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1、第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1 .下列排列是5阶偶排列的是().（八）24315(B)14325(C)41523(D)243512 .如果阶排列工人，的逆序数是3则排列/)；的逆序数是().（八）k(B)i(C)T(D)妁资一攵3.阶行列式的展开式中含a”出的项共有()项（八）O(B)一2(C)5-2)!(D)(7-l)!0001001C4.=().010C100C（八）O(B)-I(C)1(D)20010010()5.=().00011000（八）O(B)-I(C)1(D)22XX-111X12,一6.在函数f(x)=C中V项的系数是().32X30001（八）O(B)-I
2、(C)1(D)27.若D=aHa2%。22。323。23。33=P则联2%132%”232生1a3321222“31.2%2=(（八）4(B)-4(C)2(D)-28.若如a2=a,则%=().%O2241k%（八）k1(B)ka(C)k2a(D)-居).9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,第3行元的余子式依次为（八）O(B)-3(C)3(D)2-867-2433-110.若O=1111,则。中第一行元的代数余子式的和为（).43-75（八）-I(B)-2(0-3(D)O304011.若D=101一111009则D中第四行元的余子式的和为（).53-22（八）-I(B)-2(C
3、)-3(D)O12.&等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1+X2kxixx+kx2+x3=0=0有非零解+x2+X3=0-2,5,1,X,则X=().)(0-3（八）-I(B)-2(D)O二、填空题1 .2n阶排列24(2)13(2?-1)的逆序数是.2 .在六阶行列式中项a32a54a41943/6所带的符号是-3 .四阶行列式中包含生2%3且带正号的项是.4 .若一个阶行列式中至少有1-+1个元素等于0,则这个行列式的值等于5.行列式1（）00110101111010010000206.行列式000n-M0009.己知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元
4、素，则所得的新行列式的值为10.行列式111x + 1-1-1 X-I-11x + 11-1-1 ,-11n.阶行列式i1=.11112 .已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为1234A47 (y= 1, 2, 3,4)为D中第四行元的代数余子式,13 .设行列式O=；：8765贝j4An+3Al2+2Al3+444=14 .己知D =D中第四列元的代数余子式的和为15 .设行列式。1311235134624472-6, Alj为=1，2,3, 4)的代数余子式，则A3+a44=16.已知行列式Q=1111352OO3OO2-1OOn,D
5、中第一行元的代数余子式的和为17.齐次线性方程组匕2.q+2x2+Xr1+kx23=O仅有零解的充要条件是_18.若齐次线性方程x组，%+入x1+Ix2Ix23=0+七二0+5XJ=O有非零解，则A二1.三、计算题aba2b2/h3-3xl-2x2+kxi=cdc2d2?di0:2.yx+yX+VXb+c+da+c-da+b+da+b+cx-vyXyOlxl101X3.解方程=0；XllO1x1011111116.3-b11112-b1111(n-)-b1111b、aa17.bxb2a2a2仿打41+x：x1+%2川2i+无；-aa0-11-aaD=O-1-a00-10009.OO11.-a-
6、a2100O1210()0120010.0002100012四、证明题1.设abed=L证明:2.4+bja2+b2x%+3aix+瓦a2x+b1aix+by3.4.a2aa-2a!5.1bb2b41dd2d41-1-1-cl-dObcd2l从!2cl/+2222(IT2)43ab1=S-a)(c-a)(d-d)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d).=4n(%-三llr-d)(ca)(da)(c-b)(d-b)(dc)；2.-2(x3+y3)；3. X = -2,0,1;5. (-1)(1 + -);A=O0 4 - 17. (-r(-);Jt=I9. 1 + 4;k=11. (-
