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1、第 8 章 系统辨识,教材：王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011,2,自动控制理论是基于被控对象的数学模型来分析和设计控制系统的。因此，建立系统的数学模型是现代控制理论研究的基本问题之一。“系统辨识”的任务是研究建立系统数学模型的方法。本章简要介绍系统辨识的基本概念、最小二乘参数估计方法和系统结构辨识方法。,第8章 系统辨识,3,第8章 系统辨识,8.1 系统辨识的概念 8.2 线性静态模型的最小二乘参数估计8.3 线性动态模型的最小二乘参数估计8.4 最小二乘参数估计的递推算法8.5 线性系统的结构辨识8.6 闭环系统的可辨识性8.7 MATLAB在系统辨识中的应用,4,8.1 系
2、统辨识的概念,8.1.1 系统辨识的定义 建模的两大类方法：分析法和实验法。分析法建模是应用各种科学定律，根据系统中各个变量之间的因果关系，推导系统的数学模型。系统辨识是在输入和输出信息的基础上，从一类系统中确定一个与所观测系统等价的系统。系统辨识定义包括三个要素：输入输出数据，模型类，等价准则。系统辨识是按照一个等价准则，在模型类中选择一个与输入、输出数据拟合得最好的模型。,5,（1）黑箱问题，也叫完全辨识问题：被辨识对象的基本特性是完全未知的。（2）灰箱问题，又叫不完全辨识问题：在辨识前已知道系统的一些基本特征。例如：已经知道系统是线性的，其通频带大致是多少，不能确切知道的只是系统的动态方
3、程的阶次以及方程的系数值等。许多工程上的辨识问题属于灰箱问题，系统辨识内容就简化成阶的辨识和参数估计问题了。,8.1 系统辨识的概念,6,8.1 系统辨识的概念,8.1.2系统辨识的基本内容,7,8.2.1 参数估计问题,8.2 线性静态模型的最小二乘参数估计,若已知系统的输入输出关系为下列线性关系：,设对输入、输出进行m次观测得到的数据为 x1(i)，x2(i)，,xn(i)，y(i)，i=1,2,m。现在的问题是：怎样根据这些观测数据估计系统的参数,8,8.2.1 参数估计问题,如果模型准确，测量数据也准确，则只要n组测量数据，构成下列线性方程组，解线性方程组就可唯一地确定系统参数,i=1
4、,2,n,9,8.2.1 参数估计问题,如果模型不准确，测量数据也有误差，则m组观测数据和系统参数间的关系可表示为,i=1,2,m,“参数估计”的任务是用统计方法，从带有噪声的观测数据中，按照某种准则估计出最接近实际值的参数。,10,8.2.2 最小二乘法的基本算法,最小二乘法是数学家高斯于1795年提出的，利用它确定出了天体星球的运行轨道参数。目前此法已被应用到许多领域，成为参数估计中最基本最成熟的方法。下面以一个例子来介绍最小二乘法的基本原理:,如果没有误差，则只要测量一次输入输出数据即可确定系数，即,当有噪声存在时，实际的测量值为。最小二乘法就是使系统输出的估计值与系统输出的实际测量值之
5、差的平方和最小，即,11,8.2.2 最小二乘法的基本算法,对于任一个参数估计值,当 是最小二乘估计时，取得最小值,12,8.2.2 最小二乘法的基本算法,下面讨论一般情况,对上式描述的系统进行m次实验，则得到m个方程式：,Y=X+,写成矩阵向量形式,13,8.2.2 最小二乘法的基本算法,为了求取，下面先给出矩阵微分的公式：,14,8.2.2 最小二乘法的基本算法,若测量值构成的矩阵 非奇异，则最小二乘估计,由于估计值是在取得足够数据后一次计算出来的，所以称为一次完成法。,15,8.2.3 最小二乘法的性质,1.最小二乘估计的无偏性,数学期望（均值）为,若,是均值不为0的随机量，最小二乘估计
6、,是有偏的。,若 与X不相关且均值为0，则,16,8.2.3 最小二乘法的性质,2.最小二乘估计的方差,令R为残差向量的方差阵，即,若残差是均值为0、方差为 的白噪声,的物理意义：代表了RL估计误差的方差的大小。,17,8.2.3 最小二乘法的性质,3.最小二乘估计的一致性,所谓估计的一致性是指随着观测次数的增加，估计值以概率收敛于真值。,为非奇异矩阵，则,如果,可见：当数据取得足够多时，最小二乘估计误差的方差趋于0，估计是一致的。,18,8.2.4 应用举例,例8.1 建立水泥凝固时放出的热量与水泥成分之间关系的数学模型。水泥凝固时所释放出的热量，取决于该水泥各种成分的含量，设某种水泥的几种
7、成分含量为x1，x2，x3，x4，水泥凝固时放出的热量为y。设其模型和实验数据如下：,19,设有一常输入x0=1，则,8.2.4 应用举例,水泥凝固时放出的热量与水泥成分关系的数学模型为,20,8.2.4 应用举例,例8.2 合成纤维抽丝工段，导丝盘速度对丝的质量影响很大，它和电流周波数有关，由生产记录得到的数据如表8.2所示,模型结构可以选择为,21,8.2.4 应用举例,导丝盘的速度和电流周波数的关系为,由最小二乘法得,22,8.2.4 应用举例,例8.3 钢包容积和使用次数的数学模型。出钢时盛钢水的钢包在使用过程中，由于钢液和炉渣对耐火材料的侵蚀使其容积不断增大。经过实验，钢包容积（用所
8、盛钢水的重量表示）与使用次数的数据，如表8.3所示：,23,8.2.4 应用举例,取指数模型：,由最小二乘法得,24,8.3 线性动态模型的最小二乘参数估计,设系统由下列n阶差分方程描述：,25,8.3 线性动态模型的最小二乘参数估计,用矩阵形式表达为：,26,由数学中的极值条件,8.3 线性动态模型的最小二乘参数估计,当,满秩，则离散模型参数的最小二乘法估计为,观测到N个输入数据以后，根据上式求得参数的估计值，所以称为一次完成法。,27,8.4.1 基本递推算法,8.4 最小二乘参数估计的递推算法,当又获得了一组新的观测数据,28,8.4.1 基本递推算法,定义,可得出最小二乘估计的递推公式
9、：,29,带遗忘因子的递推最小二乘估计算法的基本思想：重视当前数据，将过去的数据逐渐“遗忘”掉。,8.4.2 带遗忘因子的递推算法,30,遗忘因子对参数估计结果很有影响:遗忘因子越小表明遗忘得越快，越重视当前数据，越能反映当前系统的变化，这适合于参数变化速度相对于辨识速度较快的时变系统。遗忘因子越大，表明重视了更多的历史数据，可以得到更多的系统信息，因此辨识的模型精度较高，适合于参数变化速度远低于辨识速度的慢时变系统。否则，由于没有充分利用老数据中所含的系统信息，辨识精度较低。遗忘因子一般在0.950.995的范围内选取。当=1时，就表示没有“遗忘”，式(8.36)就成为式(8.35)。,8.
