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1、1,第 3 章,随机信号分析,第 3 章 随机信号分析,2,随机信号通信中的信号是不确定信号-随机性;不存在预知信号的可能性.通信中的噪声也是随机噪声;随机过程随机信号+随机噪声=随机过程随机过程与函数函数：t=x,因-果关系随机过程：t1=:0,1,2,3,4,5,6,7:出现的可能性；没有因-果关系，有出现的概率的可能性；t=t1,t2,t3,，出现值为x=1的可能性为概率P(1)：随机变量x 图形表达和区别,第 2 章 确知信号分析,3.引言,3,3.1.1 随机过程的基本概念X(A,t)事件A的全部可能“实现”的总体；X(Ai,t)事件A的一个实现，为确定的时间函数；X(A,tk)在给
2、定时刻tk上的函数值。简记：X(A,t)X(t)X(Ai,t)Xi(t)例：接收机噪声 随机过程的数字特征：统计平均值：方差：自相关函数：,第 3 章 随机信号分析,3.1.随机过程的一般表述,4,3.2.1 平稳随机过程平稳随机过程的定义(大)：n维统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）广义平稳随机过程的定义(小)：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。广义平稳随机过程的性质：严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。,第 3 章 随机信号分析,3.2.平稳随机过程,5,3.2.2 各态历经性“各态历经”的含
3、义：平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例各态历经过程的统计平均值mX：各态历经过程的自相关函数RX():一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。,第 3 章 随机信号分析,3.2.平稳随机过程,6,稳态通信系统的各态历经性：通信信号和噪声都是各态历经的。统计平均值：mX=EX(t)：信号的直流分量；统计平均值的平方mX 2：信号直流分量的功率；随机信号的平方的统计平均值 X 2(t)：信号平均功率；平方根E X 2(t)1/2：信号电流或电压的均方根值（有效值）；均方
4、差X2：信号交流分量的平均功率;若mX=mX 2=0，则X2=E X 2(t)；标准偏差X：信号交流分量的均方根值，交流信号的有效值；若mX=0，则X就是信号的均方根值。,第 3 章 随机信号分析,3.2.平稳随机过程,7,自相关函数的性质 功率频谱密度的性质 复习：确知信号的功率谱密度：类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：平均功率：,3.2.平稳随机过程,8,自相关函数和功率谱密度的关系由式中，令=t t，k=t+t，则上式可以化简成,3.2.平稳随机过程,9,于是有,3.2.平稳随机过程,10,上式表明，PX(f)和R()是一对傅里叶变换：PX(f)的性质：PX(f)0,并且PX(f)是实
5、函数。PX(f)PX(-f)，即PX(f)是偶函数。,3.2.平稳随机过程,11,【例3.7】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布 式中，是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。试求其相关函数R()和功率谱密度P(f)。,3.2.平稳随机过程,12,解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-)只有两种可能取值：a2,或-a2。因此，式 可以化简为：R()=a2 a2出现的概率+(-a2)(-a2)出现的概率式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现+a2;若在 秒内x(t)的
6、符号有奇数次变化，则出现-a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到,3.2.平稳随机过程,13,由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当取负值时，上式应当改写成:将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P(f)可以由其自相关函数R()的傅里叶变换求出：P(f)和R()的曲线：,第 3 章 随机信号分析,3.2.平稳随机过程,14,【例3.8】设一随机过程的功率谱密度P(f)如图所示。试求其自相关函数R()。解：功率谱密度P(f)已知，式中，自相关函数曲线：,第 3 章 随机信号分析,3.2.平稳随机过程,15,【例3.9】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。解：白噪声是
7、指具有均匀功率谱密度Pn(f)的噪声，即式中，n0为单边功率谱密度（W/Hz）白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得:由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即 0时）的抽样值都是不相关的。白噪声的平均功率:上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。,第 3 章 随机信号分析,3.2.平稳随机过程,16,带限白噪声的功率谱密度和自相关函数带限白噪声：带宽受到限制的白噪声带限白噪声的功率谱密度：设白噪声的频带限制在(-fH,fH)之间，则有 Pn(f)=n0/2,-fH f fH=0,其他处其自相关函数为：曲线：,第 3 章 随机信号分析,3.2.平稳随机过程,17,定义：一维高斯过程的概率密度：式
8、中，a=EX(t)为均值 2=EX(t)-a2 为方差 为标准偏差高斯过程是平稳过程，故其概率密度 f(x,t1)与t1无关，即，f(x,t1)f(x)f(x)的曲线：,第 3 章 随机信号分析,3.3.高斯过程（正态随机过程）,f(x),18,高斯过程的严格定义：任意n维联合概率密度满足：式中，ak为xk的数学期望（统计平均值）；k为xk的标准偏差；|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数，即,第 3 章 随机信号分析,3.3.高斯过程（正态随机过程）,19,n维高斯过程的性质f(x1,x2,xn;t1,t2,tn)仅由各
9、个随机变量的数学期望ai、标准偏差i和归一化协方差bjk决定，因此,它是一个广义平稳随机过程。若x1,x2,xn等两两之间互不相关，则有当 j k 时，bjk=0。这时，即，n 维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。,第 3 章 随机信号分析,3.3.高斯过程（正态随机过程）,20,用误差函数表示正态分布误差函数定义：补误差函数定义：正态分布
