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1、从17世纪德国数学家莱布尼兹开始，不少数学家和哲学家共同努力，把数学方法用于哲学的研究，出现了逻辑与数学相结合的一门新学科数理逻辑。数理逻辑又称为符号逻辑，是一种二值逻辑。在模糊逻辑的发展过程中，首先突破了二值逻辑，在二值逻辑的基础上，扩展成了多值逻辑，模糊逻辑是在多值逻辑基础上发展起来的。,3.1 模糊逻辑,二值逻辑：,二值逻辑也称为布尔逻辑。只取真，假，即非此即彼的逻辑，用一整套符号代替人们的自然语言。,多值逻辑：,认为逻辑真值具有离散的中间过渡，通过穷举中介的方法表示过渡性，其真值可以是01的任何值。多值逻辑本质上是一种精确的逻辑。,模糊逻辑：,模糊逻辑是在多值逻辑基础上发展起来的。用带
2、有模糊限定算子（例如：很，略，比较，非常等）的从自然语言提炼出来的语言真值（例如：年轻，非常年轻等）或者模糊数（例如，大约25，45左右等）来代替多值逻辑中命题的确切数字真值，就构成模糊语言逻辑。,模糊逻辑可在0，1闭区间上连续取值，认为事物在形态和类属方面具有亦此亦彼模棱两可的模糊性，其真值也是模糊的。承认从01 之间有无穷多个相互渗透的中介。它为自然语言的语意表达提供了一个具有充分弹性的自然系统工具。可以处理几乎有无穷多个“大多数”，“很少”，“多于10个”等这样的模糊量词。然而为方便起见，模糊逻辑往往借助多值逻辑来表示。,模糊逻辑基本运算,模糊逻辑的基本运算是通过连接词：“、”将原子命题
3、组成复合模糊命题。,模糊命题是普通命题的推广。概括起来，模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑，而模糊命题是指含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句。模糊命题有真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是有多个值，甚至是连续量。普通命题的真值相当于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。,合取是“与”或“交”的意思，如果用P、Q分别表示两个命题，则由合取联结词构成的复合命题表示为PQ。复合命题PQ的真值是由两个简单命题的真值来决定的，仅当P和Q都是真时，PQ才是真。PQ=min（P，Q）例P：他喜欢打篮球
4、；Q：他喜欢跳舞。则 PQ：他喜欢打篮球并且喜欢跳舞。析取 是“或”或“并”的意思，如果用P、Q分别表示两个命题，则由析取联结词构成的复合命题表示为P Q。复合命题P Q的真值是由两个简单命题的真值来决定的，仅当P和Q都是假时，P Q才是假。P Q=max（P，Q）例P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。则 PQ：他喜欢打篮球或喜欢跳舞。,蕴含表示“如果那么”。由于命题P的成立，即可推出Q也成立，以PQ来表示。PQ=（1-P）Q)1 例P：甲是乙的父亲；Q：乙是甲的儿女。则PQ：若甲是乙的父亲；那么乙必定是甲的儿女。例：P：水箱温度偏低，Q：蒸汽阀门被开得较大。则PQ：若水箱温度偏低，那么蒸汽阀门
5、被开得较大。,例设有模糊命题P：他是个和善的人，它的真值P0.7；Q：他是个热情的人，它的真值Q0.8。则：PQ：他既是和善的人又是热情的人的真值 PQ=min（P，Q）PQ：他是个和善的人或是个热情的人的真值 P Q=max（P，Q）PQ：如果他是个和善的人，则他是个热情的人的真值 PQ=（1-P）Q)1,否定是对原命题的否定。如果用P是真的，则是假的。例P：他喜欢打篮球：则：他不喜欢打篮球。等价表示两个命题的真假相同。是“当且仅当”的意思。PQ=（PQ）（QP）例P：A是等边三角形；Q：A是等角三角形。则 PQ：A是等边三角形当且仅当A是等角三角形。如果是P那么是Q,并且有如果是Q,那么是
