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1、第十章计数原理与概率,目 录,10.1计 数 原 理10.2排列与组合10.3二项式定理10.4随机事件、古典概型与几何概型10.5条件概率与事件的独立性本 章 总 结,高 端考 向 透 析,高端考向透析,10.1计 数 原 理,本节知识较为简单，就是两个原理，但应用起来却是比较复杂的，因此对于基础知识可以简单的让学生复述一下，然后对于定理的讲解和强化放在后面的例题和练习中，结合具体的题目来进行,1分类计数原理(也称加法原理)：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的办法，那么完成这件事共有Nm1m2mn
2、种不同的方法2分步计数原理(也称乘法原理)：做一件事情，完成它需要分n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不,同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法【温馨提示】两个原理的区别在于：分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤的方法相互联系，只有各个步骤都完成了才能完成这件事，并且这些步骤彼此间也不能有重复和遗漏,从思想方法的角度上来看，分类计数原理是将一个问题进行“
3、分类”思考，适用于一步就能完成要做的事，是一步到位的；分步计数原理是将问题进行“分步”思考，适用于不能一步到位，常要分若干步才能完成要做的事，它是分步到位的这两种思想方法贯穿解决本章应用问题的始终,1集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ，把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9B14C15 D21【解析】PQ，xy或x2.当x2时，y1,2，y有7种选法；,当xy时，y1,2，y也有7种选法共有满足条件的点7714个【答案】B2定义集合A与B的运算A*B如下：A*B(x，y)|xA，yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，则集
4、合A*B的元素个数为()A34 B43C12 D以上都不对,【解析】显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是由A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3412个元素【答案】C3将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有()A81种 B64种 C12种 D14种,【解析】每个小球都有4种可能的放法，即44464种【答案】B4乘积(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)的展开式中，一共有_项【解析】首先明确要完成的事件，即从三个括号中各自取一个字母相乘作为展开式中的一项事件可以分成三步：第一步，从第一个括号中
5、选一个字母有3种方,法；第二步，从第二个括号中选一个字母有4种方法；第三步，从第三个括号中选一个字母有5种方法由分步计数原理可知共有34560项【答案】60,【交流感悟】_,互动方法探究,本部分的题目，关键是让学生明确如何完成“一件事情”，因此讲解时，可以由学生来分析完成事情的过程，然后明确是利用分类计数原理还是分步计数原理求解下面的几个例题难度都不是很大，因此可以以学生分析为主，老师加以指点需强调的是：(1)具体的一个问题中如何选用两个计数原理；(2)例2中的重复排列问题要特别注意；(3)处理本部分问题需要学生有明确的思路和清晰的思维,类型一分类计数原理的应用【温馨提示】解决有关计数的问题时
6、，应首先弄清楚怎样才能完成这件事情解决有些问题时需要分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则，做到不重不漏，然后用分类计数原理来计数,典 例 研 习,在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【切入思维】由09这10个数字按照题目要求组成的两位数中，个位数字不能为0和1，十位数字不能为0和9，也就是说组成两位数的数字可按个位分类也可按十位分类来计算【解答】(法一)按个位数字分类，个位可为2,3,4,5,6,7,8,9，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个则共有12347836(个),例1,(法二)按十位数字分类，
7、十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个则共有8765432136(个)【变式与思考】计算一下，在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？【提示】同样，既可按照十位数字也可按照个位数字进行分类，共有45个,类型二分步计数原理的应用【温馨提示】利用分步计数原理时，要确定好步与步的次序，还要注意元素是否可以重复选取,有四位学生参加三项不同的竞赛(1)每位学生必须且只参加一项竞赛，则不同的参赛方法有多少种？(2)每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有多少种？(3)每位学生最多参加一项竞赛
