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1、利用空间向量解决立体几何问题,立体几何研究的对象是空间图形，通过这部分知识的学习，来培养学生空间观察和公理化体系处理数学问题的思想方法，这也是学生进入高校学习时所必须具备的重要数学基础，因此历年高考立体几何试题突出空间图形的特点，侧重于对直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查。而近几年高考题则更科学、更灵活地体现了这些，并有与其他章节综合的态势。,一、地位与作用,其中，依据定义、定理，对几何中各元素间的关系或几何体的某些特性的存在与否进行判定与论证是高考的重要内容之一，常以判断正误的形式出现在选择题或填空题中；另外，考查空间线线、线面、面面平行与垂直以及它们间所成的角与距离是高
2、考中更为突出、更为重要的内容，既可以在选择、填空题中出现，又综合地体现在解答题中；立体几何的学科特点决定了立几综合问题的基本模式是论证与计算，尤其是空间夹角与距离的量化是空间图形位置的极至与精髓，当然也还可能出现开放性、探索性问题。近几年中，立几部分在高考中的分值都在20分以上，2003年为26分，往往是34个选填题和1个解答题，涉及夹角与距离的占50%到80%，可见其极其重要的地位和作用。,二、考纲要求2003年数学高考考试说明（新课程版）对这部分的考试要求是：（九 B）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念；掌握直线与直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对
3、与异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。,三、空间角与距离的向量解法,1.空间角的范畴,2.空间距离的范畴,（1）分类：空间距离指两个空间图形（点、线、面）之间的距离主要包括：点与点间、点与线间、点与面间、线与线间、线与面间、面与面间的距离，它们归根结底是点与点间的距离，但并不是在计算时都转化为点与点间距离求解；空间距离中点到面的距离是重点，是最为突出的空间距离；异面直线间的距离是难点，但在向量方法上两者的求法从形式到本质都是相同的。,（2）空间距离公式：,两点间距离公式,（向量在向量方向上的射影
4、的模长）点到面的距离公式或异面直线间的距离公式，其中 为法向量,1.求异面直线间的距离,如图，已知a，b为两异面直线，CD为a，b的公垂线段，A，B分别为a，b上的任意两点an，bn，,则,n,=,=,=|,即异面直线a，b间的距离,3.典型例题分析,(一)能用向量坐标式计算的空间角与距离问题,思路及步骤：,（二）不能（或不方便）建立空间直角坐标系的立几问题利用向量线段式运算,思路与方法：,说明：上述转化常通过基底来实现,1.向量融数形于一体，具有代数形式和几何形式“双重身份”，具有线性运算、数量积、向量积、混合积，既有线段表达式，又有坐标表达式，是解决问题的一种重要工具，是高考必考内容；2.
5、向量本身的特点决定了它与立体几何、解析几何、三角函数等内容的自然融合，是知识的“交汇点”，也是高考命题的指导思想和热点；3.空间向量为立体几何中夹角与距离的求解提供了通法，有很强的规律性、实用性和优越性，本单元教学中要注意把握：学生能熟练地进行空间基向量的选取、能合理地建立空间直角坐标系（右手系）、深刻理解夹角公式的通用性和（点到面）距离公式的由来以及在 此基础上的熟练运用；4.高考立几问题多是以中档题目出现，是绝大多数学生的得分点，在高二学习过程中宜按高考要求牢固掌握，为时间仓促的高三复 习节约时间。,应用：,例1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4，AC=BC=2，ACB=9
6、00，E为AB的中点，求异面直线EC与AB1的距离,解：如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,O)，Bl(0,2,4)，E(1,1,O)，,=(-2,2,4),=(1,1,0),=(-1,1,0).,设,=(x，y，z)，且,设,=0，,=0，,-2x+zy+4z=O,x+y=O，,即z=x,y=-x，令x=1，则,=(1，-1，1)，,异面直线EC与ABl的距离,=,2求点面距离如图已知平面，A，B，为平面的法向量，过A作AC平面于点C，则,=,=,=,|,即点A到平面的距离为,其中B为平面内任一点，为平面的法向量,例2 已知ABCD为边长为4的正方形，E，F分别为AB和AD的中点，过平面外
7、一点G作GC面ABCD于C，且GC=2，求点B到面GEF的距离解如图建立空间直角坐标系，则G(0，O，2)，F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O),=(2,-2,0),=(2,4,-2),=(2,0,0).,设面GEF的法向量为,=0,=0,2x一2y=O，2x+4y-2z=0，z=y，z=3y令y=1，则,=(1,1,3)，,点B到面GEF的距离为,=,3求线面距离如图，直线a平面,因直线a上任一点到平面的距离与直线a到平面的距离相等，故直线a与平面的距离为,其中点A为直线a上任一点，B为面内任一点，为面的一法向量,例3在棱长为2的正方体AC,中，G为AA1的中点，求BD与面G
8、B1D1的距离解如图建立空间直角坐示系，则B(2,2,O),G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2),=(2,2,0),=(2,0,-1),=(0,0,2),设面GB1D1的法向量=(x,.y,z),则,=0,=0,2x+2y=0，2x-2=O，即y=-z，z=2x令x=1则,=(1,-1，2),BD与面GB1D1的距离为,=,4求面面距离如图，平面平面，因平面上任一点到的距离等于两平面的距离，故两平行平面间的距离,，其中点A为面内任一点，B为面内任一点，为面或面的法向量,例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，1)求证：面ABC面AlClD；2)求面ABIC与面AlClD的距离,解 如图建立空间直角坐标系，则A(1，O，0)，B(1，1，O)，C(0，1，0)，D(0，0，O)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，Cl(O，1，1)，D1(O，0，1)则,=（1,0,1）,=（0,1,1）,=（-1,0,0）.,1)证明(略)2)设面AlC1D的法向量，=(x，y，z)，,=0,=0,x+z=0，y+z=O，即x=-z，y=-z，令z=1,则=(-1，-1，1)，面AB1C与面A1C1D的距离为,=,
