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1、精锐教化学科老师辅导讲义讲义编号:学员编号：学员姓名：年级：辅导科目：数学课时数：3学科老师：课题T空间平面与平面的位置关系C各种位置关系解题思路T综合应用求解讲义星级授课时间教学内容一、学问导入平面与平面之间的位置关系有两种：,1 .两个平面平行:2 .两个平面相交:CCHa/3=1平面、平面平行的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。,bu,Crb=Pyalla,bllalla判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”平面与平面平行
2、的性质假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。a/,afy=a,y=b=a/b平面、平面垂直的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。u7M-La=/J-La判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。aL,af=l,au,a1.1=aLa解决问题时，常添加的协助线是在一个平面内作两平面交线的垂线二面角：从条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线
3、叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的取值范围：oeEF、CG、BC、CD的中点，求证:例2、已知：如图，a/f异面直线AB、CD和平面a、B分别交于A、B、CD四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：E、F、G、H共面；面EFGH平面a.证明YE、H分别是AB、DA的中点，EHLbd.同理FGIBD.FGEH.四边形EFGH是平行四边形，即E、一2一2F、H、G共面.(2)平面ABD和平面a有一个公共点A,设两平面交于过点A的直线AD,aB,，ADBD.又：BDEH,EHBDAD，.EH平面a,EH平面B,同理FG平面a,FG平面B.，平面EFHG平面a平
4、面B.例3、如图，已知空间四边形ABCO中，BC=ACyAD=BD,E是A3的中点。A求证：(1)ABj_平面CDE;(2)平面CoE_L平面ABC。AZi=万匕JAt,=又.CECDE=E.ab，平面CDE(2)由(1)有A5_L平面CQE又.AB平面ABCt.平面cde平面abc例4、如图，在正方体ABCo-AgGDl中，E是AA的中点(1)求证：AC平面BDE。(2)求证：Ae_L平面BCQ(3)求证：平面BOE_L平面5CD证明：连接AC交8。于。，连接EO,E为AA的中点，0为AC的中点IZBC=ACAD=BD证明：(1)卜=CE_LA8,同理，DEVABJEO为三角形AAC的中位线
5、EO/A1C又EO在平面BDE内，AC在平面BDE外,A1C/平面BDE。变式训练：己知A3C中NACB=90,54_1面48。,4)_15。,求证：证明：ZACB=90.BCLAC又SA_1面48。.5ABC.BC_L面SAC.BClADy5C1ADiSCoBC=C,人力上面S3C思索：此四面体共有几组面垂直BCADj_面SBC.S工avb三、课堂练习1.设直线l,m,平面,B,下列条件能得出B的有(D)IU,mua,且1B,m；IUa,mua,且lm；1a,m,且mAl个B2个C3个Do个2 .下列命题中为真命题的是（B）rA平行于同一条直线的两个平面平行B垂直于同一条直线的两个平面平行C
6、若一个平面内至少有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.D若三条直线a、b、C两两平行，则过直线。的平面中，有且只有一个平面与力，。都平行.3 .下列命题中正确的是（B）平行于同始终线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；垂直于同始终线的两个平面平行；与同始终线成等角的两个平面平行ArBCD4 .下列命题中正确的是2（填序号）；一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个.平面，那么这两个平面平行；平行于同始终线的两个平面肯定相互平行；假如一个平面内的多数多条宜线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；5 .若夹在
7、两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是:相交或平行6 .如图，直线AA,BB,CC相交于。，AO=AO,BO=BO,CO=CO.求证：A8C/平面AbC.7 .如图：B为AACD所在平面外一点，M、N、G分别为AABC、ABD7BCD的重心,（1）求证：平面MNG平面ACD；（2）求S&VNGADC（2）分析：因为aMNG所在的平面与aACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。AMGBG72II解：由（1）可知=,JMG=-PH又PH=-AD,；MG=-AD,PHBH3323同理：NG=-AC,MN=-CD,33/.mng-acD,