8、，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有多少种？【切入思维】(1)每位同学必须且只参加一项比赛，则可以按照学生选竞赛来进行分步；(2)可按照竞赛项目,例2,的安排来分步；(3)可按照竞赛的安排来分步【解答】(1)学生可以选择项目，而竞赛项目对学生无条件限制，所以共有3481(种)(2)竞赛项目可以挑学生，而学生无选择项目的机会每一项可以挑4位不同学生，共有4364(种)(3)等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛，每人参加一项，故共有43224(种)【变式与思考】比较这三个问题的不同点,【提示】这三个问题都用了分步计数原理，但应注意它们的不同：(1)(2)是重复排列问题，这
9、种问题一定要注意是以谁为分步的标准；(2)(3)虽然都是以竞赛的安排为分步标准，但是(3)比(2)多了一个条件“每位同学最多参加一项比赛”，这样在分步时，每一步的选择范围就发生了改变,类型三对两个计数原理的综合应用【温馨提示】重视两个计数原理的灵活应用，并注意以下几点：(1)要明确题目中的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么；(2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是将两者结合起来；(3)有时可以借助一些图形或者模型来处理,(12分)现有高三四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学兴趣小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选
10、法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需要来自不同的班级，有多少种不同的选法？【切入思维】(1)从34人中选一人，应分类求解；,例3,(2)从各班中选一人，共选4人，应分步求解；(3)先根据不同班级分类，再分步从两个班级中各选1人【标准解答】(1)共分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有7891034种不同的选法.3分(2)分四步，第一、二、三、四步分别是从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有7891050
11、40种不同的选法.6分,(3)分六类，每类又分两步从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法因此共有不同的选法的种数为787971089810910431种.12分,【点评提升】在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步当然有时也会先分步再分类,用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？(2)可以
12、组成多少个可以重复的四位数？(3)可以组成多少个数(数字可以重复，最多是六位数)?【解答】(1)分四步完成这件事：第一步，从1、2、3、4、5五个数字中取一个数字填首位，有5种不同的取法；,同类训练,第二步，从第一步剩下的四个数字和0中取一个数字排百位，有5种不同的取法；第三步，从第二步剩下的四个数字中取一个数字排十位，有4种不同取法；第四步，从第三步后剩下的3个数字中取一个排个位，有3种不同取法故有5543300个不同四位数(2)第一步排首位有5种排法，第二、三、四步又都各有6种排法,由分步计数原理，共有56661080个不同的四位数(3)组成的数可以是一位数、二位数、三位数、四位数、五位数
13、、六位数每一个数又如(2)可按分步计数原理完成一位数：共有6个；二位数：共有56个；三位数：共有566个；四位数：共有5666个；,五位数：共有56666个；六位数：共有566666个 故共有65616263646546656个不同的数,1(2010年山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A36种 B42种 C48种 D54种【解析】分如下两类讨论：,三 年 高 考,第一类：甲排在第一位，共有A24种排法；第二类：甲排在第二位，共有AA18种排法所以共有编排方案241842
14、种，故选B.【答案】B【考题赏析】本题主要考查了两个计数原理和排列组合的知识解决问题的关键是先进行分类，然后考虑每类有多少种方法另外应注意“优先考虑特殊”的原则,2(2009年广东)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A36种 B12种 C18种 D48种【解析】当小张和小赵两人都被选中时，有A22A3212种；当小张和小赵中只有一人被选中时，有C21C21A3324种所以共有122436种,【答案】A【考题赏析】由于小张
15、和小赵比较特殊，因此可以先考虑这两名志愿者本题总体上先进行了分类，然后再在每类中进行分步，难度不大，属于中低档题目 感悟提升1用两个计数原理解决计数问题时，首先要弄清楚“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步,分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”完成了所有的步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数2对于比较复杂的问题可以将分类和分步结合进行，比如总体可以分若干类，然后每一类可以分若干步来完成有时，我们也可以恰当地画出示意图或列
