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1、zhouq,第九章 多元函数微分学及其应用,第1节 多元函数的基本概念,一、多元函数的概念 1、邻域 2、区域 3、二元函数二、多元函数的极限三、多元函数的连续性,zhouq,（1）邻域,一、多元函数的概念(以二元为例),例如：点(0，2)的0.5邻 域如图所示,特记去心邻域：,zhouq,（2）区域,例如：,即为开集,如图所示：,zhouq,连通的开集称为区域或开区域,例如,（2）区域,zhouq,为有界闭区域；,为无界开区域,例如，,zhouq,几点说明,平面上的邻域、区域等概念可推广到一般空间以及n维空间中去；,如在空间中：,邻域的定义式为：,邻域的几何意义为半径为，球心在(x0，y0，
2、z0)球体，如图：,在n维空间中：,无几何意义,zhouq,（3）二元函数的定义,1、类似地可定义三元及三元以上函数,定义：,自变量,定义域,z的变化范围称值域,因变量,2、允许自变量变化的范围为定义域,zhouq,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,为使分子、分母有意义，需成立下式,zhouq,如图所示，二元函数的图形通常是一张曲面.,称点集：,为二元函数的图形。,3、二元函数的图形,如,zhouq,二、多元函数的极限,说明：,1）定义中PP0的方式是任意的；,2）二元函数的极限也叫二重极限,3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,zhouq,例2 求证,当 时，,原结论成立,证明：,z
3、houq,例3 求极限,解：,其中,或y0当y0时,注意：多元函数的极限求法较复杂，在此不多做研究；但部分极限可通过一元函数的极限的有关结论求得；,zhouq,例4 证明极限 不存在,证明：,取,其值随k的不同而变化，故极限不存在。,注意：证明多元函数的极限不存在时；一般是取两种不同的路径求极限，若两个极限不相等，则由多元函数极限的定义知，该 极限不存在；,zhouq,多元函数极限的推广,在n维向量空间中，可将n元函数f(x1，x2，xn)看成空间点P(x1，x2，xn)的函数，称为点函数，记为：f(P),zhouq,三、多元函数的连续性,定义：,说明：,同一元函数一样,关于连续：多元函数在P
4、0点连续，即指极限成立,关于间断：没有定义的点一定是间断点，多元函数的间断点可形成一条线；,连续函数求极限等同求函数值,zhouq,解,故函数在(0,0)处连续.,zhouq,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,则极限,zhouq,注：以上结论都不作证明，可直接应用；,关于连续函数的重要结论,zhouq,例,解：,函数在(0，0)点无定义，但,(分子有理化),(为连续函数),(求函数值),zhouq,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,小结,多元函数的定义,zhouq,思考题,解答:,不能.,例,取,但是 不存在.,因若取,zhouq,二.求下列函数的间断点,练习题,作业 P62：3,5（偶）；6（奇）；7；8,
