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1、1,第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布,2,1 气体分子的速率分布律2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布4 能量按自由度均分定理,第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布,3,1 气体分子的速率分布律,一、速率分布函数,设总分子数N，速率区间v v+dv内分子数 dN占总分子数的比率为：,，其中：,速率分布函数：表示分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。对处在一定温度下的气体，它只是速率v的函数。,4,全部分子100%分布在0整个速率范围内，故：,归一化条件,在速率区间v1v2内分子数占总分子数的比率为：,5,二、麦
2、克斯韦速率分布律,在平衡状态下，分布在任一速率区间vv+dv内的分子比率为：,即速率分布函数为：,6,最概然速率,7,T1T2T3,8,涨落现象：,若统计平均值为,对于统计规律的偏离现象。,涨落百分数为：,，涨落幅度为：,麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的系统才成立。说具有某一确定速率的分子有多少，是没有意义的。,必须强调的是，麦克斯韦速率分布律只适用于平衡状态。混合气体的每一组分分别满足麦克斯韦速率分布律。,9,3、混合气体的每一组分分别满足麦克斯韦速率分布律。,1、麦克斯韦速率分布律只适用于平衡状态。,2、适用于理想气体和非理想气体。,必须注意的是：,10,三、用麦克斯韦速率分布函数求平
3、均值,求平均速率,求速率平方的平均值,11,O,三种速率,12,例：温度为T的混合理想气体由分子质量为m1、物质的量为C1的分子及分子质量为m2、物质的量为C2的分子所组成，试求：（1）它们的速率分布；（2）平均速率,13,四、麦克斯韦速度分布律,在平衡态下，分子的速度分量限制在,内的分子数占总分子数的比率为：,14,速度分布律,速率分布律,速度分量的分布函数：,同理,15,五、误差函数,由于，速度的x分量在0vx之间的分子数为：,令,的值可查表,16,泻流问题：,用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位器壁上的气体分子数。,设单位体积内分子数为n,取器壁面积dA垂直x轴。,单位体积内速度在vxvx
4、+dv之间的分子数为：,这些分子中在dt时间内能与dA相碰的分子数为：,单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vxvx+dv之间的分子数为：,单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：,17,泻流问题的应用同位素分离,质量越小越容易逸出容器,238U（丰度99.3%）和235U（丰度0.7%）,需要经过数千级泻流，才能得到较纯的235U。,容器由疏松的器壁所构成，它含有极大量的可透过气体的小孔。,18,泻流问题的应用热电子发射,在dt时间内能与dA相碰的分子数为：,热电子发射：电子由于热运动穿透表面势垒进入自由空间。,设表面逸出功为W,电子在x方向的速度Vx必须满足：,，才能逸出。,则电子发射强度J
5、e为：,这就是表示热电子发射强度的李查逊（Richardson）公式。,19,六、统计规律的涨落现象,1、统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律，是以动力学规律为基础的。,2、大量偶然现象表现出来的统计规律具有稳定性。,3、统计规律永远伴随着涨落。,20,2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律,一、葛正权实验,圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置。,通过测量Bi层厚度即可验证Mazwell速率分布律,21,二、密勒和库士实验,22,3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布,一、玻尔兹曼分布律,若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中,系统在力场中处于平衡状态时，满足玻尔兹曼分
6、布律：,其中，n0表示势能p为零处单位体积内具有各种速度的分子总数。,23,若将玻尔兹曼分布律对所有速率积分，并考虑Maxwell分布律的归一化条件，可得：,表示分布在坐标区间xx+dx，yy+dy，zz+dz内单位体积的分子数。,常用形式,玻尔兹曼分布律是一个普遍规律，对平衡状态下任何物质的微粒在任何保守力场中运动的情形都成立,24,二、重力场中微粒按高度的分布,设z=0处单位体积内的分子数为n0，则在高度为z处体积元dxdydz内的分子数为：,因此，分布在z处单位体积内的分子数为：,n随m、z的增大而减小，随T的增大而增大。,25,气体压强随高度的变化规律：,等温气压公式,两边取对数，可得
7、：,由上式，测得气压即可算出高度。大气温度是随高度变化的，因此用于估算大气压强的时候只适用于高度差不大的范围内。,26,珠峰8848m,拉萨3600m,兰州1500m,榆中1750m,例：估算兰州、榆中、拉萨、珠峰的大气压。,M=0.029kg/mol,T=300K,27,4 能量按自由度均分定理,一、自由度的概念,质心+绕质心的转动,平动-以质心运动为代表,转动-确定转轴,-绕转轴,振动-非刚性分子才考虑,自由度：决定一个物体位置所需要的独立坐标数。,28,N个原子组成的分子：,振动自由度=3N-6,整体转动自由度=3,整体平动自由度=3,总自由度=3N,刚体的运动：,t=3,r=3,双原子
8、分子：,t=3,r=2,s=1,29,长度不变的细杆在平面内运动,t=2,r=1,一个弯成三角形的金属棒在空间的运动,t=3,r=3,在一个平面上滑动并围绕垂直于该平面的轴转动的硬币,t=2,r=1,举例：,30,二、能量按自由度均分定理,能量按自由度均分定理,在温度为T的平衡状态下，物质（气体、液体、固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小为。,31,必须注意：,3、能均分定理是对大量分子统计平均的结果。,2、单个分子能量不一定按自由度均分。,4、能量按自由度均分是通过碰撞实现的。,1、能均分定理只适用于平衡态。,由能均分定理可知分子平均总动能为：,由振动学可知，简谐振动一个周期
9、内平均动能和平均势能相等，因此，分子平均总能量为：,32,三、理想气体的内能,动能,分子内振动势能,分子间势能,理想气体内能,气体内能,=,+,+,动能,分子内振动势能,=,+,质量为m的理想气体内能为：,对于1mol理想气体：,单原子分子：,双原子分子：,只与自由度和温度有关,33,例：水分解为同温度的氢气和氧气，内能增加百分之几？（不计振动自由度）,H2、O2自由度数为：,t=3，r=2,H2O自由度数为：,t=3，r=3,2H2O2H2+O2,34,四、理想气体的热容,热容：温度升高/降低1物体所吸收/放出的热量。,摩尔热容：1mol物质温度升高/降低1所吸收/放出的热量。,（c为比容）
10、,（M为摩尔质量）,等容过程：,等压过程：,吸收热量,内能,吸收热量,内能,对外做功,故定压热容比定容热容大，即：,35,理想气体摩尔定容热容量：,对于1mol理想气体，定容情况下，吸收热量dQ，温度上升dT，则定容摩尔热容量为：,定容过程气体吸收热量全部转化为内能，故：,1mol理想气体内能为：,，因此：,只与自由度有关,单原子分子气体：,双原子分子气体：,36,五、经典理论的缺陷,一切双原子分子CV,m相同,CV,m与温度无关,根据经典理论：,理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。,振动能级：,转动能级：,上千K才开始有影响,几十K才开始有影响,37,例：在不太高的温度下，质量4.4克的二氧化碳和7克的氮气相互混合，求混合气体的定容摩尔热容量。,判断正误：两种理想气体，温度相等，则：（1）内能必然相等（2）分子的平均能量必然相等（3）分子的平均动能必然相等（4）分子的平均平动动能必然相等,38,Ludwig Edward Boltzmann 1844-1906,James Clerk Maxwell1831-1879,39,作业：1、5、9、10、11、12、13、14、21、25、28、30,