10、表示法：,第 3 章 随机信号分析,3.3.高斯过程（正态随机过程）,21,频率近似为fc,3.6.1.基本概念何谓窄带？设随机信号(随机过程)的频带宽度为f，中心频率为fc。若f fc，则称此随机过程为窄带随机过程(窄带随机信号)。窄带随机过程的波形和表示式波形和频谱：,第 3 章 随机信号分析,3.4.窄带随机过程,22,表示式式中，a(t)窄带随机过程的随机包络；(t)窄带随机过程的随机相位；c 正弦波的角频率。上式可以改写为：式中，(t)的同相分量(t)的正交分量,第 3 章 随机信号分析,3.4.窄带随机过程,23,3.4.2 窄带随机过程的性质c(t)和s(t)的统计特性：设(t)
11、是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则 c(t)和s(t)也是高斯过程；c(t)和s(t)的方差相同，且等于(t)的方差；在同一时刻上得到的c和s是不相关的和统计独立的。aX(t)和X(t)的统计特性：窄带平稳随机过程包络a(t)的概率密度等于：瑞利分布窄带平稳随机过程相位(t)的概率密度等于：均匀分布,第 3 章 随机信号分析,3.4.窄带随机过程,24,通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：正弦波加噪声的表示式：式中，A 正弦波的确知振幅；c 正弦波的角频率；正弦波的随机相位；n(t)窄带高斯噪声。,第 3 章 随机信号分析,3.5.正弦波加窄带高斯过程,25,通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：
12、正弦波加噪声的表示式：的包络的概率密度：式中，n 2 n(t)的方差；I0()零阶修正贝塞尔函数。称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)分布。当A=0时，变成瑞利概率密度。,第 3 章 随机信号分析,3.5.正弦波加窄带高斯过程,26,的相位的条件概率密度：式中，Z(t)的相位，包括正弦波的相位 和噪声的相位 f(/)给定 的条件下，Z(t)的相位的条件概率密度Z(t)的相位的概率密度:当=0时，式中，,第 3 章 随机信号分析,3.5.正弦波加窄带高斯过程,27,(a)莱斯分布包络的概率密度,广义瑞利分布的曲线当A/=0时，包络瑞利分布相位均匀分布当A/很大时，包络正态分布相位冲激函数,第
13、3 章 随机信号分析,3.5.正弦波加窄带高斯过程,28,3.6.1 线性系统的基本概念线性系统的特性有一对输入端和一对输出端无源无记忆非时变有因果关系：先有输入、后有输出有线性关系：满足叠加原理若当输入为xi(t)时，输出为yi(t)，则当输入为 时，输出为：式中，a1和a2均为任意常数。,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,29,线性系统的示意图,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,30,3.6.2 确知信号通过线性系统时域分析法设h(t)系统的冲激响应 x(t)输入信号波形 y(t)输出信号波形则有：,对于物理可实现系统：,第 3 章 随机信号分析
14、,3.6.随机过程通过线性系统,31,频域分析法设：输入为能量信号，令 x(t)输入能量信号H(f)h(t)的傅里叶变换 X(f)x(t)的傅里叶变换 y(t)输出信号 则此系统的输出信号y(t)的频谱密度Y(f)为：由Y(f)的逆傅里叶变换可以求出y(t)：,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,32,设：输入x(t)为周期性功率信号，则有 式中，输出为：设：输入x(t)为非周期性功率信号，则当作随机信号处理,0=2/T0T0 信号的周期 f0=0/2是信号的基频,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,33,【例3.10】若有一个RC低通滤波器，如图3.1
15、0.4所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。解:设 x(t)输入能量信号 y(t)输出能量信号 X(f)x(t)的频谱密度 Y(f)y(t)的频谱密度则此电路的传输函数为：此滤波器的冲激响应h(t)：,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,34,滤波器输出和输入之间的关系：假设输入x(t)等于：则此滤波器的输出为：,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,35,无失真传输条件设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号x(t)，则其无失真输出信号y(t)为：式中，k 衰减常数，td 延迟时间。求系统的传输函数：对上式作傅里叶变
16、换：式中，无失真传输条件：振幅特性与频率无关；相位特性是通过原点的直线。（实际中，难测量，常用测量td代替。）,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,36,3.8.3 随机信号通过线性系统物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有 若输入为平稳随机信号i(t)，则，当t=t时，输出o(t)为输出Y(t)的数学期望Eo(t)由于已假设输入是平稳随机过程，故 输出的数学期望：,Ei(t-)=Ei(t)=k，k=常数。,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,37,输出o(t)的自相关函数由自相关函数定义，有由i(t)的平稳性可知，上式中的数学期望与t1无关，故有由
17、于o(t)的数学期望和自相关函数都和t1无关，故o(t)是广义平稳随机过程。,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,38,输出o(t)的功率谱密度Po(f)：由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令=+u-v代入上式，得到输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度 乘以|H(f)|2。,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,39,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,结论：,广义平稳随机过程。,40,【例3.11】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：所以有输出信号的功率谱密度为输出信号的自相关函数 输出噪声功率：Po Ro(0)=k2 n0 fH,第 3 章 随机信号分析,3.6.随机过程通过线性系统,41,第 3 章 随机信号分析,习题,第三章 习题V6：3-1，3-2，3-3，3-7，3-8，3-9，3-10，3-12，3-13，3-14，3-15,