10、4.2 带遗忘因子的递推算法,31,由观测数据根据某个准则辨识模型的阶次和滞后步数的过程称为“定阶”。定阶一般是按“假设检验”的步骤反复进行：由低阶向高阶逐次假定系统的阶次，分别估计模型的参数，然后对得到的模型进行检验，以满足要求的最低阶作为所确定的模型阶次。低阶模型对系统描述粗糙，但分析设计容易，而高阶模型对系统描述精度高，但分析设计复杂，尤其不利于在线辨识与自适应控制。,8.5 线性系统的结构辨识,32,1性能指标最小定阶对于给定的阶次n，最小二乘法是使性能指标J取最小值条件下，得到的参数估计。给定不同的阶次n，可以得到不同的参数估计和相应的性能指标最小值。当模型阶次n小于系统实际阶次时，
11、随着n的增加，性能指标最小值将明显下降；当模型阶次n大于系统实际阶次后，随着n的增加，性能指标最小值的下降并不显著。因此，可以取曲线下降开始变慢的值作为阶的估计。一般用数理统计中的“F检验”确定曲线下降是否明显，从而确定模型的阶次。,8.5.1 模型阶次的确定,33,8.5.1 模型阶次的确定,2AIC准则定阶对于ARMA(n,m)模型阶的估计是使AIC值最小的模型阶次。若为零均值白噪声序列，AIC具有较简单的形式,应用AIC准则定阶的具体步骤1)依次取n=1,2,；m=1,2；mn，用最小二乘法（或其它方法）估计参数值，并计算2)由式 计算AIC。3)找出使AIC最小的n，m作为模型的阶次。
12、,34,8.5.2 系统纯时滞的辨识,考虑具有纯时滞d的系统模型：,1参数估计法 先给定一个相当大的阶，以便构造模型来估计参数，若得到的估计量,数值很小，而，(i=0,r-1)，则可认为r就是纯时滞d的估计量。,35,8.5.2 系统纯时滞的辨识,2 阶的检验法对任何一个设定的阶数n，假设不同的d值d=0,1,2,，然后进行参数估计，比较估计的残差平方总和，以J值最小的d做为时滞量的估计，因此要在定阶的同时搜索确定d的大小。,36,8.6 闭环系统的可辨识性,闭环系统可辨识的第一个条件是闭环稳定，否则，不是平稳随机过程。因此下面设闭环系统是稳定的，由 得,37,8.6 闭环系统的可辨识性,比较
13、上式两边的 同次幂的系数，可得下列方程组,38,8.6 闭环系统的可辨识性,写成矩阵形式为,被控对象参数闭环可辨识的条件是调节器的阶次 或 等于或大于被控对象的阶次n。,39,8.7 MATLAB在系统辨识中的应用,用th=arx(z,nn)命令实现一次完成最小二乘法th表示用Theta模型格式表示的估计模型。z=y,u为对象的输入输出数据矩阵，其中y为对象的输出数据向量，u为对象的输入数据向量。y、u均为列向量的形式。nn=na,nb,nk为模型的阶次和纯时滞大小。对于多输入情况，nb、nk均为行向量的形式。,40,2.用thm=rarx(z,nn,adm,adg)或thm,yhat,P,p
14、hi=rarx(z,nn,adm,adg,th0,p0,phi0)命令实现递推最小二乘法z=y,u为对象的输入输出数据矩阵，其中y为对象的输出数据向量，u为对象的输入数据向量。y、u均为列向量的形式。nn=na,nb,nk为模型的阶次和纯时滞大小。adm,adg用于指定采用的递推最小二乘方法的类型。Adm=ff,adg=lam为采用具有遗忘因子lam的递推最小二乘方法。yhat为输出的当前预测矩阵值。th0为指定模型参数的初始值。p为当前参数估计的协方差矩阵。p0为指定参数估计的协方差矩阵初值。phi为当前的数据向量。phi0为数据向量的初值。psi为梯度向量。thm为参数估计值矩阵，thm的第k行为时刻k的参数估计值。,8.7 MATLAB在系统辨识中的应用,41,THE END,Modern Control Engineering,
