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1、8.5空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行例lxx85-3,空间四边形ABCD中，E,F,G,分别是边AB，BC,CD,DA的中点.求证：四边形E尸G是平行四边形.分析：要证明四边形)GH是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而EH,FG分别是aABQ和CBD的中位线，从而它们都与3。平行且等于3。的一半.应用基本事实4,即可证明E=FG.证明：连接3。YE”是ZXABO的中位线，EH/BDf且EhbD.2同理FG%),且/G=L30.2EHLFG四边形EFGH为平行四边形.练习1 .如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？【答案】互相平行，理由
2、见解析【解析】【分析】根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，即可得到结论.【详解】互相平行，因为根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，所有的折痕都与矩形的边平行，故打开后所有折痕是互相平行.【点睛】本题考查了图形的变化，解题的关键是：根据对折把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是矩形，属于基础题.2 .如图，在长方体ABCD9C。中，与棱A4平行的棱共有几条？分别是什么？【答案】共3条，分别是B3,CUdd.【解析】【分析】根据图形，A是长方体的高的棱，找出其它的表示高的棱即可.【详解】如图，与棱AA平行的棱有加,CC,DD,共3
3、条.【点睛】本题考查了对长方体的认识，明确表示长的棱，表示宽的棱，表示高的棱是解题的关键，属于基础题.3 .如图，H阪CC不共面，且AABBUCC,求证：ABC=ABC.【答案】证明见解析【解析】【分析】由已知条件推导出四边形ABQA是平行四边形，四边形ACCW为平行四边形，由此能证明ABC=AEC【详解】TA，四边形W4是平行四边形，.AB=AB-同理BC=8C.,AA/BBBB/CC.AAHCC.,:AA=BB,BB=CC.：.AA=CC.四边形ACaA是平行四边形，.AC=AC，.ABC二AfB,Cf.【点睛】本题考查三角形全等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题
4、.4 .如图，在四面体A-BCD中，E,F,G分别为ABAC,AO上的点.若EF/BC,FG/CD,则CEFG和458有什么关系？为什么？【答案 EFGs BCD,证明见解析【解析】【分析】利用线线平行，再利用等角定理即可得到EPGs8.【详解】，EFGs证明如下：EFHBCfAEABAF EF ACBCFG/CD,AF AG FGAC-AD-CDAE AGABAD.EGBD.由等角定理可得/EFG=ZBCD,NFGE=CDB,ZGEF=ZDBC,EFGsBCD.【点睛】本题考查线线平行，平行线分线段成比例，属于基础题.8.5.2直线与平面平行例2求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另
5、外两边的平面.已知：如图8.5-7,空间四边形ABC。中，&F分别是AB，A。的中点.人求证：族平面BCZ证明：连接80.VAE=EB,AF=FD,EF/BD.又EFa平面BCD,BDU平面BCD,；EF平面BCD例3如图8.5-10(1)所示的一块木料中，棱BC平行于面Ae.(I)要经过面AC内的一点尸和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？分析：要经过面Ae内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质解：(1)如图8.5-10(2),在平面AC内，过点