6、P。,模糊逻辑有界积：模糊逻辑有界和：模糊逻辑有界差：,根据以上模糊逻辑的基本运算定义，可以得出以下模糊逻辑运算的基本定律 幂等律：P P=P；P P=P 交换律：P Q=Q P；P Q=Q P 结合律：P（Q R）=（P Q）R P（Q R）=（P Q）R 吸收律：P（P Q）=P P（P Q）=P,分配分律：P（Q R）=（P Q）（Q R）P（Q R）=（P Q）（Q R）双否律：德摩根律：常数运算法则：P 1=1；P 0=P P 1=P；P 0=0,注意：与二值逻辑不同之处是二值逻辑中的互补律，。在模糊逻辑中互补律是不成立，模糊逻辑的互补运算满足利用这些基本公式就可化简模糊逻辑函数，以
7、便根据化简得到的结果来组成最简单的模糊逻辑控制电路。,2.4.2 模糊逻辑函数运算,二值逻辑只可能取两个值0和1，这两个值都有确切的意义，例如它们分别代表开关的“断开“和“接通”、电平的“低”和“高”等。但在模糊逻辑中，其真值可取从0到1之间的无穷多个任意值。这在实际问题应用中就难以处理。为了能方便地应用于实际，往往就把模糊函数变量 x 分成若干有限级。这样就可用多值逻辑的方法来处理模糊逻辑问题。,例如，若“水温中等”和“水温高”的隶属函数曲线如图所示，那么，我们可把从0到100的水温分割成10级，取每级的隶属度用列举法写出其隶属函数：,M(x)=x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+
8、0.75/30+1.0/40+0.75/50+0.5/60+0.25/70+0/80+0.0/90+0.0/100H(x)=x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.25/50+0.5/60+0.75/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100,在二值逻辑中函数“与”和“或”的运算比较单纯；但在模糊逻辑中就有几种不同的方法。下面以“水温中等”和“水温高”为例，对三种不同的方法进行比较。,模糊逻辑“与”和“或”运算,“与”,“水温中等”“水温高”=min(M(x),H(x)=x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.25/
9、50+0.5/60+0.25/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100,“或”,“水温中等”“水温高”=max(M(x),H(x)=x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.75/50+0.5/60+0.75/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100,模糊“有界积”和“有界和”运算,“有界积”：,“水温中等”“水温高”=max(M(x)+H(x)-1，0)=x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.0/50+0.0/60+0.0/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100,“有界和”：,“水温中等”“
10、水温高”=min(M(x)+H(x)，1)=x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+1.0/50+1.0/60+1.0/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100,模糊“代数积”和“代数和”运算,“代数积”：,“水温中等”“水温高”=M(x)H(x)=x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.19/50+0.25/60+0.19/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100,“代数和”：,“水温中等”+“水温高”=M(x)+H(x)-M(x)H(x)=x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1
