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1、空间向量的数量积运算,l,A,P,B,特别地，若P为A,B中点,则,如图 不共线，,结论：,设O为平面上任一点，则A、P、B三点共线,或：令x=1-t，y=t，则A、P、B三点共线,平面向量基本定理：如果是 同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使,二.共面向量:,1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,结论:空间一点P位于平面ABC内 存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有,可证明或判断四点共面,掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质
2、和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题一、证垂直二、求长度三、求夹角四、求投影,教学过程,一、几个概念,1）两个向量的夹角的定义,2）两个向量的数量积,注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。,4)空间向量的数量积性质,注意：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：,3)空间向量的投影,5)空间向量的数量积满足的运算律,注意：（教材P90思考）,数量积不满足消去率和结合律,二、课堂练习,三、典型例题-证垂直（教材P91例3）已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的
3、交点为B，且lm，ln，求证：l,分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。,l,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn,lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,三、典型例题（教材P91例2）利用向量知识证明三垂线定理,试着证明三垂线定理的逆定理 教材P91,三、典型例题教材P92思考：用向量的数量积运算推证垂直关系的过程，步骤是什么？,例2：已知：在空间四边形O
4、ABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB,例3 如图，已知线段在平面 内，线段，线段，线段，如果，求、之间的距离。,解：由，可知.由 知.,三、典型例题-求长度,例4已知在平行六面体中，,求对角线的长。,解：,3.已知线段、在平面 内，线段，如果，求、之间的距离.,解：,教材P92练习 1、2、3题,三、典型例题-求夹角,点金P64知识点3例3,1.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。,同理，,课后练习,2.已知空间四边形，求证：。,证明：,3.如图，已知正方体，和 相交于点，连结，求证：。,4、已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的数量积：,5、设，则向量 与 的夹角为,6、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=900,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成600角，求B,D两点间距离。,1两个向量的数量积的概念、性质和计算；2、运用向量的数量积解决简单的立体几何问题。,