6、尸作直线石尸，使EFBC,并分别交棱AB,DC于点E,Ff连接应：，CF,则石尸，BE,CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于平面AC平面BC与平面Ae相交于3C,所以BCBC.由(1)知，EFIiec,所以F3C.而BC在平面AC内，M在平面AC外，所以/平面AC.显然，BE,C/都与平面AC相交.练习5.如图，在长方体ABCO-A9CD的六个面所在的平面中，(I)与AB平行的平面是；(2)与AA平行的平面是(3)与Ao平行的平面是.【答案】.平面A!B,c,y,平面DCCiy.平面bcc,b,，平面DCCiy.平面A,B,C,iy,平面BCCrB1【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定
7、定理填写出正确结论.(2)根据线面平行的判定定理填写出正确结论.(3)根据线面平行的判定定理填写出正确结论.【详解】(1)由于A8,AB洋平面ARCIABu平面44CD,所以AB平面AACo.同理证得AB/平面DCCD.(2)由于AA7/33,AAU平面BCC8,BBU平面BerC历，所以A4/平面3CC3.同理证得AA/平面DCCD.(3)由于ADAZ,ADU平面APeD,ADu平面ABCD,所以A。平面AACT).同理证得AO/平面BCCB.故答案为：(1).平面A3CD,平面OCCT7；(2).平面BCC*，平面OCg;(3).平面AQCD,平面5CC4.【点睛】本小题主要考查线面平行的
8、判定定理，属于基础题.6 .如图，在正方体ABC。-AgGA中，E为OA的中点，判断BA与平面AEC的位置关系，并说明理由.【答案】BA平面AC.见解析【解析】【分析】通过三角形的中位线以及线面平行的判定定理，证得84/平面向C.【详解】平面AEC理由如下：如图，在正方体A8C。一AqG2中，连接3。交AC于点F,则尸为6。中点.连接石厂，又；E为DR的中点，.EF是ABDR的中位线，.EFBR.8D仁平面AEC,MU平面AEC,.BDJ平面AEC.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7 .判断下列命题是否正确，正确的在括号内画7”，错误的画“x”
9、.(1)如果直线4。，那么。平行于经过b的任何平面.()(2)如果直线。与平面。满足。，那么。与。内的任何直线平行.()(3)如果直线ab和平面。满足aa,b!Ia,那么A.()(4)如果直线0b和平面。满足3,a/a,baa,那么b.()【答案】.x.xx.【解析】【分析】(1)根据“。在以确定的平面内”，由此判断(1)错误.(2)根据与。内直线可能异面，判断(2)错误.(3)根据可能平行、相交或异面，判断(3)错误.(4)根据线面平行的性质定理和判定定理，以及平行公理，证得Z,由此判断(4)正确.【详解】(1)。不平行于同时过b这两条直线的平面.(2)。与内的直线有平行和异面两种位置关系.
10、(3)。与b可能出现三种位置关系：平行、相交、异面.(4)已知,a/b,baa,过作平面夕交。于直线c,则c,所以b/Ic,所以Z.故答案为：(1)X(2)X(3)(4)【点睛】本小题主要考查线线、线面平行的有关命题真假性的判断，属于基础题.8 .如图，ac=a,bua,cu。，b!Ic,求证qZc.【答案】见解析【解析】【分析】首先根据线面平行的判定定理,证得6夕；再根据线面平行的性质定理证得b,由平行公理证得c,从而证得a/。/。.【详解】6ua,ac=a,s.b/平面EFG.(2)E.F分别是A3,BC的中点，.E尸，C,ACa在平面EFG,EFU平面MG,.AC/平面EFG【点睛】证明
11、线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19 .如图，a,Z?是异面直线，画出平面。，使u,且Z,并说明理由.【答案】见解析【解析】【分析】在直线。上取一点0,过点。作5/。，则由与5确定的平面。即为所求，利用线面平行的判定定理可证明结论.【详解】在直线。上取一点0,过点。作6/,则由。与/确定的平面仪即为所求.理由：如答图，ClUa,bua,bHbabaa,所
12、以。/0.【点睛】本题主要考查作图能力，考查了线面平行的判定定理，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.20 .如图，ac=CD,acy=EFcy=AB,ABIa,求证CD/F.【答案】证明见解析【解析】【分析】直接利用线面平行的性质定理证明AB8,AB/EFf再利用平行公理可得结论.【详解】证明：.cy=AB,.ABu.ABHa,pca=CD,.ABUCD.同理AB所，于是CDEE【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理以及平行公理的应用，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于中档题.21 .如图，直线村归工CC相交于点O,AO=AOiBO=BOiCO=CO,求证：平面ABC/平