7、a)(i + a2 +4).四.证明题(略)4 u-) Jt=I6. -(2 + Zj)(1-Z7)(-2)-Z?)8. (x +力4)立(冗-%); Jl=I k=10. 77 + 1 ；第二章矩阵一、单项选择题1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()o(a)A2=A2(b)A2-B2=(A-B)(A+B)(c)(A-B)A=A2-AB(d)(AB)r=ArB12.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，B=Co(a)AB=BA(b)0(c)方程组AX=O有非零解(d)B、C可逆3 .若A为n阶方阵，上为非零常数,(a) 4H(b)网 Al4 .设A为n阶方阵，且网=0,贝M
8、(a) A中两行(列)对应元素成比例(c) A中至少有一行元素全为零则=()o(c)k,A)o(d) K 口 Al(b) A中任意一行为其它行的线性组合(d) A中必有一行为其它行的线性组合5.设A,B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是()0(a)(A+B),=A-,+B,(b)(AB)r=B(c)(A,+B)r=A,+B(d)(A+B),=A-+B16 .设A为n阶方阵，父为4的伴随矩阵,则()o(a)(a)=A-,(b)WI=Ml(c)A*=+,(d)=IArT7 .设A为3阶方阵，行列式同=1,4为A的伴随矩阵，则行列式(2A)-l-2A*=()o(a) .az(b)827z、27(c)
9、 (d)8278 .设A,8为n阶方矩阵，屋=32,则下列各式成立的是（）o(a)A=B(b)A=-B(c)IAl=向(d)2=B29 .设A,8均为n阶方矩阵,则必有()。(a)+B=+(b)AB=BA(c)IABI=忸4(d)A2=210.设A为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（)o(a) 2A = 2(b) (2A), = 2A l(c) KAT)TF =KAT)T(d) (Ar)r-1 =(A-,)1111.如果 A 212“22%23、a23“11 -331a2i“12 1332a”w2333，则 A=（）0(a)10-31(b) 0 l-3、0(c) 0J-3、0(d)(00 1、
10、0 -3 0b112.己知A= 23(a) A = A)o(c) A0 1rI2(d)1 0 0、0 0 10 1 0,rI233、213.设AB,C,1为同阶方阵,/为单位矩阵，若ABe=/,则)o(a)ACB=I(b)CAB=I(c)CBA=I(d)BAC=I14.设A为阶方阵，且40,则（)o(a)A经列初等变换可变为单位阵/(b)由AX=A4,可得X=B(c)当(A/)经有限次初等变换变为(1|3)时，有AT=B(d)以上(a)、(b)、(c)都不对15.设A为机X阶矩阵，秩（八）=厂秋(B)(b)秩（八）=秩(B)(c)秩（八）秩(B)(d)秩（八）与秩(B)的关系依。而定17. A
11、,8为n阶非零矩阵，SLAB=Of则秩（八）和秩(5)()。(a)有一个等于零(b)都为n(c)都小于n(d)一个小于n,一个等于n18. n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。(a)r()=r8. 设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X,均有AXO,则4的秩为9. 若A=(%)为15阶矩阵，则ArA的第4行第8列的元素是10. 若方阵A与4/相似，则A=rJ_2K、11. Iim2：Kjl=Kf811/-12212. IimO-1=nr3三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).1)，21k123、-1021X=22、321。-2*92)仅10100001ZX,210、11213
12、-10J21.101、4)AX=A2+X其中A=020U0L423、5)AX=A+2X,其中A=11O123)2.设A为阶对称阵,且A?=。，求A.0、3.已知A1,求(A+21)(A2-4k-L4.设 A =01 ,4 =,3 4、3 3,0 0、0 0,A4 =T0426.设 A= 11 1)三、1.1）、JlO-13J6O-2O1-221-2-4-563-314、741AO2J5)、-8-9122.0；3.O-1O3-311-1O4.(OO-21OO1-21OO、1-2i;5.-1-11OO不唯一；6.10、O1)、-112)、-2-3、12)8.3-12O-10、O；9.3,00+2(
13、2,00-l)2(2,00+3100)-42(3,00-l)2-2,00-3,004-2,-2(3,o)2(l-3,)3,00-l、2(3l0-1)2(3,00)-l第三章向量一、单项选择题1 .%。2。3，四,四都是四维列向量，且四阶行列式aa2%i=mial2a3%|=，则行列式向a2%+A=()(a)m+n(b)m-n(c)-m+n(d)-m-n2 .设A为阶方阵，且网=0,则()0()A中两行(列)对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合(C)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合3 .设A为阶方阵，r（八）=rnf则在A的个行向量中()。()必有r行向