8、其相像比为1：3,SmngiSadc=1:98 .如图，正四棱锥S-ABCD的底面边长为a,侧棱长为2a,点P、Q分别在BD和SC上，并且BP：PD=I：2,PQ平面SAD,求线段PQ的长.S作PMAD交CD于M连QU,丁PM平面SAD,PQ平面SAD.平面PQM平面SAD,而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM,SD.QMSD.BPTBC=a, SD=2a. PD1.MPPD2S2MQMCBP一.-,MP=-a,=2BCBD33SDCDBD11251MQ=-SD=a,又NPMQ=ZADS.cosZPMQ=cosZADS=332a4在PMQ中由余弦定理得Pa*=(2a)(2a)2a,a,=a
9、2.,.PQ=a.33334939 .下面四个说法：假如一条直线垂直于一个平面内的多数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；过空间肯定点有且只有一条直线和已知平面垂直；垂直同一平面的两条直线相互平行；经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（C）.A.lB.2C.3D.410 .已知两个平面垂直，给出下列一些说法：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的随意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的多数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内随意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的说法的序号依次是11 .E是正方形48Co的A
10、B边中点，将aADE与aBCE沿。七、CE向上折起，使得A、B重合为点P,那么二面角D-PE-C的大小为.6012 .如图,在正方体A5CDAlSIClDl中.求证：（1）平面囱DBJ_平面4G&（2）求二面角-4G8的正弦值.13 .在斜三棱柱AIBlG-ABe中，底面是等腰三角形，AB=ACf侧面BBCC_L面ABC,M是AAl上一点。（1）若。是BC的中点，求证：ADCC;（2）假如截面MBGJ_平面B8GC,那么AM=M4吗？请你叙述推断理由解：(1)证明：AB=AC,。是3C的中点，：,ADVBC.：底面A8C_L平面BBCC,AO_L侧面BBICCADCC1.(2)过M作MEj_B
11、G于E,截面MBG_L侧面BBclc,MEJJ则面BGC,又.4Q，侧面BBiGC.MEADf：M、E、D、A共面.TAM侧面GG.MDE.VCCAD,C.DECC.VD是BC的中点，/.E是BG的中点.AM=DE=CCl=4,：.AM=MAi.14、己知四边形ABC。是空间四边形，旦EGH分别是边A3,BCcD,OA的中点(1) 求证：EFGH是平行四边形(2) 若BD=2gAC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。证明：在AABD中，.比”分别是4民40的中点七”8。,二，8。2同理，FG/BD,FG=-BD：.EHHFG,EH=FG2BnaB,正确;0B=mB
12、,正确.maa8.已知平面a平面B,C、Aa,BDB,AB_LCD,且AB=2,直线AB与平面a所成的角为30,则线段CD长的取值范围为（）2A.1,+8）B.（l,-33C.（-3,-3）D.-3,+o）333答案:D解析:如图，过D作DAAB交平面a于A,由aB,故DA=AB=2.DA,与a成30角，由已知DC_LAB；HJ得DC_LDA,所以DC在过DC且与DA垂直的平面丫内.令Ya=1,在丫内DCo_Ll时最短，此时DCo=DAtan30o=-3,3故cdn2J.39 .已知平面a平面,其间夹一垂线段AB=4,另一斜线段CD=6,且AOBD=3.E、F分别是AB、CD的中点，则EF的长
13、为（）A.lB.2C.2答案:C解析:如图，过F作AB的平行线，交a、B于P、Q两点，则四边形ABQP为矩形.VE.F分别为AB、CD的中点，故EF_LPQ.由RtEACRtEBD=EC=ED,=!则4APC为直角三角形.故EFLCD=EF上平面C产Z)QI=EFCPCP_L平面C产Z)Qy,EF/AP在RtCPF中，CP2=CF2-PF2=5=CP=5.在RtCPA中，AP2=AC2-CP2=32-(.)2=4.AP=2.而AP=EF,EF=2.10 .一间民房的屋顶有如下图的三种盖法:单向倾斜;双向倾斜;四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为P,P2,P3.B.P=P2P3若屋顶斜面与水平面
14、所成的角都是a,则（）A.PP2P3C.Pq-。平面N,Ciu M-=平面N与平面M不肯定平行,13.如图，已知平面平面,线段AB、CD夹在a、B之间，AB=13,CD=55,且它们在B内的射影之差为2,则a和B之间的距离是./FJtj答案：5解析:设A、C在平面B上的射影为A、C,则a、B之间的距离AA=CC,=a,且BA、DC,分别为AB、CD在。内的射影.在RtZABA中，AB=13,则BA=yJAB2-AA2=y32-a2.在RtZXCDC中，CD=55,则CD=Vcd2-CC2=125-a2.又TCD与AB相差为2,即AB-CD=2,132-a2-125-6f2=2.a=5.平面a、