16、出表格，使问题的分析更加直观、清晰,创 新预 测 演 练,Loading,要求学生熟练掌握排列数和组合数的两个公式，并会灵活应用在讲解时，可以出几个简单的计算题，让学生口算，来检查他们对公式的掌握情况对于排列和组合的区别和联系可以结合具体的实例来讲解另外要引导学生注意一些细节问题，比如在排列数和组合数公式中各个字母所满足的条件,10.2排列与组合,1排列(1)排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列【温馨提示】此定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“有一定顺序”,知识梳理,【变式与思考】组合与排列有什么区别？【提示】
17、两者的区别在于：虽然都是从n个不同的元素中取出m个不同元素，但是排列是要考虑“一定顺序排成一列”，而组合是“合成一组”，即元素之间无前后顺序可言因此两个组合只要它们的元素相同就是同一个组合，而不必考虑元素之间的顺序,【温馨提示】(1)组合数公式的推导是依据分步计数原理，把求从n个不同元素中取出m个元素的排列数的过程分为两步完成：求组合数，求全排列数从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式,16名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有()A720种 B360种 C240种 D120种【答案】C,3nN且n55，则乘积(55n)(56n)(69n)_.46男、4女共10个学
18、生站一排照相，要求女生不站两头、不相邻且顺序一定的排法有_种,【交流感悟】_,互动方法探究,类型一对排列数公式和组合数公式的应用【温馨提示】，这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆每个公式都有相应的“乘积式”和“阶乘式”，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形和论证,典 例 研 习,例1,类型二排列问题【温馨提示】有限制条件的排列问题是一个难点，同时也是高考考查的热点此类问题解决的基本原则是：优先考虑特殊的元素或者受限的位置，并掌握正向、逆向思考问题的方法,有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数(1)选
19、其中5人排成一行；(2)全体排成一行，其中甲只能在中间或两边位置；(3)全体排成一行，甲、乙必须在两端；(4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(5)全体排成一行，其中男女生各站在一起；,例2,(6)全体排成一行，男女生各不相邻；(7)全体排成一行，甲、乙、丙3人为自左至右顺序；(8)排成前后两排，前排三人，后排4人【切入思维】有特殊元素或特殊位置的优先考虑；相邻问题用捆绑法；不相邻问题用插空法；对于定序问题，可将给定元素全排列后，将顺序确定的排法去除就可,【点评】排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻，要注意典型的解题方法(1)有特殊元素或特殊位置
20、的排列问题，通常是先,排特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，即“优先特殊”；或者先求不加限制条件的排列数，再减去不合条件的排列数(间接法)(2)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，进行内部排列，之后再与其他元素排列，这种方法称为“捆绑法”(3)某些元素不相邻排列时，可以先排其它元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”,【变式与思考】题干条件不变，求满足下列条件的不同排列方法的总数(1)全体排成一行，其中男生必须排在一起；(2)全体排成一行，男生不能排在一起,类型三组合问题【温馨提示】解决此类问题应先确认选取时与顺序有没有关系，组合常与两个计数原理相结合
21、考查另外“至多”、“至少”问题，也是组合中常见的类型,一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球(1)从中任取4个球，红球个数不少于白球个数的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？【切入思维】(1)“红球个数不少于白球个数”可分类：4个红球，0个白球；3个红球，1个白球；2个红球，2,例3,个白球求每一类的方法数时，例如“取3个红球，1个白球”时，可以总体上分步，然后每一步再利用组合来解决；(2)理解好题意，进行分类即可,【点评】解决本题时首先进行了分类，利用了分类加法计数原理，然后在求每一类的方法数时，又利用了组合和分步计数原