11、.0/40+0.81/50+0.75/60+0.81/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100,模糊逻辑补运算,在二值逻辑中的“非”运算只需将0与1之相对调即可，而模糊逻辑“补”运算则要通过用1.0与隶属函数运算来完成。例如：,M=“水温中等”,M(x)=x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.75/50+0.5/60+0.25/70+0/80+0.0/90+0.0/100,=“水温不是中等”,=x|1.0/0+0.75/10+0.5/20+0.25/30+0.0/40+0.25/50+0.5/60+0.75/70+1,0/80+1.0/90+1
12、.0/100,3.2 模糊语言变量及其算子,模糊逻辑原则上是一种模拟人思维的逻辑，要用从0到1的区间上的确切数值来表示一个模糊命题的真假程度，有时是很困难的。人在日常生活交流中用的自然语言则能用充满了不确定性的描述来表达具有模糊性的现象和事物。自然语言可以对连续性变化的现象和事物既进行概括抽象又作模糊分类。要想用机器来模仿人的思维、推理和判断，扎德教授在1975年提出了语言变量的概念。语言变量是一种模糊变量，它是用词句而不是用数字来表示变量的“值”。引进了语言变量后，就构成了模糊语言逻辑。模糊集的应用为系统地处理不清晰、不精确概念的方法提供了基础,这样就可以应用模糊集来表示语言变量。然而语言变
13、量既可用模糊数来表示，也可用语言术语来定义。,（1）模糊数,定义：连续论域U中的一模糊数 F（例如一实线）是一个U上的正规凸模糊集.那就是说，以实数集合为全集合，一个具有连续隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。通俗地说，就是把那些诸如“大约5”，“10左右”等具有模糊概念的数值称作模糊数。这里凸模糊集的直观几何意义是,假设F表示”速度快”这个模糊集,如下图所示,u1的速度慢，u2的速度快，那么,u1和 u2连线上的任意点 u的速度都比u1快而比 u2 慢。,（2）语言变量,定义：语言变量用一个有五个元素的集合（X，T(X)，U，G，M）来表征，其中X是语言变量名；T(X)为语言变量X的
14、项集合，即语言变量的名集合，且每个值都是在 U上定义的模糊数 xi，U为语言变量X的论域；G为产生x数值名的语言值规则，用于产生语言变量值的；M为与每个语言变量含义相联系的算法规则。它们的相互关系可用下图表示，语言变量通过模糊等级规则，可以给它赋予不同的语言值以区别不同的程度。,“速度”为一语言变量，可以赋予很慢，慢，较慢，中等，较快，快，很快等语言值。这里用不同的语言值表示模糊变量速度形态程度的差别，但无法对他们的量做出精确的定义，因为语言值是模糊的，所以可以用模糊数来表示。在实用中，为了方便于推理计算，常常还要用模糊定位规则，把每个语言值用估计的渐变函数定位，使之离散化，定量化和精确化。这
15、样项集合就可以写成这样的形式：T（速度）=快、中速、慢、非常慢其中项集合 T（速度）中的每一个左右项都与论域U中的一个模糊集对应。我们可以把“慢”看成低于50km/h的速度；“中速”为接近70km/h；“快”为高于90km/h。以四个项为例，这些项可用隶属函数如图所示的模糊集来表示。,虽然语言变量与我们熟悉的数值变量不同，数值变量的结果是精确的，但是对模糊的自然语言形式化和定量化，进一步区分和刻画模糊值的程度，常常还借用自然语言中的修饰词，诸如“较”，“很”，“相当”，“极”等来描述模糊值，为此引入语言算子的概念。语言算子常常又分为三类：语气算子，模糊化算子和判断化算子。,（3）语言算子,语气
