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1、第3章 电阻电路的一般分析,重点,熟练掌握电路方程的列写方法：回路电流法 结点电压法,主要内容,基本概念 KCL和KVL的独立方程数 支路电流法 回路电流法 结点电压法,线性电路的一般分析方法,(1)普遍性：对任何线性电路都适用。,复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。,（2）元件的电压、电流关系特性。,（1）电路的连接关系KCL，KVL定律。,方法的基础,(2)系统性：计算方法有规律可循。,网络图论,哥尼斯堡七桥难题,图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。,3.1
2、 电路的图,电路的图(Graph)是用以表示电路几何结构的图形,一个元件作为一条支路,元件的串联及并联组合作为一条支路,有向图,从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。,路径(path),连通图(connected graph),图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,子图：若图G1中所有支路和结点都是图G 中的支路和结点，则称G1是G的子图,树(Tree),T是连通图的一个子图,满足下列条件：,连通 包含所有结点 不含闭合路径,G1,G,G2,树支(tree branch)：构成树的支路,连支(link)：属于G而不属于
3、T的支路,连支数：,不是树,树,特点：,对应一个图有很多的树，树支的数目是一定的,树支数：,回路(Loop),L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，满足：(1)连通，(2)每个结点关联2条支路,不是回路,回路,基本回路的数目是一定的，为连支数,特点：,对应一个图有很多的回路,对于平面电路，网孔数为基本回路数,基本回路(单连支回路),支路数树支数连支数 结点数1基本回路数,结论：,结点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连支,例,图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。,二、KCL和KVL的独立方程数,KCL的独立方程数,1,4,3,2,结论：,n个结点的电路,独立的KCL
4、方程为n-1个,对各结点列 KCL方程：,KVL的独立方程数,KVL的独立方程数=基本回路数=b(n1),结论：,n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数为：,三、支路电流法(branch current method),对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。,以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法,独立方程的列写,从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程,选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程,例,1,3,2,有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:,取网孔为基本回路，沿顺时针
5、方向绕行列KVL写方程:,结合元件特性消去支路电压得：,回路1,回路2,回路3,支路电流法的一般步骤：,标定各支路电流（电压）的参考方向；,选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程；(元件特性代入),求解上述方程，得到b个支路电流；,进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路电流法的特点：,支路法列写的是 KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。,例1.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解：,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3
6、=6,7I111I2=70-6=64,例2.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）,解1.,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=U,7I111I2=70-U,增补方程：I2=6A,+U_,由于I2已知，故只列写两个方程,节点a：I1+I3=6,避开电流源支路取回路：,7I17I3=70,例3.,I1I2+I3=0,列写支路电流方程.(电路中含有受控源）,解:,11I2+7I3=5U,7I111I2=70-5U,增补方程：U=7I3,有受控源的电路，方程列写分两步：,(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量
7、用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去 中间变量。,四、网孔电流法(mesh current method),为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一个网孔电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示，来求得电路的解。,图中有两个网孔，支路电流可表示为：,以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法,基本思想,各支路电流可以表示为有关网孔电流的代数和，所以KCL自动满足。因此网孔电流法是对个网孔列写KVL方程，方程数为：,列写的方程,网孔1：R1 im1+R2(im1-im2)-uS1+uS2=0,网孔2：R2(im2-im1)+R3 il2-uS2=0,整理得：,(R1+R2)im
8、1-R2im2=uS1-uS2,-R2im1+(R2+R3)im2=uS2,方程的列写:,与支路电流法相比，方程数减少n-1个,R11=R1+R2 网孔1的自电阻。等于网孔1中所有电阻之和,总结：,R22=R2+R3 网孔2的自电阻。等于网孔2中所有电阻之和,自电阻总为正,R12=R21=R2 网孔1、网孔2之间的互电阻,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,us11=uS1-uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和,us22=uS2 网孔2中所有电压源电压的代数和,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,得标准形式的方程：,对于具有 l=b-(n-
9、1)个网孔的电路，有:,其中:,Rjk:互电阻,+:流过互阻的两个网孔电流方向相同,-:流过互阻的两个网孔电流方向相反,0:无关,Rkk:自电阻(为正),例1.,用网孔电流法求解电流 i.,解1,电路有三个网孔如图所示：,不含受控源的线性网络Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。当网孔电流均取顺（或逆）时针方向时，Rjk均为负。,表明：,网孔电流法的一般步骤：,确定电路中各网孔的绕行方向；,对各网孔以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；,求解上述方程，得到l 个网孔电流；,其它分析。,求各支路电流(用网孔电流表示)；,五、回路电流法(loop current method),基本思想,为减少未知量