15、B的距离为5.14.设P表示点,m,n,l表示两两不重合的三条直线,以a,表示两个不重合的平面,那么下列四个命题:m_La,若na,则mn;mua,11a=PJ是n在a内的射影.若m_Ll,则m_Ln;m_La,若na,la,则mn,ml;ma,若m,则aB中逆命题能成立的序号是.答案:解析:命题的逆命题是:m_La,若m_Ln,m_Ll,则n/a,1/a,错误的缘由在于满意条件的直线n和1可能在平面a内,故能成立.三、解答题15、正方体ABC。一AlBeIQl中.(1)求证：平面ABD平面85G若从产分别是AA,CG的中点，求证：平面E8Q平面广BD16、四面体ABCQ中，AC=Bo,瓦厂分
16、别为AO,BC的中点，且E/=也AC,2ZBDC=90，求证：3。_L平面ACQ17、如图P是AABC所在平面外一点，PA=PB,CB工平面PAB,M.是Pe的中点，N是4B上的点，AN=3NB(1)求证：MNIAB；(2)当ZAP3 = 90 ， A3 = 23C = 4.时,求MN的长。18、如图，在正方体ABCO-AMGR中, 求证：平面OEb 平面8OG.E、F、G分别是A8、AD. ClA的中点.19、如图，在正方体A8CO A4GR中,(1)求证：AIC平面BDE ；(2)求证：平面AAC _L平面3DE.E1是AA的中点.B20、已知48C。是矩形，EAJ 平面ABCO, AB
17、= 2, PA = AD = 4, E为BC的中点.(1)求证：DE_L平面R4E；(2)求直线DP与平面RIE所成的角.21、如图，在四棱锥P-ABC。中，底面是NzMB=60且边长为。的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD.(1)若G为AZ)的中点，求证：BGJ平面B4O；(2)求证：ADYPB;(3)求二面角4一3。一尸的大小.22、如图2,在三棱锥/一腼中，Bc=AaAD=BD,悍BELCD,K为垂足，悍AHLBE千H.求证：虫平面劣力.15证明：(】)由5山。1,得四边形IQ是平行四边形，%。18,又8。.平面BiQiC,办QlU平面BidC,；8。平面5dC
18、.同理4。平面办功。.而AIDnBQ=D,平面48。平面BCD.由得即平面班取BBi中点G,：.AE/BG.从而得BIEzMG,同理G产A。.AGDF.：.BE/DF.，。尸平面上丛。】.,平面EBQi平面产50.16.证明：取Co的中点G,连结EGFG,TE,尸分别为A。,BC的中点，.Eg4LaC2FGU-BD1又AC=3。,.尸G=LAC,在EFG中，EG2+FG2=-AC2=EF2222EGFG,：.BD,LAC,又NBOC=90,即BDLCD,ACnCD=C3。_L平面ACo17证明：(1)取PA的中点0,连结M2,NQ,M是尸3的中点，：,MQHBC,YC8，平面BAB,：MQJ_
19、平面QABQN是MN在平面Q43内的射影，取AB的中点。，连结PD,：PA=PB,：.PDlAB,又AN=3NB,BN=ND：QNlIPD,：.QN工AB,由三垂线定理得MV_LAB(2)VZAPB=90,PA=PB,：.PD=；AB=2,：.QN=,TMQ_L平面8.二M。_LNQ,且MQ=BC=t：,MN=近18、证明：、尸分别是A3、AO的中点，.斯8。又瓦2平面8OG,U平面BOG.E/平面8。GYRG幺EB.四边形AGBE为平行四边形，DE/GB又。Ea平面3G,G6u平面30G.RE平面3。GFFCDF=F9平面。EF平面3。G19、证明：(1)设ACCBr)=.;E、。分别是44
20、、AC的中点，.4。七。又ACa平面BDE,EOU平面BDE,A1C/平面BDE(2)4Aj平面ABC。，BDU平面ABCD,AALBD又3)_LAC,ACCA=A,.3O_L平面AAC,3Ou平面30E,平面3E_L平面AIAC20.证明：在AAD石中，AD2=E2+DE2,/.AELDERA，平面ABCO,OEU平面ABeo,.P4J_。后又RACAE=A,.Ej_平面PAf(2)NoPE为。P与平面R4E所成的角在RMAD,尸f=4,在放ADCE中，DE=22在RtADEP中，PD=2DE,NDPE=3021 .证明：(1)AB。为等边三角形且G为Ae)的中点，.8GJ.AD又平面PAD
21、1平面ABCD,.BGJ平面PAD(2) PAD是等边三角形且G为Ao的中点，.AD_LPG且A)_LBG,PGC3G=G,.ad_L平面P8G,尸8=平面286,.4)，夕3(3)由AZ)_LP3,ADBC,：.BCtPB又BG_LAO,ADBC,：.BGlBC：.NpBG为二面角ABCP的平面角在RfAPBG中,PG=BG,PBG=汗22 .证明：取力8的中点尸，连结用DF.-AC=BC,：,CFYAB.-AD=BD,：.DFlAB.又CFDF=Ft.*.AB平面CDF.丁CDu平面的；，CDj_AB.又CD上BE,BEcAB=B,：CD_L平面ABE,CD_LAH.VAHLCD,AHI,BE,CDCBE=E,：.AHj_平面BCD
