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1、第三章 随机变量的数字特征,随机变量的数学期望,前面讨论了随机变量的概率分布,分布律、概率密度、分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.,但在许多实际问题中,并不需要全面考察随机变量的变化情况,而只要知道它的某些数字特征即可.,例如,在评价某地区职工的收入水平时,通常只要知道该地区职工的平均工资。,又如,在评价一批棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度,平均长度较大,偏离程度小,则质量就较好.,一、数学期望的概念,1.问题的提出,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢 c 局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(
2、bc)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念 数学期望,设某教练员有甲、乙两名射击运动员,现需要选拔其中的一名参加运动会,根据过去的记录显示,二人的技术水平如下:,试问哪个射手技术较好?,引例1 选拔运动员,解:,运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好.,因而甲、乙两射手的平均水平分别为,引例2 加权平均成绩,为该生各门课程的算术平均成绩.,设某学生大学四年各门课程 成绩分别为,显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种特例,令,由于加权平均考虑了各课程学分占总学分,即，,的比重，可见加权平均才
3、充分地体现了平均值的意义.,定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为,数学期望E(X)反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是随机变量的重要数字特征.,如果,则称级数,绝对收敛，,X的数学期望,简称期望,记作 E(X),即,为,2.离散型随机变量的数学期望,注1 EX是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取值的平均水平,也称为均值.,注2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取值的平均,它不会因为可能值的排列次序而改变.,如果不计算其它费用,保险公司预期平均从每个被保险人身
4、上盈利100元,试问每年应收被保险人保险费多少元?,例 保险公司对机动车进行保险.设保险公司对每个被保险人赔偿的钱数(单位:元)为随机变量 X,其分布律为,分析:保险公司一定要先预算出对每个被保险人的平均赔偿金,这个平均赔偿金就是 X 的数学期望.,保险公司预期平均对每个被保险人赔偿 500元,保险公司又预期平均从每个被保险人身上盈利100元,故保险公司应收被保险人保险费 600元.,设随机变量 X 服从参数为 n,p 二项分布,例1(二项分布)设随机变量XBn,p,求EX.,解,则有,3.常见离散型随机变量的数学期望,其分布律为,同时可得两点分布B1,p的数学期望为 p.,np,解,则有,例2(泊松分布),因而泊松分布P的数学期望为.,设X,且其分布律为,设随机变量 X P(),求EX.,常见离散型随机变量的数学期望,4.连续型随机变量数学期望的定义,定义2,设连续型随机变量X 的概率密度为,绝对收敛，即,数学期望,fx，若积分,记为EX,即,注:并非所有随机变量都有期望！,均匀分布:,5.常见连续型随机变量的数学期望,标准正态分布:X N(0,1),正态分布:,指数分布:,常见连续型随机变量的数学期望小结,作业,P54：3，6，8,