16、算子：,语气算子用于表达模糊值的肯定程度，可分成相反的两类：,一类是强化算子亦称集中化算子，起加强语气的作用，例如：“很”、“极”、“非常”等，可以使模糊值的隶属度减小，其分布向中央集中，如图所示，集中化算子在图形上有使模糊值尖锐化的倾向。,另一类是弱化算子亦称淡化算子或松散化算子，起减弱语气的作用，例如：“比较”“稍许”等，可使隶属度增大，其分布由中央向两边离散，在图形上使模糊值平坦化。,为了规范语气算子的意义，扎德曾对此作了如下约定：用H作为语气算子来定量描述模糊值，若模糊值为A，则把H定义为HA=A。由于隶属度函数的取值范围在闭区间0，1，由于集中化算子的幂乘运算的幂次大于1，故乘方运算
17、后变小，即隶属函数曲线趋于尖锐化，而且幂次越高，越尖锐；相反，松散化算子的幂次小于1，乘方运算后变大，隶属函数曲线趋于平坦化，幂次越高越平坦。,模糊化算子：模糊化算子是把肯定转化为模糊或使模糊更模糊。如果对数字进行作用，就把精确数转化为模糊数。诸如“大约”，“近似”等这样的修饰词都属于模糊化算子。例如数字65是精确数，而“大约65”就是模糊数。如果对模糊值进行作用就使模糊值更模糊，例如“年轻”是个模糊值，而“大约年轻”就更模糊。在模糊控制中，采样的输入量总是精确量，要利用模糊逻辑推理方法，就必须首先把输入的精确量模糊化。模糊化实际上就是使用模糊化算子来实现的。,判定化算子 判定化算子是与模糊化
18、算子有相反作用的另一类算子，其作用是把模糊值进行肯定化处理，对模糊值做出倾向性判断，其处理方法类似于“四舍五入“，常把隶属度为0.5作为分界来判断。例如“倾向于”“偏向于”等，被称为判定化算子。,（4）语言值,语言值：在语言系统中，那些与数值有直接联系的词，如：长、短、多、少、高低等，或者由它们加语言算子派生出来的词语如不太大、非常小、较轻、偏高等叫语言值。它们以实数域R（-,+）或其子集为论域的口语化量词。例如：可能，不大可能，不可能 语言值一般都是模糊的，可用模糊数来表示。往往按其论域作离散化处理。,例如：成年男子身高论域 U=130、140、150、160、170、180、190、200
19、、210=u1、u2、u3、u4、u5、u6、u7、u8、u9、,在论域U上定义：,个子高=,将语言算子作用于这些语言值：,个子很高=H2个子高=,个子极高=H4个子高=,个子倾向高=,判定化算子,例如：成年男子身高论域 U=130、140、150、160、170、180、190、200、210=u1、u2、u3、u4、u5、u6、u7、u8、u9、,在论域U上定义：,个子矮=,将语言算子作用于这些语言值：,个子较矮=H1/2 个子矮=,个子倾向矮=,语言真值就是由0，1区间的模糊子集所表现的命题的真假程度。,判定化算子,3.3 模糊逻辑与近似推理,（1）模糊逻辑推理,模糊逻辑推理是不确定性推
20、理方法的一种，它是一种以模糊判断为前提，运用模糊语言规则推出一个新的近似的模糊判断结论的方法。,这种推理是近似的、非确定性的，其前提和结论都具有模糊性。,例如：大前提：健康则长寿。小前提：老人很健康。结 论：老人似乎会很长寿。这里小前提中的模糊判断和大前提中的前件不是严格相同，而是相近，有程度上的差异，其结论也应该是与大前提中的后件相近的模糊判断。,（2）模糊蕴含关系,“如果x为A，则y为B”，表示了A与B之间的模糊蕴含关系，记为 AB。它相当于普通集合中因果关系，但又不是简单的因果关系。,在模糊逻辑控制器中常用到下列几种模糊蕴含关系的运算方法：,模糊蕴含最小运算（Mamdani）,模糊蕴含积
21、运算（Larsen),模糊蕴含算术运算（Zadeh),模糊蕴含的最大最小运算（Zadeh),模糊蕴含的布尔运算,模糊蕴含的标准法运算a.,例题：设论域X=a1、a2、a3、a4、a5和Y=b1、b2、b3、b4上的模糊集合分别为：,“大”,“小”,则模糊关系“如果x为小，则y为大”的模糊关系矩阵RAB等于：,=,0.8,（3）模糊逻辑推理方式和方法,模糊逻辑推理方法有多种，尚在发展中。这里介绍扎德方法。,GMP推理规则：,前提1：X为A，（知识）前提2：若X为A则Y为B,(事实)结论：Y为B。,推理公式：,其中“R”为模糊蕴含关系，它可采用任何一种运算方法，常用模糊蕴含最小运算Rc和模糊蕴含积