22、理；总体上来说本题是对组合和两个计数原理的综合应用【变式与思考】条件不变，问任取3个球，则至少取到2个红球的取法有多少种,类型四排列与组合的综合应用【温馨提示】排列组合综合问题的基本思路就是先选后排，在选择和排的过程中注意优先考虑特殊元素或特殊位置,(12分)有4个不同的小球，4个不同的盒子，现要把球全部放进盒子内(1)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？(2)恰有2个盒子不放球，共有多少种方法？【切入思维】恰有1个空盒，说明必定有1个盒子内要放2个球，可以先分组再排列计算；4个球放在两个盒子中要注意进行合理的分类,例4,【点评提升】排列组合的综合问题一般是“先选后排”，其中分组时要注意“平均
23、分组”与“不平均分组”的区别及其分类的标准,从1,3,5,7中任取2个数，从0,2,4,6中任取1个数字组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有多少个？【解答】考虑组成的数时，首先要注意两种特殊情况，一个就是0不能在首位，另一个就是能被5整除(即末位为0或5)因此我们可以根据有无0或5进行分类：,同类训练,从4名男生3名女生中选3人成立科技小组，问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种？,高考排雷,例1,现有4本不同的书(1)分给甲乙两个同学，每人各得两本，共有多少种不同的分法？(2)平均分成两份，每份两本，共有多少种不同的分法？,高考排雷,例2,【温馨提示】通过这个题目我们
24、把平均分组做一个简单的总结：(1)平均分组问题在选择过程中已经产生了顺序；(2)平均分组可以分为有序平均分组(例2(1)和无序平均分组(例2(2)；(3)对于有序的平均分组由于在分组过程中已经产生了顺序，故求分法数时直接选出就可以了；对于无序的平均分组由于不考虑顺序，因此求分法数时要把在分组过程中产生的顺序去掉,三年高考,1(2008年四川)从甲、乙等10个同学中选4人去参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的选法共有()A70种B112种 C140种 D168种【答案】C,2(2010年江西)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，
25、不同的分配方案有_种(用数字作答)【答案】1080,【考题赏析】本题重点考查了平均分组问题解决此类问题时要弄清楚是“有序的平均分组”还是“无序的平均分组”在考查分配方案时分了三步进行：首先将两个2人组分出，然后再分出另两个1人组，最后将其进行全排列题目难度不大，但应注意，先“消序”再“排序”,感悟提升 1排列与顺序有关，组合与顺序无关例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有A43个；而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题，有C43个不同的三位数 2解有限制条件的排列问题时，关键是解决好特
26、殊元素(或位置)的排列，只要特殊元素(或位置)排列好,了，其它元素(或位置)的排列可采用排列数公式直接求解通常从以下三种途径考虑：(1)元素分析法：先考虑特殊元素，再考虑其它元素；(2)位置分析法：先考虑特殊位置，再考虑其它位置；(3)间接法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数 3解组合应用题时，要注意正确理解题设中的“有,且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”等词语的确切含义在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”4处理排列组合的综合性问题，一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，解题过程中常常与两个计数原理相结合，要根据实际问题探索
27、分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明,创 新预 测 演 练,Loading,本节课的基础知识比较零碎，讲解时可以让学生去复述这些知识，然后教师根据学生掌握的情况进行强调和解释，对于一些易错点需进行特别的强调，例如Tr1表示的是第r1项，而非第r项；二项式系数与项的系数是不同的,10.3二项式定理,知识梳理,【答案】C,4设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为_【解析】令x21，右边为a0a1a2a11.左边把x1代入得(x21)(2x1)92(1)92，a0a1a2a112.【答案】2,5设二项式()n的展开式的各项系数的和为p
28、，所有二项式系数的和为q，且pq272，则n的值为_【解析】p4n，q2n,4n2n272，n4.【答案】4,【交流感悟】_,本节的题目方法比较固定，并且学生也比较容易掌握，应将重点放在如何准确快速的计算上这样，在讲解时，可以先简单的回顾一下利用通项公式求展开式的特定项、利用赋值法求二项式展开式的系数、二项式定理应用的方法等然后再让学生到黑板上去板演，检查一下学生对知识的掌握情况以及计算能力,互动方法探究,类型一求展开式的特定项或特定项的系数【温馨提示】二项展开式的通项公式Tr1C anrbr(r0,1,2，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项(如含指定
