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1、22 平面汇交力系,静力学,研究内容：平面汇交力系的简化（合成）平面汇交力系的平衡条件研究方法：几何法解析法,平面汇交力系:各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。,一、平面汇交力系,1、力的合成的几何法,a.两个共点力的合成,合力方向由正弦定理：,由余弦定理：,由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。,b.任意个共点力的合成(力多边形法）,先作力多边形,再将R 平移至 A 点,即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。,即：,结论：,推广至 n 个力,c、平面汇交力系平衡的几何条件,在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所
2、以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：,平面汇交力系平衡的充要条件是：,(a),解：(1)取梁AB 作为研究对象。,(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN,(2)画出受力图。,(3)应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。,例题 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。,解：(1)取制动蹬ABD 作为研究对象。,(2)画出受力图。,(3)应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。,例题 图示是汽车制动机构的一部分。司
3、机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。,（5）代入数据求得：SB=750 N。,（4）由几何关系得：,由力三角形可得：,例 已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。,又由几何关系：,选碾子为研究对象,取分离体画受力图,解：,静力学,由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。2.力的分解将一个已知力分解为两个分力的过程。,静力学,3.力的
4、投影,定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段AC、AD分别为F在X轴和Y轴上投影的大小。,大小计算：Fx=FcosFy=FcosFsin,正负规定：从A到C（或从A到D）的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负,投影和分力关系：如将F沿坐标轴方向分解，所得分力、的值与F在同轴上的投影Fx、Fy相等；力的分力是矢量，力的投影是代数量,4.合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,即：,静力学,合力的投影与各分力投影的关系：,表达式：,二、平面汇交力系的平衡,得平面汇交力系的平衡方程,两个独立的
5、平衡方程只能求解两个未知数。,解题步骤：确定研究对象，作研究对象的受力图；选定坐标系；列平衡方程并求解。指向假设的未知力，若按平衡方程求得正值，说明其实际方向与假设的相同；若为负值，则说明其实际方向与假设的相反，但不需要改变受力图中的指向。,例 已知 P=2kN，求SCD,RA。,解：（1）研究AB杆,（2）画出受力图,（3）列平衡方程,（4）解平衡方程,由BC=BE=0.4m,解：研究球A，受力如图示。,由得,由得,例（参考p38）图示连杆机构，已知Q、R，求图示位置平衡时，Q 与 R的关系。,静力分析,解：1、研究对象：A铰,结构,60,30,90,45,B铰,设杆受拉力，则力背离铰链，受
6、压力，则力指向铰链，,静力分析,A 铰,B 铰,A铰,2、平衡方程,x,y,x,y,X=0,Q SBA cos450=0,SAB R cos300=0,B铰,Y=0,SBA=SAB,讨论：,取AB为研究对象,x,y,静力分析,X=0,Qcos450+SCA cos450 Rcos300=0,讨论：,取AB为研究对象,x,y,45,90,30,60,Y=0,-Qsin450+SCA sin450 Rsin300 SDB=0,例题 如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。在 B点作用一水平力 P,设P=20kN。求支座A和D的约束反力。,RD,RA,解:1、取平面钢架ABCD为研究对象,画出受力图。
7、,2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：,tg=0.5cos=0.89sin=0.447,X=0,P+RA cos=0,RA=-22.36 kN,Y=0,RA sin+RD=0,RD=10 kN,4m,2m,负号说明它的实际方向和假设的方向相反。,3、列平衡方程并求解：,例题.求图示支座A和B的约束反力.,解:画整体的受力图,A,B,C,P,RA,RB,O,取O点为研究对象,Sin=0.32,X=0,0.71 RA-0.32 RB=0,Y=0,0.71 RA+0.95 RB P=0,联立两式得:,RA=0.35P,RB=0.79P,TBD=G,例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由
8、绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。,解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：,TBD=G,Y=0,X=0,FAB=45 kN,-TBC cos300-TBD cos450+FAB cos600=0,TBC=9.65 kN,-TBC cos600-TBD cos450+FAB cos300-G=0,2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：,3、列平衡方程并求解：,300,TBD=G,X=0,-TBD sin150+FAB
9、 sin300-Gsin600=0,Y=0,FAB=45 kN,-TBC-TBD cos150+FAB cos300-Gcos600=0,TBC=9.65 kN,解二：,静力学,解：研究AB杆 画出受力图 列平衡方程 解平衡方程,例 已知 P=2kN 求SCD,RA,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,静力学,例 已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力N=？,解：研究球受力如图，选投影轴列方程为,由得,由得,例题 用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的角；（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使=00的
10、B轮的重量。,X=0,GAcos600-FAB cos(+300)=0(1),X/=0,-GBcos300+F/AB sin(+300)=0(2),解：先取A轮为研究对象，受力分析：,取B轮为研究对象，受力分析：,GAcos600-FAB cos(+300)=0(1),-GBcos300+F/AB sin(+300)=0(2),FAB=F/AB(3),由以上三式可得：,（1）当GB=GA时，=300,（2）当=00时，GB=GA/3,例（p26）图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。,静力分析,解：,1、研究对象：,整体,或铰链A,A,60,2、几何法：,60,SAC=P/sin600,SAB=
11、Pctg600,静力分析,3、解析法：,Rx=X=0,SAC cos600 SAB=0,Ry=Y=0,SAC sin600 P=0,解得：,SAC=P/sin600,SAB=SAC cos600=Pctg600,例：结构如图所示，已知主动力F，确定铰链O、B约束力的方向（不计构件自重）,1、研究OA杆,2、研究AB杆,静力学,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。,静力学,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,