14、量线性无关(b)任意心行向量线性无关(C)任意心行向量都构成极大线性无关组(d)任意一个行向量都能被其它厂个行向量线性表示4 .阶方阵A可逆的充分必要条件是()(a)r（八）=rSI，b?),下列正确的是()若a,能性相关，则也线性相关；S)若a,线性无关，则4,4也线性无关；(C)若%,/?线性相关，则。,夕也线性相关；3)以上都不对二、填空题1 .若=(l,1,l)r,a2=(1,2,3)a3=(1,3,线性相关，则匚2 .；箍常向量一定线性关。3 .向量线性无关的充要条件是。4 .若%,%，%线性相关，则%,%，,&($3)线性关。5 .n维单位向量组一定线性。6 .设向量组外,。2,巴
15、的秩为r,则a1,2,as中任意r个的向量都是它的极大线性无关组。7 .设向量%=。，O,I)Z与%=(L1，4)7正交，则4=。8 .正交向量组一定线性。9 .若向量组,%，Qs与,z,力等价，则%,%，4的秩与片,夕2,的秩。10 .若向量组,%，,凡可由向量组夕|,人,以线性表示，则,4)厂(61，夕2,BJo11 .向量组1,0,)r,a2=(a2,1,L)r,%=(%，LLIY的线性关系是。12 .设n阶方阵A=&,%，,J%=%+%，则IH=13 .设4=(O,y,一专)7a2=(x,O,0),若和夕是标准正交向量,则X和y的值14 .两向量线性相关的充要条件是.三、计算题1.设=
16、(1+Z1,l),2=(1,1+2,l),4=(1,1,l2)r,=(0,/)、问(1) /1为何值时，夕能由a”%，出唯一地线性表示？(2) /1为何值时，夕能由a”%，4线性表示，但表达式不唯一？(3) 4为何值时,不能由%,%，。3线性表示?2.设4=(1,0,2,3)r,a2=。,L3,5),4=(LL。+2,l),a4=(1,2,4,a+8)r,=Q,1,力+3,5尸问：(D出人为何值时，不能表示为。1,%，二3，。4的线性组合？(2)4力为何值时，/?能唯一地表示为a1,a2,a3,4的线性组合？3 .求向量组a=(l,-1,0,4)/，%=(2,1,5,6)r,a3=(1,2,5
17、,2)7,a4=(1,-1,一2,0)r,a5=(3,0,7,14)丁的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。4 .设=(L1,l)r,%=(1,2,3)7,a3=(1,3,小，t为何值时名,4,。3线性相关，t为何值时名,。2,。3线性无关？.将向量组a=(l,2,0)rfa2=(-l1O,2),%=(0,L2)7标准正交化。四、证明题1 .设用1=%+%,62=3%-%,=2=。2,试证1，尸2,23线性相关。2 .设电,。2,“线性无关，证明%+%，,在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。3 .设4,a2,尸线性相关，而a”%，线性无关，证明夕能由a”%，线性表示
18、且表示式唯一。4 .设线性相关，%，。3，。4线性无关，求证不能由线性表示。5 .证明：向量组4,。2,4(s2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。6 .设向量组,。2,巴中a0,并且每一个片都不能由前1个向量线性表示(i=2,3,s),求证即。2,，巴线性无关。7 .证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。8 .设a。,4,%，(是线性无关向量组，证明向量组cr0,a0+a1,a0+a2,a0+a、也线性无关。第三章向量参考答案一、单项选择1 .b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b10.cll.c12.d13.a14.b15.a二
19、、填空题1.52.相关3.a04.相关5.无关6.线性无关7.-18.无关9.相等10.11.线性无关12.013.x=,y=-14.对应分量成比例三、解答题1.解:设-=X%+工2。2+“3。3(1+)xl+X2+X3=0则对应方程组为芭+(1+4)+工3=2X+工2+。+1+11其系数行列式IAl=11+21=22(2+3)111+(1)当40,4-3时，0,方程组有唯一解，所以夕可由唯一地线性表示；(2)当4 = 0时，方程组的增广阵A= 1J1 1 0、0 0 00 0 0；r（八）=r（八）=112al4-a24P1 10(1)(2)当a=1且60,不能表示为生,%，%，%的线性组合
