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1、学案12 导数的应用,考点1,考点2,考点3,考点4,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,返回目录,1.以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间,求极值与最值.2.以实际问题为背景,考查利用导数解决生活中的优化问题.3.以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向量等知识相结合的问题.,返回目录,1.函数的单调性与导函数(1)如果在(a,b)内,则f(x)在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的单调增区间;(2)如果在(a,b)内,则f(x)在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的单调减区间.2.函数的极值,f(x)0,f(x)0,返回目录,(1)函数极值的定义 已知函
2、数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0处取,记作.并把x0称为函数f(x)的一个.极大值与极小值统称为.与 统称为极值点.,极大值,y极大=f(x0),极大值点,极小值,y极小=f(x0),极小值点,极值,极大值点,极小值点,返回目录,(2)求函数极值的方法 解方程f(x)=0,当f(x0)=0时,如果在x0附近左侧,右侧,那么f(x0)是极大值.如果在x0附近左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.如果f(x)在点x0的左、右两侧，则f(x0)不是函数极值.3.函数的最值(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件
3、 如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.函数的最值必在极值点或区间端点取得.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,符号不变,连线不断,返回目录,(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a,b)内的.将函数y=f(x)的各极值与 比较,其中 的一个是最大值,的一个是最小值.4.用导数解决生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是:,最小,极值,端点处的函数值f(a),f(b),最大,返回目录,考点1 函数的单调性与导数,2010年高考北京卷已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2(k0).(1)当k
4、=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.,返回目录,【分析】(1)利用导数的几何意义求切线方程.(2)对k的不同取值分类讨论,求出函数的单调区间.【解析】(1)当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+x2,f(x)=-1+2x.由于f(1)=ln2,f(1)=,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线.方程为y-ln2=(x-1),即3x-2y+2ln2-3=0.,返回目录,(2)f(x)=,x(-1,+).当k=0时,f(x)=,所以，在区间(-1,0)上，f(x)0;在区间(0,+)上，f(x)0,所以，在区间(-1,0)和（,+）上，
5、f(x)0;在区间（0,）上，f(x)0.,返回目录,故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和（,+），单调递减区间是（0,）.当k=1时，f(x)=.故f(x)的单调递增区间是(-1,+).当k1时，由f(x)=0,得x1=(-1,0),x2=0.所以，在区间（-1,）和(0,+)上，f(x)0;在区间（,0）上，f(x)0.故f(x)的单调递增区间是（-1,）和(0,+)，单调递减区间是（,0）.,利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(
6、或递减)的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f(x)0或f(x)0恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f(x)不恒为0,则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.,返回目录,设
7、函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.,由已知得函数f(x)的定义域为（，）,且f(x)=(a1).(1)当-1a0时,由f(x)0知,函数f(x)在(-1，+）上单调递减.,返回目录,(2)当a0时，由f（x）=0,解得x=.,f（x）,f(x)随x的变化情况如下表：,返回目录,从上表可知 当x(-1,)时，f(x)0,函数f(x)在(,+)上单调递增.综上所述:当-1a0时,函数f(x)在(-1,+)上单调递减.当a0时,函数f(x)在(-1,)上单调递减,f(x)在(,+)上单调递增.,考点2 函数的极值与导数,2010年高考安徽卷设a为实数，函
8、数f(x)=ex-2x+2a,xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2-1且x0时，exx2-2ax+1.,返回目录,【分析】求出f(x),利用f(x)0,f(x)0,求出单调区间,再求极值.,【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,xR知f(x)=ex-2,xR.令f(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,返回目录,返回目录,故f(x)的区间是(-,ln2)，区间是(ln2,+),f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a)(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1
9、,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR.由(1)知当aln2-1时,g(x)取最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增.于是当aln2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).而g(0)=0,从而对任意x(0,+)都有g(x)0.即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.,返回目录,本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.,返回目录,设函数f(x)=-x(x-a)2(xR)，其中aR.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,
10、f(2)处的切线方程；(2)当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值.,(1)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,f(x)=-3x2+4x-1,f(2)=-12+8-1=-5,当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 5x+y-8=0.,返回目录,(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,f(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令f(x)=0，解得x=或x=a.由于a0，以下分两种情况讨论.若a0,当x变化时，f（x）,f(x)的变化情况如下表：,因此，函数f(x)在x=处取得极小值f(),且f(
11、)=;函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.,返回目录,若a0,当x变化时，f（x）,f(x)的变化情况如下表：,因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;函数f(x)在x=处取得极大值f(),且f()=.,返回目录,考点3 函数的最值与导数,返回目录,2010年高考江西卷设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a0).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1上的最大值为,求a的值.,【分析】利用单调性求最值.,返回目录,【解析】函数f(x)的定义域为(0,2),f(x)=+a.(1)当a=1时,f(x)=,所以f(x)
12、的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,2).(2)当x(0,1时,f(x)=+a0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)=a,因此a=.,本题主要考查函数的单调区间、最值及导数的应用，同时考查运算求解能力.,返回目录,已知a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0 x1)的最大值.,f(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减.当x=0时，有最大值f(0)=0.若a0，则令f(x)=0，解得x=.x0,1,则只考虑x=的情况.如下表所示:,【解析】,返回目录,(1)0 1，即0a1，当x=时,f(x)有最
13、大值f()=2a.(2)1，即a1，当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1.综上,当a0,x=0时，f(x)有最大值0;当0a1,x=时,f(x)有最大值2a;当a1，x=1时，f(x)有最大值3a-1.,返回目录,返回目录,考点4 最优化问题,一 艘 轮船在航行中的燃料费和它速度的立 方成 正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？,【分析】由题意构造函数，利用导数求最值.,【解析】设船的速度为x(x0)（公里/小时）时,燃料费用为Q元，则Q=kx3.由6=k103可得k=,Q
14、=x3.总费用y=(x3+96)=x2+.y=x-.令y=0得x=20.当x(0,20)时,y0，此时函数单调递减.当x(20,+)时,y0，此时函数单调递增.当x=20时，y取得最小值.此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小.,返回目录,（1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零;求y=0的根，求出极值点;最后写出解答.（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f(x)=0,且在两侧f(x)的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点.,返回目录,从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，再将四边向
15、上折起，做成一个无盖长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t(t0).试问当x取何值时，容积V有最大值?,返回目录,V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x.t,00,得0a，此时V(x)为增函数；由V0，得 xa，此时V（x）为减函数.,返回目录,当，即t 时，在x=时，V有最大值 a3;当,即0t 时，在x=时，V有最大值.,返回目录,返回目录,1.注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小.3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.,4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.5.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.6.要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