10、(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。,以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,优点,网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法适用于平面或非平面电路。,回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：,列写的方程,独立回路数为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：,回路1：R1(il1-il2)+R2il1-uS1+uS2=0,回路2：R1(il2-il1)+R3 il2+uS1=0,整理得：,(R1+R2)il1-R1
11、il2=uS1-uS2,-R1il1+(R1+R3)il2=-uS1,方程的列写：,R11=R1+R2 回路1的自电阻，等于回路1中所有电阻之和,总结：,R22=R1+R3 回路2的自电阻，等于回路2中所有电阻之和,自电阻总为正,R12=R21=R1 回路1、回路2之间的互电阻,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,ul1=uS1-uS2 回路1中所有电压源电压的代数和,ul2=-uS1 回路2中所有电压源电压的代数和,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,由此得标准形式的方程：,对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有:,其中:,Rjk:互
12、电阻,+:流过互阻的两个回路电流方向相同,-:流过互阻的两个回路电流方向相反,0:无关,Rkk:自电阻(为正),解：,只让一个回路电流经过R5支路,特点：,减少计算量,互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻,例1.,用回路电流法求解电流 i.,回路法的一般步骤：,选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,求解上述方程，得到l 个回路电流；,其它分析。,求各支路电流(用回路电流表示)；,无伴电流源支路的处理：,引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。,例,电流源看作电压源列方程,增补方程：,选取独立回路，使理想电流
13、源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS。,例,为已知电流，实际减少了一方程,与电阻并联的电流源，可做电源等效变换,受控电源支路的处理：,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,例,受控电压源看作独立电压源列方程,增补方程：,例,列回路电流方程,解,选网孔为独立回路,U2,U3,增补方程：,例,求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。,解:,六、结点电压法(node voltage method),选结点电压为未知量，则KVL自动满足。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想
14、：,以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。,列写的方程：,结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：,与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。,任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自动满足,说明：,实例,选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压,列KCL方程：,iR出=iS入,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,把支路电流用结点电压表示：,-i3+i5=iS2,整理，得：,令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5,上式简记为：,G11
15、un1+G12un2 G13un3=iSn1,G21un1+G22un2 G23un3=iSn2,G31un1+G32un2 G33un3=iSn3,标准形式的结点电压方程,等效电流源,说明,G11=G1+G2 结点1的自电导，等于接在结点1上所有支路的电导之和。,G22=G2+G3+G4 结点2的自电导，等于接在结点2上所 有支路的电导之和。,G12=G21=-G2 结点1与结点2之间的互电导，等于接在结点1与结点2之间的所有支路的电导之和，为负值。,自电导总为正，互电导总为负。,G33=G3+G5 结点3的自电导，等于接在结点3上所有支路的电导之和。,G23=G32=-G3 结点2与结点3
16、之间的互电导，等于接在结点1与结点2之间的所有支路的电导之和，为负值。,iSn2=-iS2uS/R5 流入结点2的电流源电流的代数和。,iSn1=iS1+iS2 流入结点1的电流源电流的代数和。,流入结点取正号，流出取负号。,由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：,一般情况,其中：,Gii：自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。,iSni：流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij=Gji：互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支
17、路的电导之和，总为负。,结点法的一般步骤：,选定参考结点，标定n-1个独立结点；,对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；,求解上述方程，得到n-1个结点电压；,其它分析。,求各支路电流(用结点电压表示)；,试列写电路的节点电压方程。,(G1+G2+GS)U1-G1U2GsU3=USGS,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3=USGS,例,无伴电压源支路的处理,以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系,(G1+G2)U1-G1U2=I,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G
18、5)U3=I,U1-U3=US,看成电流源,增补方程：,选择合适的参考点,U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,受控电源支路的处理,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示,先把受控源当作独立 源列方程；,(2)用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,例,设参考点，把受控源当作独立源列方程；,(2)用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,例,解：,例,列写电路的结点电压方程。,注：与电流源串接的 电阻不参与列方程,增补方程：,U=Un3,例,求U和I。,解1：,应用结点法。,解得：,解2,应用回路法。,解得：,