20、;当1,。任意时，夕能唯一地表示为%,%，%，%的线性组合。3廨:(%，Ol2,)r 1-1O 4215612521-1-2O3、O714,rIOO0O1OO-11OO2、1-10;a”%，%为一个极大无关组，且=-/+%+（）%，%=2。+%-。44 .解：a1,a2,of3=123=t-5,13t当f=5时%线性相关，当，w5时a”%，火线性无关。5 .解：先正交化：令A=%=（l,2,0厂y = a%, ., -四,夕262, PlA= 1 A 12 13 6 6再单位化:力喻=(A)%,%,九为标准正交向量组。四、证明题1.证：V3(/7,+A)-W1-A)=.-5p+3旦+4=0回,
21、62，夕3线性相关2.证:1(a1+a2)+k2(a2+a3)+kn(an+a1)=0则/1+kn)%+(A1+k2)a2+(MJT+kn)an=0Va1,a2,a”线性无关占+3=。.k+k2=0QkrI=a1OO-O1IlO-OO011002,为奇数其系数行列式=l+(-l)w+,=为偶数OOO-I000011，当n为奇数时，匕,攵2,女“只能为零，a”%，,a线性无关;当n为偶数时，,此可以不全为零，a”。?,a线性相关。3 .证：,%,%，,4上线性相关存在不全为零的数匕,&，使得klai+k2a2+ksas+k=O若2=0,则-%+&2%+=。，(匕也,也不全为零)与囚,见，线性无关
22、矛盾所以AWo于是尸=一%一%-*4；夕能由4,%，,4线性表示。设=/%+k2a2+ksas7=1a1+l2a2+lsas则-得(1-1)a,+(2-2)2+(ks-ls)as=0Va1,a2,见线性无关:.T=0,(/=1,2,s)ki=r,(z=1,2,5)即表示法唯一4 .证：假设%能由%，%，%线性表示,%，。3，4线性无关，；%，出线性无关：线性相关，二?可由%，4线性表示，%能由%，%线性表示，从而。2，。3，。4线性相关，矛盾.,.%不能由线性表示。5 .证：必要性设向量组,见，,4线性相关则存在不全为零的数匕,攵2,人,使得ZIaI+k2a2+ksai=O不妨设儿0,则,=-
23、与%-一步.,ksksks即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组,见，,心中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设as=klai+k2a2+贝ILal+k2a2+as=0,所以%,%，-,%线性相关。6 .证：用数学归纳法当S=I时,%0,线性无关，当s=2时，%不能由线性表示，I.a1,a2线性无关，设s=il时,a1,2,一线性无关则s=i时,假设即。2,线性相关，y,线性无关，见可由,%，,%线性表示，矛盾，所以,线性无关。得证7 .证：若向量组生,%，,4中有一部分组线性相关，不妨设%,%，,%(Ks)线性相关，则存在不全为零的数匕,勺,使得klai+k2a2+krar
24、=O于是匕%+k2a2+krar+()af+1+Oax=O因为匕,女2,次八0，一，O不全为零所以,%,线性相关。8 .证：设ZOaO+1(a0+1)+2(a0+2)+0+aj=O则(欠0+&+k2H1-ks)aQ+kCt+k2a24FZSas=O因a。,%,4线性无关,kq+2+&+,卜=Okl=O所以k?=O解得即=k=k?=R=GAS=O所以向量组4,0+,a0+a2,0+见线性无关。第四章线性方程组一、单项选择题1 .设元齐次线性方程组AX=O的系数矩阵的秩为，则AX=O有非零解的充分必要条件是()（八）r=n(B)rn2 .设A是mX矩阵，则线性方程组AX=力有无穷解的充要条件是()
25、（八）r（八）m(B)r（八）n(C)r(Ab)=r（八）m(D)r(Ab)=r（八）n3 .设A是ZX矩阵，非齐次线性方程组AX=8的导出组为AX=0,若m则()(A) AX=人必有无穷多解(B)AX=必有唯一解(C) AX=O必有非零解(D)AX=O必有唯一解x1+2x2-X3=44方程组yXj=(3)(4)+(A2)（八）1(B)2(C)3(D)47 .已知片,夕2是非齐次线性方程组科=力的两个不同的解，%的是导出组AX=O的基本解系，丁网为任意常数，则AX=的通解是()(A) klal + k2(al +a2) +B 一62(C) kial + k2 x + 2) +2-2(B)(D)
26、klal +k2(ai -a2) +kxa-rk2(x-2) + A2 +6228 .设A为机X矩阵，则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)9.设A为若AX=O仅有零解, 若AX=O有非零解， 若AX=b有无穷多解 若AX =b有无穷多解则AX=人有唯一解则AX =力有无穷多解 ，则AX=O仅有零解 ，则AX=O有非零解zx矩阵，齐次线性方程组AX=O仅有零解的充要条件为()(A) A的列向量线性无关(C) A的行向量线性无关X1 + X2 + = 110.线性方程组 x1+2x2+33=04x1 +lx2 10x3 = 1(B)(D)A的列向量线性相关A的行向量线性相关(A)无解 (B)
