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1、数列专题1、数列的通项公式与前n项的和的关系s.,n=1an=c(数列”的前n项的和为=q+4+%).-Sz,之22、等差数列的通项公式an=ai+(n-)d=dn+ai-d(neN)3、等差数列其前n项和公式为n(a.+an)n(n-Y)jJ2z1、叫=-n-+(al-d)n.4、等比数列的通项公式=W=幺g5N)；q5、等比数列前n项的和公式为4(1 T)i-qnavq = 或针小nax,q = 常用数列不等式证明中的裂项形式:Illl)(=n(n+l)nn+n(n+k)11Iz11、(2)访HrhE二一kZ+l(k+l)kk2(k-l)kk-k/八1111(4)=;“5+1)5+2)2(
2、+1)(/7+1)(/?+2)n11(3)ZZZ1(7?+1)!n(+l)!(6)247+T一3=L2JJ)yjn+h1?n+-l2?n(n+)-.数列的通项公式的求法1.定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例.等差数列/是递增数列，前n项和为S”，且%,%，%成等比数列，S5=aj.求数列/的通项公式.解：设数列册公差为d(dO),生，。9成等比数列，城=卬。9，即(q+2d) 1 1 1-=n2 +n n(n + V) n + 1分别令w = 1,2,3,(-1),代入上式得(一1)个等式累加之，即(a2 -al) + (a3 -a2) + (a4 -a3) +(an -an_t)
3、=ai(a1+8c)=d2=ad*.*JO,/.ax=d54VS5=a；：.5q+d(ai+4d)233由得：1=|,J=333=+(w1)-=w2 .公式法：已知S”(即q+4+,=/()求可，用作差法：=j(n2)例.已知数列%的前n项和Sn满足Sn=24+1.求数列%的通项公式。解：由。=S=2一Inal=1当九2时,有勺=Sn-=2(fl-4)+2(-1),.an=2a“_+2(-l)wl,a,=2an_2+2(-1),2,a2=2a-2.a=2n,ar,(-1)+2n2(-l)2+-+2(-1),=2rt,+(-1)(-2,+(22+-+(-2)/”,V=-2n-2+(-l,.2经验
4、证=1也满足上式，所以4=2+(一i)Tf(D,(n=l)3 .作商法：己知a。/=75)求见,用作商法：all=/(n)fn9V五二铲)如数列中，=1,对所有的2都有。田2。3。=+则。3+。5=；4 .累加法：若%+,=f5)求：an=(4%)+(%-an-2)+&-%)+4(2)。解:由条件知:例.已知数列”满足=1,an=an+,求2n+n所以 “一。I =11: =一, ,2例：已知数列,n11131.*.all=1=h2n2n且=2,an+=a,+nt求a”.解：%+=/+%_%t=T，lL4-2=-2,all,2-ali,3=n-3t,a2-aA=1将以上各式相加得为一%二l+2
5、+3+1,(1+-1)(1)on(n-)an=a.+=2+122又因为当=1,q=2+小9二D=2成立，2.n(n-)*.an=2+-(wN)5.累乘法；已知也=/()求见,用累乘法：友q52).an4一an_2q例.已知数列“满足4=,an+=-an,求明。3n+1解：由条件知&L=-J,分别令=1,2,3,代入上式得(一1)an+1个等式累乘之，即。3a4an123-la,l1=l=-X-X-XX=-2-=aa、a,a_x234na.n例：已知。=3,4+=34,求通项。”.解：n+l=3%at-3-1-3”-2.”一3an-lan-24把以上各项式子相乘得(-l)w_3.3?.333_1
6、_3+2+3+T_32q(W-I)Ml1Jan=32三又当n=l时，=32=3成立(n-)w11an=326.已知递推关系求明,用构造法(构造等差、等比数列)。(1)形如C/=/+/()只需构造数列轨,消去/()带来的差异.其中/()有多种不同形式/()为常数，即递推公式为ff+=p%+q(其中p,q均为常数，(虱-l)0).解法：转化为：all+i-t=p(an-t)9其中再利用换元法转化为等比数列求解。I-P例.已知数列中，4=1,。“+=2。“+3,求明.解：设递推公式/+=2an+3可以转化为。+-/=23一。BPan+l=2an-t=t=-3.故递推公式为4s+3=2(m+3),令勿
7、=%+3,则仇=4+3=4,且触=Xj=2.所以2是bn%+3以4=4为首项，2为公比的等比数列，则2=4x2=2x,所以4=2用3.f(n)为一次多项式，即递推公式为QN=pa,l+775例.设数列%：=4,%=3%+2-l,52),求明.解：ibn=atl+An+B,则。=b“-A-8,将明,。,一代入递推式，得bn-An-B=3区T-4-1)一回+2一I=3瓦一一(3A-2)n-(38-3A+1)A=3A-2A=9zz3=38-34+118=1.取H=/+1(1)则n=3b,w又4=6,故a=6x3*=2x3代入(1)得%=23w-Zi-I备注：本题也可由4=3+2-1=3,+257)T
8、(3)两式相减得an-an,i=3(/T-an_2)+2转化为bll=PbnTQ求之/5)为的二次式，则可设a=4+A+8”+C;（或（2）递推公式为。向=P%+/（其中p,q均为常数，（Mfq-I）0）%=Pan+“，其中P，q，r均为常数）解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，用，得：=-+-qqqq引入辅助数列历（其中2=）,得：。向=2+,再应用类型（1）的方法解决。qqq例.己知数列为中,4=|a+1=+（；）*求知。解：在勺+=+,+（g严两边乘以2向得：2向勺川=|（2。）+1令5=2%,则.=a+l,应用例7解法得：=3-2（一）类型（2）的方法求解。21例