22、运算Rp，“o”是合成运算符,“B”是模糊集合。,近似推理或语言推理模糊条件推理多输入模糊推理多输入多规则模糊推理,从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规则推理方法又可以分为以下四种模糊推理规则。,近似推理或语言推理,人们平常如果遇到象“如果x小，那么y就大”这样的前提，要问“如果x很小，y将怎样呢？”，我们会很自然地想到“如果x很小，那么y就很大”。人们所使用的这种方法就被称做模糊假言推理或似然推理。这是一种近似推理方法。它可以这样来表达：,大前提：如果x是A，那么y是B；小前提：x是A；结 论：那么y是B=Ao（AB）；,该结论B可用A和A到B的推理关系进行合成而得到，其中的算
23、子“o”表示合成运算，R=（AB）是蕴含运算，表示由A到B进行推理的关系或者条件，即是“如果x是A，那么y是B”简化表示方法；这里：,“R”可以采用不同的蕴含关系表示。“A”可以加语言算子取不同的值，如很A、略A、非A等。“o”合成运算也可以采用不同的方法。,Zadeh的模糊推理方法 为了求得模糊条件“若X is A 则 Y is B”所确定的X与Y之间的模糊关系R，Zadeh提出两种方法。一种称之为条件命题的极大极小规则，由此获得的模糊关系用Rm表示，另一种称之为条件命题的算术规则，由此获得模糊关系用Ra表示。令A、B分别为X和Y的具有如下形式的模糊集：由条件命题“若X is A 则 Y i
24、s B”所确定的X与Y之间的模糊关系表示为：,故而，由条件命题“若X is A 则 Y is B”及“X is A”所确定的“Y is B”中的B 可按下式求得：,其中则：B m，B a按在Y上的隶属函数分别是：,Mamdani最小运算规则 Mamdani提出最小运算规则确定的X与Y之间的模糊关系，由此模糊关系用Rc表示:,“Y is B”中的B 可按下式求得：,其中则：B c按在Y上的隶属函数分别是：,令：是指模糊集合A对A交集的高度，也可以表示为，这可以看成是对的适配程度或隶属度。如果A 和A完全一致，那么隶属度=1，结论当然B 和B完全一致，说明这种推理方法包容传统的二值逻辑推理方法。,
25、扎德的细分语气算子：,例题：人工调节炉温，有如下经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”。试问当炉温为“低”、“非常低”、“略低”、“不低”时，应施加怎样的电压？,解：设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x和y的论域为：X=Y=1，2，3，4，5设A表示“炉温低”的模糊集合，且有：,设B表示“电压高”的模糊集合，且有：,模糊蕴含最小运算法,合成运算按最大最小规则计算：,炉温低：,推理结果满足直觉判据,合成运算按最大最小规则计算：,炉温非常低：,推理结果满足直觉判据尚属满足要求,合成运算按最大最小规则计算：,炉温略低：,推理结果满足直觉判据尚属满足要求,合成运算按最大最小规则计算
26、：,炉温不低：,直觉推理,结果与直觉判据有较大出入！,模糊蕴含积运算法,合成运算按最大最小规则计算：,满足直觉判据,不满足直觉判据,模糊蕴含算术运算法,基本上均不满足直觉判据，所以在模糊逻辑控制中很少使用。,合成运算按最大最小规则计算：,低：非常低：略低：不低：,模糊蕴含最大最小运算法,基本上均不满足直觉判据，所以在模糊逻辑控制中很少使用。,合成运算按最大最小规则计算：,低：非常低：略低：不低：,模糊蕴含布尔运算法,基本上均不满足直觉判据，所以在模糊逻辑控制中很少使用。,合成运算按最大最小规则计算：,低：非常低：略低：不低：,模糊蕴含标准运算法,与直觉判据具有较好的符合程度。,合成运算按最大最
27、小规则计算：,低：非常低：略低：不低：,模糊蕴含标准运算法,合成运算按最大最小规则计算：,低：非常低：略低：不低：,基本上均不满足直觉判据。,模糊条件推理,在模糊逻辑控制中，经常用到模糊条件推理。其形式是：如果什么是什么，那么怎么怎么，否则怎么怎么。用语言规则表示，即：如果A，那么B，否则C。其逻辑表达式是,其模糊关系R是XY的子集，可以表示为,其模糊关系矩阵中的各个元素可通过下式求出：,有了这个模糊关系，就可根据推理合成规则，将输入A该关系 R进行合成得到模糊推理结论B，即,这个模糊推理合成计算式在模糊控制中得到广泛应用。在一些简单的应用中往往先根据此式用穷举法把各种可能得到的推理结论值计算
