为f(x)=则零点的个数如何?,【解析】当x0时,令g(x)=lnx,h(x)=x2-2x.画出g(x)与h(x)的图象如图:故当x
14、0时,f(x)有2个零点.当x0时,由4x+1=0,得x=-,综上函数f(x)的零点个数为3.,【规律方法】判断函数零点个数的方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.,(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题,先画出两个函数的图像,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,【变式训练】1.已知函数f(x)=则函数y=f(
15、f(x)+1的零点的个数是()A.4 B.3 C.2 D.1,【解析】选A.由f(f(x)+1=0可得f(f(x)=-1.又由f(-2)=f()=-1,可得f(x)=-2或f(x)=.若f(x)=-2,则x=-3或x=;若f(x)=,则x=-或x=,综上可得函数y=f(f(x)+1有4个零点.,2.(2015延安模拟)函数y=lg|x-1|+的零点个数是.【解析】由函数零点的定义可得:令y=0,即有:lg|x-1|+=0,整理得:lg|x-1|=-,又令:y1=lg|x-1|,y2=-,在同一坐标系内作出这两个函数的图像,如图所示:它们有三个交点,则函数有三个零点.答案:3,【加固训练】1.(
16、2015湛江模拟)函数f(x)=xcos2x在区间0,2上的零点的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5,【解析】选D.令f(x)=xcos2x=0,得x=0或cos2x=0,故x=0或2x=k+,kZ,即x=0或x=+,kZ.又x0,2,故k可取0,1,2,3,故零点的个数有5个.,2.已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(x-1)-lnx的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选C.依题意得,当x-10,即x1时,f(x)=1-lnx,令f(x)=0得x=e1;当x-1=0,即x=1时,f(x)=0-ln1=0;当x-10,即x1时,f(x)=-1-lnx,令
17、f(x)=0得x=1.因此,函数f(x)的零点个数为3.,3.(2014哈尔滨模拟)已知函数y=f(x)(xR)满足f(x+1)=-f(x),且当x(-1,1时,f(x)=|x|,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5上的零点的个数为()A.8 B.9 C.10 D.11,【解析】选B.函数y=f(x)(xR)满足f(x+1)=-f(x),故f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),即函数f(x)的周期为2,作出x(-1,1时,f(x)=|x|的图像,并利用周期性作出函数f(x)在-5,5上的图像,在同一坐标系内再作出g(x)在-5,5上的图像,由图像可知,函
18、数f(x)与g(x)的图像有9个交点,所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5上的零点的个数为9.,4.设函数f(x)=x2+(x0).当a1时,方程f(x)=f(a)的实根个数为.,【解析】令g(x)=f(x)-f(a),即g(x)=整理得:g(x)=(x-a)(ax2+a2x-2).显然g(a)=0,令h(x)=ax2+a2x-2.因为h(0)=-20,所以h(x)在区间(-,0)和(0,a)上各有一个零点.因此.g(x)有三个零点,即方程f(x)=f(a)有三个实数解.答案:3,考点3 函数零点的应用知考情 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现,求函数零点问题,难度
19、较小;利用零点的存在性求相关参数的值,难度较大.,明角度命题角度1:已知函数的零点或方程的根求参数【典例3】(2014天津高考)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为.,【解题提示】函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点等价于函数y=f(x)与y=a|x|的图像恰有4个公共点,结合函数y=f(x)与y=a|x|的图象确定实数a的取值范围.,【规范解答】在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)和y=a|x|的图像可知,若满足条件,则a0.,当a2时,在y轴右侧,两函数图像只有一个公共点,此时在y轴左侧,射线y=ax(x0)与抛物线y=-x2-5x-4(
20、-41,故1a2.答案:(1,2),命题角度2:利用函数零点比较大小【典例4】(2015广州模拟)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为.【解题提示】先确定函数f(x)与g(x)的单调性,然后结合函数的图像及零点存在性定理进行判断.,【规范解答】由题意,知f(x)=ex+10恒成立,所以函数f(x)在R上是增加的,而f(0)=e0+0-2=-10,所以函数f(x)的零点a(0,1);由题意,知g(x)=+10,所以函数g(x)在(0,+)上是增加的,又g(1)=ln1+1-2=-10,所以
21、函数g(x)的零点b(1,2).,综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是增加的,所以f(a)f(1)f(b).答案:f(a)f(1)f(b),悟技法函数零点的应用问题类型及解题思路(1)已知函数零点求参数.根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步:判断函数的单调性;利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式;解不等式,即得参数的取值范围.(2)已知函数零点的个数求参数.常利用数形结合法.(3)借助函数零点比较大小.要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a)、f(b)与0的大小.,通一类1.(2014重庆高考)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且
22、仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(),【解析】选A.g(x)=0,则f(x)=m(x+1),故函数g(x)在(-1,1内有且仅有两个不同的零点等价于函数y=f(x)的图像与直线y=m(x+1)有且仅有两个不同的交点,函数f(x)的图像如图中实线所示,易求kAB=,kAC=-2,过A(-1,0)作曲线的切线,不妨设切线方程为y=k(x+1),由 得kx2+(2k+3)x+2+k=0,则=(2k+3)2-4k(2+k)=0,解之得k=故实数m的取值范围为(,-2(0,.,2.(2013天津高考)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)
23、=0,则()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0,【解析】选A.因为f(x)=ex+10,所以f(x)=ex+x-2在其定义域内是增加的,由f(a)=0知00,g(x)=+2x0,故g(x)=lnx+x2-3在(0,+)上也是增加的,由g(b)=0知1b2,所以g(a)g(b)=0,0=f(a)f(b),因此g(a)0f(b).,3.(2015北京模拟)已知函数f(x)=有3个不同的零点,则实数a的取值范围是.,【解析】依题意,要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x0时,方程2x-a=0,即2x=a必有一个根,此时00时,方程x2-3ax+
24、a=0有两个不等的实根,即方程x2-3ax+a=0有两个不等的正实根,于是有由此解得a,因此,满足题意的实数a需满足即 a1.答案:,巧思妙解4 巧用函数的图像求解零点问题【典例】(2015珠海模拟)已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时,函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN*,则n=.,【常规解法】设f(x0)=0,因为f(x)=logax+x-b,又3logaa+3-b=4-b0.,综上,x0(2,3),又因为x0(n,n+1),故n=2.答案:2,【巧妙解法】如图所示,在直角坐标系下分别作出y=log2x,y=log3x及y=3-x,y=4-x的图像,
25、显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界),其中各点的横坐标均落于(2,3)之内,又因为x0(n,n+1),nN*,故n=2.答案:2,【方法指导】(1)要强化训练零点求法,函数与方程的转化技巧.(2)会利用数形结合判断零点个数、零点所在区间.考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题,一般难度较大,在复习中要有所准备,但题量不必太大.,【类题试解】(2015洛阳模拟)已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0(n,n+1)(nZ),其中常数a,b满足2a=3,3b=2,则n的值是.【常规解法】依题意a=log231,00,所以f(-1)f(0)0,因此x0(-1,0),所以n=-1.答案:-1,【巧妙解法】依题意得a1,0b1,在同一坐标系中分别作出函数y=ax与y=-x+b的图像,如图所示,由图知x0(-1,0),所以n=-1.答案:-1,