9、.己知数列为中,ai =l,2 =256tm+2 =-an+i+-a,21解：由凡+2 = 3+ 可可转化为%+2 - s6+ = 4+】T2r1 r“WS L =即 4+2 = （s +/）4+1 - SS“nj1!或 Jst = 21一一 卜=S = I这里不妨选用1 （当然也可选用 t31/ = 1见+2 -4川=-5（%+1 一4）= + 一。“是以首项为生一 %+勺=（一；）“，应用类型1的方法，分别令 = L2,3,式累加之，即可一q=（_；）+ （一；），+（-）w2 =-求明。q）313 ,大家可以试一试），则q=l,公比为-！的等比数列,所以 3,5-l）,代入上式得5-1）
10、个等-G产l3（3）递推公式为“+2=P=+ga“（其中P，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为。/2一5。用=。+1一相”）其中5，1满足（+=,再应用前面st=-q731又q=l,所以凡7.形如q或可_厂。/二版/,的递推数列都可以用倒数法求通项。风+b例：勺=2%IM=I3%+1解：取倒数：-=3a-l+1=3+-/an-是等差数列，=(-1)3=1+(w-1).3=!QJanax371-28、=pd型该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。两边取对数得】g%+i=Ig(Pa)Ig%+1=IgP+rig%设a=Ig%，原等式变为。用=m
11、+lg即变为基本型。2例.己知=2,qzl+=去，求其通项公式。2解：由=2,。“+=知O且。“3,将等式两边取对数得Igan+x=21grt-lg3,即Iga向一Ig3=2(lg勺-Ig3)，9,lg-lg3为等比数列，其首项为lgqlg3=lg,公比为22/.lga-lg3=2M,Ig-,2lg,=2rt-1.lg-+lg3o通项公式为=3(彳)2-.数列的前n项求和的求法1 .公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：l+2+3+=4(+1),r+2+=J(+1)(2+1)，2 O13+23+33+
12、.+/=(:电2例、已知log?%=,求x+x?+J+工+的前n项和.Iog23_11解：由logax=；=log3X=-log32=x=7Iog232由等比数列求和公式得Sn=x+x2+x3+xn(利用常用公式)J(T)_如-111-x112”22分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、求数列的前n项和：1+1,+4,二+7广,一!1+3一2,.aa2anx解：设S,t=(l+l)+(+4)+(-V+7)+(工+3-2)aaa将其每一项拆开再重新组合得S“=(1+-+-!-)+(1+4+7+311-2)(分组)aaan当a=1时
13、，S11=n+=(分组求和)22当时，J=0+生也=伫土+吐包1_12a-23 .倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).例3、求sin7。+si12+sin23+si11288+si289的值解：设S=Sin+sii?20+sin23。+si11288+si11289将式右边反序得S=sin289sin288+sin23o+sin22o+sin2(反序)又因为sinx=cos(90-x),sin2x+cos2x=1+得(反序相加)2S=(sin2+cos2)+(sin22
14、0+cos220)+(sin289+cos289)=89/.S=44.54 .错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法).例4、求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n-l)x,解：由题可知，(2-I)V的通项是等差数列2n-l的通项与等比数列i的通项之积设XS“=5+3/+5/+7/+.+(2-k(设制错位)一得(1-x)Sn=1+2x+2+2x3+2x4+.+2xn-(2n-l)xn(错位相1-,1l再利用等比数列的求和公式得：(l-x)S=l+2x(2n-l)xn1-x(2l)xw11(2?I
15、)X+(1+x)(I-X)22462例5、求数列一,一,-,前n项的和.222232”21解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积22-sll=4+4-+(设制错位)一得(1电=2+W+W+=+.+1Wr(错位相减)222232422十5 .裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：11Jd一一L),/!(n+1)nn+1n(n+k)knn+k11lz111111111一7-二()9=-T=k2k2-2k-lk+kA+lU+1Uk2(k-)kk-k11r11n11(+1)(+2)2n(+l)(“+1)
16、(+2)(+1)!！(+l)!2(?+1-向=L27=fn+n+11,的前n项和.解：设=7-=h+1-VnA?+11+1（裂项）则5“二Ll厂+/1/l+22+3n+z+l（裂项求和）=(VT)(5/3-2)(J/2+1yii)例7、在数列a11中，zl=-+-,又5=-,求数列b11的前n项+ln+n+anan+x=yn+-I解：.12nn U+=+1n+12 bft18()(裂项)nn+nH+122：数列bn的前n项和=-+d-+d-)+(-一(裂项求和)22334n+1=8(1-J-)=+l+l的和.6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例8、求1+1
