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1、第四章 直线与平面、平面与平面,4-1 直线与平面、平面与平面平行,4-2 直线与平面、平面与平面相交,4-3 直线与平面、平面与平面垂直,基本要求,基本要求,（一）平行问题 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、
2、面综合题 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。,4-1 直线与平面平行 两平 面平行,一、直线与平面平行几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。例题1 例题2二、平面与平面平行几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一
3、平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。例题3 例题4 例题5,一、直线与平面平行,若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行,例题1 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面,二面平行作图法：若要使平面与平面之间互相平行，则此两平面上必须分别有不平行的两直线对应平行。反之，若两平面上分别有不平行的两直线对应平行，则此两平面必平行。,二、两平面平行,g,g,过已知点作面平行已知面,EG/AB,EF/AC,EFG/ABC,例题3 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例题4 已知定平面由平行两直线
4、AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。,4-2 直线与平面的交点、两平 面的交线,一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线三、特殊位置线面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般位置平面相交,直线与平面相交,直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。,平面与平面相交,两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有,一、利用积聚性求交点、交线,直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交,直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。,判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平
5、面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,(),求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。,k,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。一般位置平面与特殊位置平面相交判断平面的可见性,一、利用积聚性求交点、交线,一般位置平面与特殊位置平面相交,判断平面的可见性,结 果,判断平面的可见性,平面可见性的判别,X,O,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。,求交线,判别可见性,作 图,
6、例5：求两平面的交线MN并判别可见性。,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图,二、利用辅助平面求交点、交线,一般位置线与一般位置面相交,1）包含已知线EF作辅助平面R（垂直于某一投影面）；,三步求交法,2）求此辅助平面R与已知平面ABC的交线MN；,3）求此交线MN与已知直线EF的交点K。,n,n,m,m,三步求交法,1)作辅助面RH,2）求RH面与ABC 面的交线MN,3）求MN与EF的交点K,一般位置线与一般位置面相交,1,2,以正垂面为辅助平面求线面交点,PV,步骤：1过EF作正垂平面P。,2求P平面与ABC的交线。,3求交线与EF的
7、交点K。,示意图,直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图,利用重影点。判别可见性,f,e,e,直线EF与 ABC相交，判别可见性。,利用重影点判别可见性,1,2,4,示意图,(),3,（）,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线 示意图判别可见性例题6,二、利用辅助平面求交点、交线,两一般位置平面相交，求交线步骤：1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。,求两平面的交线,2连接两个共有点，画出交线KE。,示意图,两一般位置平面相交求交线的方法 示意图,利用求
8、一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,(),(),三面共点法：人为地设立第三面与之相交。三平面交于一点，此点就是共有点，属三方共有。第三面应是特殊位置平面。,三面共点法,用 三面共点法 求解,PV,QH,4-3 直线与平面垂直、两平面垂直,一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题13,若直线垂直于平面，则该线必垂直于平面上的所有直线。,直线垂直于平面,定理（逆）若一直线垂直于平面上的两条相交直线，则直线必垂直于该平面。,例题6 平
9、面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。,a,例题7 试过定点K作特殊位置平面的法线。,h,例题8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。,两平面垂直的几何条件,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。,A,D,例题9 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。,例题10 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,两平面垂直,两平面不垂直,例题11 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。,结论：因为AD直线不
10、在 ABC平面上，所以两平面不垂直。,例题12 试过定点A作直线与已知直线EF正交。,分析 过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。,作图,本章结束,例题6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。,分析,过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。,作图,PV,1,2,1过点K作平面KMN/ABC平面。,2求直线EF与平面KMN的交点H。,3连接KH，KH即为所求。,例题11 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60，与H面的夹角为45。,分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角,作图过程,|yM-yN|,|zM-zN|,m,m n,m,mn,