29、幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛的应用在使用通项公式时应当注意以下几点：,(1)通项公式是表示第r1项，而不是第r项(2)展开式中第r1项的二项式系数C 与第r1项的系数不同(3)通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组),在,例1,(3)三项式展开问题，需转化成二项展开式问题，再利用二项式定理解决,类型二赋值法的应用【温馨提示】二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都
30、成立因此，可将a，b设为一些特殊值在使用赋值法时，令a，b等于多少，应根据具体情况而定，一般取“1，1,0”，有时也会取其它的值一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x),展开式的各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.,已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.【切入思维】通过将给定式子中的x进行适当的赋值变形，得到所求各式的值【解答】令x0，得a01；令x1，得a0a1a2a71；令x1，得a0a1a2a737.,例2,(1)由、可知a1a2a72.(2)由得
31、2(a1a3a5a7)1372188，a1a3a5a71094.(3)由得2(a0a2a4a6)2186，a0a2a4a61093.【变式与思考】求|a0|a1|a2|a7|的值,【提示】|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)2187.类型三二项式定理的综合应用【温馨提示】二项式定理应用的主要题目类型有：(1)证明某些整除问题或者求余数；(2)证明有关不等式问题；(3)进行近似计算等,(12分)(1)利用二项式定理证明：当nN*时，32n28n9能被64整除(2)计算1.9975精确到0.001的近似值【切入思维】(1)将32n28n9转化成含64的倍数的式子；(2
32、)把1.9975转化为(20.003)5，然后用二项式定理展开即可【标准解答】(1)32n28n99n18n9(81)n18n92分,例3,【点评提升】利用二项式定理处理整除(或余数)问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，转化成便于操作的二项式的结构，这是解决问题的关键，然后再用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)几项就可以了；由于(ab)n的展开式中共有n1项，故可通过对某些项的取舍来进行放缩，从而达到证明不等式的目的；对于近似计算，可根据精确度要求，展到需要的项即可,求证：3n(n2)2n1(nN*，n2),同类训练,求二项展开式(3x1)5中偶数项的系数和
33、,高考排雷,例,三年高考,感悟提升1二项式定理从左到右使用为展开，从右到左使用可以化简、求和或证明，要特别注意对它的逆用2涉及展开式的系数和问题时，一般采用“赋值法”，根据具体情况，一般赋“1，1,0”，但有时也会取其它的值3利用二项式定理可以证明整除，求余数，求近,似值，证明恒等式，不等式等整除或余数问题，应先构造二项式后再展开研究；证明不等式问题，则通过二项式展开，根据命题形式对展开式中的若干项进行放缩 4对二项式定理除了从展开式上观察外，还应从组合的角度来分析和掌握,创 新预 测 演 练,Loading,本节概念较多，对于这些概念关键是要求学生去理解并加以强化，让学生弄清楚概率与频率的区
34、别和联系、互斥事件和对立事件的关系、几何概型和古典概型的异同点等讲解时可以结合具体的实例来说明和强调,10.4随机事件、古典概型与几何概型,1随机事件在某个条件下，一定会发生的事件叫做必然事件一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件2随机事件的概率,知识梳理,把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)由定义可知0P(A)1，显然必然事件的概率是_1_，不可能事件的概率是_0_.【探究与思考】概率与频率的区别与联系【提示】概率是频率的稳定值；概率具有稳定性,它是事件本身所固有的性质；频率具有随机性，但随着试验次数的逐渐增多，频率又表现出一定的稳定性.(2)互斥事件
35、：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件,能同时发生，但A与B必然有一个发生另一个不发生(2)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时：AB；A，B对立时：AB且AB(为全集)【探究与思考】互斥与对立的关系是什么？【提示】A，B互斥不一定对立，但对立一定互斥，即两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件3古典概率的两大特点：,(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等古典概型的概率计算公式：P(A).一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成如果一次试验中可能出现的结果有n个