17、1+111+1111之和.7I解:由于HlI=IX9999=1(IoA-1)99（找通项及特征）：1+11+111+1111=(10,-l)+(102-l)+(103-1)+-+1(10-1)（分组求和）=-(10l+102+103+10w)-(ll+l+-+l)99IO(IOn-I)n910三l9=(10m+,-10-9h)7、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例求COS10+cos2o+cos3o+cos1780+cos179的值.例数列an:al=l,2=3,3=2,rt+2=w+l-alf
18、f求S2002.数列通项课后练习1已知数列%中，满足a1=6,an+1+l=2(a+l)(nN+)求数列*的通项公式。(neN+ )2已知数列“中，a“0,且a=3,M7=.+13已知数列“中，al=3,art+1=-azf+I(nN*)求数列册的通项公式4己知数列/中，a1=l,art+1=3a+2,求数列“的通项公式(nN+ )求 35己知数列中a.0,a=J,aff+l=21+勿“6 设数列%满足 a=4, a2=2, a3=l若数列勺+1-。成等差数列，求a,r7设数列*中，a=2,art+1=2azf+1求通项公式a”8已知数列“中，a=L2art+1=an+aw+2求a“9已知q=
19、2,4+=an+(q),求a,l.10已知/=2,。“+=2”。”,求通项即11己知q=2,n+1=上an,求通项an.(1)求和：+!1447(3-2)(3h+1)(2)在数列%中，a,l-；=I,且Sn=9,则n=nV+1求和：1 + + - + 1+2 1+2+311+2+3+n求数列14, 2X5, 3X6,，x(+3),前项和Szt=数列求和课后练习例1已知l0g3X=,求x+2+3+.+%+的前n项和.Iog23S例2设Sn=1+2+3+.+n,nN,求/()=2的最大值.5+32)ST二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列al
20、l-bn)的前n项和，其中、2分别是等差数列和等比数列.例3求和：S11=1+3x+5x2+7x3+(2i-)xn-i2462n1例4求数歹jW,二,三,.,三,前n项的和.22-232三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到个(+4).例5求Sin2r+sin220+sin23o+sin2880+sin289的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例6求数列的前n项和：1+1,+4,4+7,-!+3-
21、2,aa2anl例7求数列n(n+l)(2n+l)的前n项和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:an = f(n 1)- f(n)cosocos(zl)a=tan(n + l) - tan nn(n +1) n n + 1(2n-i2n+l)22n-2+1=I(一1)(+2)2n(n+i)(j+1)(i+2)例9求数列=,LI厂,了L,的前n项和.l+2232+11+1例10在数列an中，a,=-+-+,又bti=-,求数列bn的前n项+ln+n+anan+的
22、和.例11求证：111=三cos00coscoscos2ocos880cos890sin2一、选择题：1、等差数列%中，若。3+。4+%+。6+%=45(),则。2+。8A、45B、75C、180D、3202、已知%是等比数列，且%0,a2a4+2a7ta5+a4a6=25,则生+%=A、5B、10C、15D、203、等差数列a11中，a=3,aoo=36,则a3+a98等于()（八）36(B)38(C)39(D)424、含2n+l个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()2+1（八）nn+1(B)nn-(C)nn+慌5、在项数为2n+l的等差数列中,()若所有奇数项的和为165,所有
23、偶数项的和为150,则n等于（八）96、等差数列(a11（八）130二、填空题：(B)IO(C)Il(D)12的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()(B)170(0210(D)1607、己知数列6,12,20(n+1)(?+2)则其前n项和Sn=.8、数列前n项和为Sn=M+3n,则其通项a11等于.9、已知数列1,一,区,前n项的和为.nnn三、解答题：10、已知数列%的前n项和Sll=n(n+l)(n+2),试求数列-的前n项和.3.11、在数列%中，已知4川=工I，凡=1,求数列的通项公式。12、设正值数列%的前n项和为,满足%=(殁I)?(1)求4，a2,ai(2)求出数列%的通项公式(写出推导过程)(3)设bn=-求数列0的前n项和Tn13、设等比数列%的公比为g,前n项和S“0(=1,2,)。(1)求的取值范围；（三）设5=勺+2-：勺记也”的前n项和为7；,试比较S与T”的大小。14、已知数列%中，an+l=2an+,ai=2,试求数列的通项公式。15、已知数列“中=1,且Gk=Gk-+(-lHa2k+1=a2k+3其中k=l,2,3,(I)求仍，的；(II)求斯的通项公式.