13、面A8C.C【答案】证明见解析【解析】【分析】利用全等三角形的性质以及平行线的判定定理可得ACAC从而由线面平行的判定定理可得AC/平面ABC,同理可证AB/平面A3。，进而由面面平行的判定定理可得结论.【详解】AA与CC相于点0,.NAOC=ZAOC.又AO=Ao,C0=C0,.0AC0AC.:.ZCAO=NCAo,.AC/AC.又ACa平面ApC,ACu平面4*c.Ae7/平面A8C.同理可证AR/平面ABC.又ABi平面ABC,AeU平面ABGABoAC=Af平面ABCV/平面43C.【点睛】本题主要考查线面平行的判断、面面平行的判断，解答过程中一定要注意线面平行的判定定理与面面平行的判
14、定定理的应用条件，本题属于中档题.综合运用22.如图，瓦？分别为长方体ABC。ASCD的棱AO,AD的中点，求证ZBEC=ZBECf.【答案】证明见解析【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质可证明8E8Z,CE/CZ,结合N3EC=NBEC方向相同，从而可得结论.【详解】证明：连接EE出分别是AnAD的中点,.EEHAA.又在长方体ABCo-4Ac。中，AAHBBHCC.EE11BB,EEHCd.四边形BEEB与CEE。都是平行四边形.BE/IBEyCEIICE.又因为ZBEC=ZBEC方向相同，./BEC=/REC.【点睛】本题主要考查长方体的结构特征，考查了等角定理的应用，同时考查了空间
15、想象能力，属于基础题.23.如图A8dAC3O,Ca,O,求证AC=80.【答案】证明见解析【解析】【分析】连接8,则平面ABOCCa=8,由线面平行的性质定理可得AB/CD,从而得四边形ABDC是平行四边形，进而可得结果.【详解】如图，连接CD.AC8D,.A,3,C,O共面,.C面A8OC,De5FfflABDC,Cf)U平面ABQcCea,Dea,:.CDUa,平面ABOCca=OXABHaQABUCD,四边形ABDC是平行四边形.AC=BD【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.应用线面平行的性质定理时，一定要注意线面平行与线线平行的转换.24 .如果平面外的两条平行
16、直线中的一条直线平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面.【答案】详见解析【解析】【分析】根据题意，利用线面平行的性质，得到线线平行，再利用线面平行的判定，可得线面平行.【详解】过两条平行直线中的一条直线作平面夕，与平面。交于直线c.a!Ia:.a/c.a!Ib:.b/c.,b又P,N分别为AE,Co的中点,所以PNDE,PNaa,DEUa,所以PNa.又M,P分别为A8,AE的中点,所以MPBE,且MPU,BEUa所以MPa,因为MPCPN=P,所以平面MPNa.又MNU平面MPN,所以MN平面.35 .在正方体ABCDABCD中，如图.(1)求证：平面ABD平面CiBD;(2)试找出
17、体对角线AC与平面ABDl和平面CBD的交点E,F,并证明：A1E=EF=FC.【答案】略【解析】【详解】证明：(1)因为在正方体ABCD-ABCD中，ADZBCi,所以四边形ABiCiD是平行四边形,所以AB1CD.又因为ClDU平面CiBD,ABla平面CiBD,所以ABl平面CiBD.同理，BQ平面GBD.又因为AB11BD=B,ABlU平面ABD,BiDiu平面ABiDi,所以平面ABlDl平面CiBD.(2)如图，设AIcl与BQl交于点Oi,连接AOi,与Ac交于点E.因为Ae)IU平面ABiDi,所以点E也在平面ABlDl内，所以点E就是AiC与平面ABiDi的交点.连接AC交BD于O,连接CQ与AIC交于点F,则点F就是AC与平面ClBD的交点.下面证明AIE=EF=Fe因为平面AiGCAD平面ABlDl=EO1,平面AlClCAn平面CIBD=CF,平面ABlDl平面C】BD,所以EoiCiF.在AACF中，Oi是AlG的中点，所以E是AF的中点，即AIE=EF.同理，CF=FE,所以AlE=EF=FC.考点：面面平行的判定及性质.