36、，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都,【探究与思考】古典概型与几何概型有什么区别？【提示】古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件是有限个，几何概型要求基本事件有无限多个,【答案】A,3(2009年上海)若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是_(结果用最简分数表示),4从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为_,【交流感悟】_,互动方法探究,类型一互斥事件的概率加法公式【温馨提示】求一个复杂事件A的概率时，如果能将
37、事件A能够分解成若干个互斥事件A1，A2，An的和事件，那么我们就可以用概率的加法公式来求事件A的概率,即P(A)P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)；如果事件A的对立事件 的概率比较容易求，也可以用P(A)1P()来求事件A的概率,典 例 研 习,一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率：(1)10件产品中至多有一件废品；(2)10件产品中至少有一件废品【切入思维】10件产品中恰有0,1,2,3,4,5件废品是互斥事件，可用概率加法公式求解【解答】设Ai为事件“10件产品中恰有i件废品”，其中i0，1,2,3,4,5，易知Ai(i0,1，5)为彼此
38、,例1,m1,2,3,4,5)，其反面是“没有废品”，即m0(故m0)要正确理解“至多”、“至少”的含义，有时直接解简单，而有时用其反面去解简单(2)注意求概率有直接法和间接法两种思路【变式与思考】求至多有两件废品的概率和至少有两件废品的概率,【提示】P(“至多有两件”)P(A0A1A2)P(A0)P(A1)P(A2)；P(“至少有两件”)P(A2A3A4A5)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)，或者P(“至少有两件”)P(A2A3A4A5)1P(A0A1)1P(A0)P(A1),类型二古典概型【温馨提示】古典概型的概率计算公式为P(A)，根据这个公式进行计算时，关键是求出n和m，求解时
39、要注意利用两个计数原理和排列组合相关知识,有6个房间安排4个旅游者居住，每人可以住任一房间，且进住各房间是等可能的，试求下列事件的概率：(1)事件A：指定的4个房间各有一人；(2)事件B：恰有4个房间各有一人；(3)事件C：指定的某个房间中有两人；(4)事件D：第一号房间有一人，第二号房间有三人【切入思维】“指定的4个房间各住一人”只需选出4人，然后去全排即可；“恰有”首先要选出房间，然后选,例2,然后选出人，再排列；“指定的某房间有两个人”可以先选出这两个人，然后注意余下的2人可以居住5个房间中的任一间；“第一号房间有一人，第二号房间有三人”只需选出人去居住即可,类型三几何概型【温馨提示】如
40、果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会都是一样的，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，那么这样的概率模型就可以用几何概型来求解对于几何概型问题求其概率时，关键是构造出随机事件的几何图形，利用几何度量来求随机事件的概率,(1)在棱长为2的正方体内任取一点，求该点在正方体内切球内的概率；(2)如下图，在面积为S的ABC内部任取一点P，求PBC的面积大于 的概率,例3,【切入思维】(1)由于是在正方体内随机取一点，故可认为该点落在正方体内任一位置的机会是均等的，所以正方体的内切球可视作区域d，正方体可视作区域D，一个点
41、落在正方体内切球内的概率应等于内切球的体积与正方体的体积之比(2)同理可知(2)也符合几何概型的条件，可用面积的比来计算相应的概率【解答】(1)记“该点在正方体的内切球内”为事件,【变式与思考】将(2)改为：在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，求PBC的面积大于 的概率【提示】这里点P的“活动范围”发生了改变，容易知道这里可用长度的比来计算概率，其概率为.,类型四对概率的综合考查【温馨提示】此类问题一般是将互斥事件的概率加法公式、古典概型、几何概型等知识综合考查；另外还常常与排列组合、随机变量的期望和方差等相联系考查，是高考中的热点问题,例4,已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，y)
42、(1)当x，yZ时，求点P在区域(x2)2(y2)24内的概率；(2)当x，yR时，求点P在区域(x2)2(y2)24内的概率【解答】因为|x|2，|y|2，所以2x2，2y2，(x2)2(y2)24是由圆(x2)2(y2)24上及此圆内的所有点组成的区域,同类训练,高考排雷,例,【正解】设x、y表示三段长度中的任意两个因为是长度，所以应有0 x1,0y1,0 xy1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示,三年高考,1(2010年江苏)盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_【考题赏析】本题考
