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1、第1章 复数与复变函数,1.1 复数,1.1.1 复数的概念,设，为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为，其中 满足，称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为，.各数集之间的关系可表示为,1.1.2 复数的代数运算,设复数，定义 与 的四则运算如下：加法：减法：乘法：除法：复数四则运算规律：（1）加法交换律,（2）乘法交换律（3）加法结合律（4）乘法结合律（5）乘法对于加法的分配律 复数运算的其它结果：（1）（2）（3）若，则 与 至少有一个为零，反之亦然.,共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）为实数.,例1 化简.解,例2 设，求 及.解 所以,1
2、.1.3 复数的各种表示、模与辐角,1.复数的几何表示由复数 的定义可知，复数是由一对有序实数 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为，纵坐标为 的点 表示复数（如图1.1），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 与数 看作同义词.,图1.1,图1.2,2.复数的向量表示复数 还可以用起点为原点，终点为 的向量 来表示（如图1.1），与 分别是 在 轴与 轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.3.复数的模与辐角复数的模 如图1.1中的向量 的长度称为复数 的模，记作 或，即,复数的辐角 设复数 对应的向量为（如图1.1
3、）,与实轴正方向所夹的角，称为复数 的辐角,记作，即 并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.4.复数的三角表示式 称为复数 的三角表示式.5.复数的指数表示式 称 为复数 的指数表示式.,例3 求 和.解,例4 求 的三角表示式与指数表示式.解 因为,所以 设则又因为 位于第II象限，所以,于是,1.1.4.复数的幂与根,1.复数的乘幂设 为正整数，个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为，即若，则有当 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre）公式,例7 求.解 因为 所以 例8 已知，求.解 因为,所以,2.复数的方根,称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作 或记作.例1
4、 解方程.解 因为所以,可求出6个根，它们是,例2 计算解 因为 所以 即,第1章 复数与复变函数,1.2 区域,1.2.1.复平面上的点集与区域,扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面.邻域 平面上以 为心，为半径的圆：内部所有点 的集合称为点的 邻域，记为，即称集合 为 的去心 邻域，记作.,开集 如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为开集.闭集如果点集 的余集为开集，则称 为闭集.连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称开集 是连通集.区域（或开区域）连通的开集称为
5、区域或开区域.闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为.,1.2.2 单连通域与多（复）连通域,1.简单曲线、简单闭曲线 若存在满足，且 的，使,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，是一条简单闭曲线（如图1.9）.,图1.9,在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的 是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的，不是简单曲线，但 是闭曲线.,图1.10,图1.11,2.光滑曲线、分段光
6、滑曲线设曲线 的方程为 若，在 上可导且，连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3.单连通域、多连通域设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域.,在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.,图1.12,第1章 复数与复变函数,1.3 复变函数,1.3.1 复变函数的概念定义1 设 为给定的平面点集，若对于 中每
7、一个复数，按着某一确定的法则，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在 上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作.其中 称为自变量，称为因变量，点集 称为函数的定义域.,例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.解 设，代入 得 比较实部与虚部得，,例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数，（）化为一个复变函数.解 设，则将，以及代入上式，经整理后，得,1.3.2 映射的概念 如果复数 和 分别用 平面和 平面上的点表示，则函数 在几何上，可以看成是将 平面上的定义域 变到 平面上的函数值域 的一个变换或映射，它将 内的一点 变为 内的一点
8、（如图1.13）.,图1.13,1.3.3 反函数与复合函数1.反函数定义2 设 定义在 平面的点集 上，函数值集合 在 平面上.若对任意，在 内有确定的 与之对应.反过来，若对任意一点，通过法则，总有确定的 与之对应，按照函数的定义，在 中确定了 为 的函数，记作，称为函数 的反函数，也称为映射 的逆映射.,2.复合函数定义3 设函数 的定义域为，函数 的定义域为，值域.若对任一，通过 有确定的与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作，称其为 与 的复合函数.,第1章 复数与复变函数,1.4 复变函数的极限与连续性,复变函数的极限定义4 设函数
9、 在 的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数（无论它多么小）总存在正数，使得适合不等式 的所有，对应的函数值 都满足不等式则称复常数 为函数 当时 的极限，记作 或,定理1 设，则 的充分必要条件为:且,复变函数的极限四则运算法则：设，则(1)(2)(3),例1 试求下列函数的极限.（1）（2）解（1）法1 设，则，且 得,法2（2）设，则，得,例2 证明函数 在 时极限不存在.证 设，而，.考虑二元实函数 当 沿着（为任意实数）趋向于，即,显然，极限值随 值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，在 趋向于 时的极限不存在，即得结论.,1.4.2 复变函数的连续定义5 设 在点 的
10、某邻域内有定义，若，则称函数 在点 处连续.若 在区域 内每一个点都连续，则称函数 在区域 内连续.定理2 函数，在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续.定理3 在 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 处不等于零）在 处仍连续.,例3 求解 因为 在点 处连续，故,例4 讨论函数 的连续性.解 设 为复平面上任意一点，则当 时，在 无定义，故 在 处不连续.当 落在负实轴上时，由于，在 从实轴上方趋于 时，趋于，在 从实轴下方趋于 时，趋于，所以 不连续.当 为其它情况时，由于 所以 连续.,定理4 若函数 在点 处连续，函数 在 连续，则复合函数 在 处连续（证略）.最值性质当 在有界闭区域 上连续时，则 也在 上连续，且可以取得最大值和最小值；有界性 在 上有界，即存在一正数，使对于 上所有点，都有.,例5 讨论 在闭圆域：上的连续性，并求 在 上的最大值与最小值.解 因为 和 在 上连续，故 及 在 上都连续.又因为，故它在 上的最大值与最小值分别就是 的最大值与最小值.在 内，当 时，取到最大值；,当 时，取到最小值，即对任意 都有特别指出，在曲线 上点 处连续的意义是,