28、出来，再列成查询表供推理过程用查表法实现推理计算。,例对于一个系统，当输入A时，输出为B，否则为C。,已知,解先求关系矩阵,，求输出D,多输入模糊推理,以上讨论的都是模糊推理关系的前件部为一个输入的情况，但在模糊控制系统经常遇到的问题往往是多输入的，特别是两输入的情况，例如“如果压力偏高而且还在继续升高，那么停止加热”这样的规则。其一般形式为：如果A且B,那么C；现在 如果A且B,那么C；这里A和 A，B和 B，C和 C，分别是不同论域 X、Y、Z上的模糊集合。“A和B”，英语表示式为“A and B”，其意义是：,“如果A且B,那么C”的数学表达式：,若用玛达尼推理方法，就是用玛达尼蕴含定义
29、,由此，推理结果为：,其隶属函数为：,是指模糊集合A与A交集的高度。玛达尼推理削顶法的几何意义是分别求出A对A、B对B的隶属度，并且取这两个之中小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，再以此为基准去切割推理后件的隶属度函数，便得到结论C。,二输入玛达尼推理法过程,两输入的情况很容易就可推广到多输入的情况，只要分别先求出各个输入对推理前件中相应条件的隶属度，再取其中最小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，去切割推理后件的隶属函数，便可得到推理的结论。,如果各语言变量的论域是有限集时，即模糊子集的隶属度函数是离散的，则模糊逻辑推理过程可以用模糊关系矩阵的运算来描述。下面以一类模糊控制器为例来说明离散
30、模糊子集下的模糊逻辑推理。已知当A和B时，输出为C，即存在推理规则IF A AND B,THEN C求当和，控制输出应该多少时可以采取以下步骤1）先求令得矩阵为2）将写成列矢量即3）求出关系矩阵R，（2-43）4）由，（2-44）5）仿照2），将化为列矢量,6）最后求出模糊推理输出解,又因为所以即,多输入多规则推理对于一个控制系统而言，一条模糊控制规则是不能满足控制要求的。通常都有一系列控制规则来构成一个完整的模糊控制系统。如（2-46）（2-47）对于这类系统如何进行推理运算呢？多输入多规则推理方法就是为了解决此问题而提出来的。为了简单起见，我们以二输入多规则为例。它可以很容易推广到多输入多
31、规则的情况。考虑如下一般形式：,在这里，上的模糊集合。利用玛达尼推理方法，规则如果，那么的模糊关系可以表示为“否则”的意义是“OR”即“或”，在推理计算过程中可以写成并集形式。由此，推理结果为其中，其隶属度函数为,整个推理过程的意义为分别从不同的规则得到不同的结论，其几何意义是分别在不同规则中用各自推理前件的总隶属度去切割本推理规则中后件的隶属度函数以得到输出结果。最后对所有的结论进行模糊逻辑和，即进行“并”运算，得到总的推理结果。下面看一下二输入二规则的推理方法。对于二输入二规则的推理过程可以用下图示意。,二输入二规则的推理过程,这种推理方法是先在推理前件中选取各个条件中隶属度最小的值（即“
32、最不适配”的隶属度）作为这条规则的适配程度，以得出这条规则的结论。这一过程简称为“取小”操作。然后对所有规则的结论部选取最大适配度的部分。这一过程称为“取大”操作。这样整个推理的最后结果为所有规则结论部的并集。这种推理方法简单且实用，但其推理结果经常不平滑。因此，也有人主张把从推理前件到后件削顶的“与”运算改为“代数积”，这就不是用推理前件的隶属度函数为基准去切割推理后件的隶属度函数，而是用该隶属度去乘后件的隶属度函数。这样得到的推理结果就不再呈平台梯形，而是原隶属度函数的等底缩小。这种处理结果最后经对各规则结论的“并”运算后，总的推理结果的平滑性得到了改善。综上分析，对于这样多输入多规则总的推理结果是将每一个推理规则的模糊关系矩阵进行“并”运算就可以，即对于以上的每一条推理规则，都可以得到相应的模糊关系矩阵。,目前，在世界各国的应用软件中，最常用的推理方法有最大-最小推理法和和最大-乘积推理法这两种，它们的推理结果在面积上有所差别。,