43、查了古典概型概率的求法，与计数原理和排列组合相结合考查，属于容易题,2(2010年湖南)在区间1,2上随机取一个数x，则x0,1的概率为_【考题赏析】本题考查了几何概型概率的求法，利用了区间长度去度量概率，属于容易题但应注意本题中的xR，如果这里我们限定xZ，那么就变成了一个古典概型了，注意区分,【答案】D【考题赏析】本题考查了古典概型，其关键是求出符合要求的方法数，直接求解比较难，故也可从其反面入手,感悟提升 1对于古典概型，使用公式P(A)计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可以结合图表、树枝图、列举等方法，但必须做到不重复不遗漏另外求m，n时，还常常与
44、两个计数原理，排列组合等知识相联系考查 2几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等,的因此求几何概型的有关问题时可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的几何度量(可以是长度，面积，体积)”与“试验的基本事件所占的几何度量”之比来表示，即几何概型中事件A发生的概率公式是：P(A),3应用互斥事件的概率的加法公式时，一定要注意首先确定诸事件彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A
45、)1P()求解,创 新预 测 演 练,Loading,本节的基础知识本身很简单，仅仅讲述了条件概率的定义和性质、相互独立事件同时发生的概率乘法公式，但是具体应用起来却比较复杂，因此可以结合具体的实例来讲解当然也可以在复习基础知识时让学生去复述基本内容，然后在讲后面的例题时再进行强调说明,10.5条件概率与事件的独立性,知识梳理,能同时发生，但A与B必然有一个发生另一个不发生(2)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时：AB；A，B对立时：AB且AB(为全集)【探究与思考】互斥与对立的关系是什么？【提示】A，B互斥不一定对立，但对立一定互斥，即两事件互斥是两事
46、件对立的必要不充分条件3古典概率的两大特点：,两事件互斥是指在一次试验中两事件不能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；相互独立的两个事件同时发生的概率乘法公式是P(AB)P(A)P(B)；互斥事件有一个发生的概率加法公式是P(AB)P(A)P(B)；两个事件不可能既互斥又相互独立，因为相互独立事件是以它们能够同时发生(如果其中没有不可能事件)为前提的,【探究与思考】古典概型与几何概型有什么区别？【提示】古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件是有限个，几何概型要求基本事件有无限多个,【答案】A,5甲、乙、丙三人将参加某
47、项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是_，三人中至少有一人达标的概率是_【解析】三人均达标的概率为0.80.60.50.24，三人中至少有一人达标的概率为10.20.40.510.040.96.【答案】0.240.96,【交流感悟】_,互动方法探究,类型一条件概率的求法【温馨提示】计算事件A发生条件下事件B发生的概率一般有两种方法：(1)利用定义计算，先分别计算P(AB)，P(A)，再利用P(B|A)来计算；(2)对于古典概型，可以利用缩小样本空间的观点来计算在这种观点下，原来的样本空间缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为事件AB，然后在缩小的样本空间
48、中利用古典概型来计算,典 例 研 习,(1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取2次，每次任意取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为_(2)已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一个，如果此人是色盲，那么此人是男人的概率为_,例1,从一副扑克牌(52张，不含大小王)中任抽一张，设A“抽到老K”，B“抽到红牌”，C“抽到J”，判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1)A与B；(2)B与C；(3)C与A.【切入思维】A与B是否相互独立，可以通过验证P(AB)P(A)P(B)是否成立来判断,例2,类型
49、三相互独立事件同时发生的概率【温馨提示】当A，B相互独立时有P(AB)P(A)P(B)成立；同样运用公式P(AB)P(A)P(B)时，应注意到它成立的前提条件是A，B相互独立，不满足时不能用,例3,【切入思维】记甲、乙、丙被选中的事件分别为A，B，C，则(1)中三人都被选中即为ABC，因为它们是相互独立的，故P(ABC)P(A)P(B)P(C)；(2)只,类型四独立重复试验【温馨提示】独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，每次试验有两个可能的结果：成功或失败解决有关的概率问题时，要善于将给定的问题情境转化为独立重复试验，然后利用独立重复试验的概率公式进行计算,例
50、4,同类训练,高考排雷,例,三年高考,2(2010年安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号),【答案】【考题赏析】本题是概率的综合问题，综合考查了互斥事件、事件的独立性以及条件概率的基本运算解题的难点是求事件B的概率，A1，A2，A3是两两互斥的事件，根据题意可把事件B的概率进行转化：P(B)PB(A1A2A3)P(A1B)P(A2B)P(A3B)总体
