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1、专题1-2空间向量与立体几何2。类解答题专练型.螂瓢知识点梳理模块一平行证明（拆分练习）【题型1】由中位线得出平行关系【题型2】构造平行四边形得到平行关系【题型3】由面面平行得出线面平行【题型4】构造2个平面的交线模块二垂直证明（拆分练习）【题型5证明线面垂直【题型6】证明异面直线垂直【题型7】证明面面垂直【题型8】平行垂直的向量证明方法模块三点与面【题型9】证明四点共面【题型10求点到平面的距离模块四空间中的角【题型11】异面直线夹角【题型12线面角【题型13求二面角（重点）【题型14求面面角（重要）【题型15】已知线面角或二面角，求其它量（重要）【题型16】与角有关的最值与范围问题（难点）
2、模块五探究类问题【题型17验证满足平行条件的点是否存在【题型18】验证满足垂直条件的点是否存在【题型19】验证满足角度条件的点是否存在【题型20已知点到平面距离，求参数知识点梳理一、平行证明：中位线法，平行四边形法，构造平行平面法证明四点共面一般转化为证明平行二、垂直证明证明直线与直线垂直：1、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。这是证明直线与直线垂直最常用的方法。2、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。3、三垂线定理及其逆定理。4、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长是一组勾股数，则这个三角形是一个直角三角形。5、等腰三角形三线
3、合一：等腰三角形底边上的中线、顶角角平分线和底边上的高是同一条线段。6、菱形对角线互相垂直。7、矩形的相邻两边垂直。8、全等或相似三角形中的垂直证明直线与平面垂直：1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。3、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。4、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面。证明平面与平面垂直：1、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的两个面所在
4、的平面互相垂直。3、直棱柱的底面垂直于侧面。三、点到平面的距离(1)法一：等体积法(2)法二：法向量：如图，已知平面。的法向量为4是平面。内的定点，尸是平面外一点.过点尸作平面的垂线/,交平面于点。，则是直线/的方向向量，且点尸到平面。的距离就是在直线/上的投影向量炉的长度.P0=I/1=|二Wl二竺型四、异面直线所成角已知。，b为两异面直线，A,C与3,O分别是。，b上的任意两点，a,6所成的角为。，则ACBD而丽IcosCAe,BD=竺丝CoSe=Icos=l.ACBDCBD五、线面角,公式：Sme=CoS(ABJ)/范围：0,I2设直线/的方向向量为，平面。的法向量为直线与平面所成的角为
5、e,Z与的角为尹，则有六、面面角范围：o,I2公式：COSJ=cos(/?,w范围：（0,公式：ICOSq=COS(W,/H*y核心题画7模块一平行证明(拆分练习)母题：如图，P是四边形/88所在平面外的一点，ABCD,CD=cIAB,E是PC的中点.方法一：作相交平面找线(1)证明BE/平面PAD解析：模型铺垫：AB平面BABDE【简析】若BE平面PAD,则必有BE/PG,所以所以要证明BE平面PAD,只需证明BE/PG即可.(中位线)(2)若F是DC的中点，证明PA/平面BEFU【简析】若PA/平面BEF,则必有PA/EM,所以要证明PA/平面BEF,只需证明PA/EM即可.（中方法二：B
6、E平面PAD（正向平移法：构造平行四边形）【简析】将向平面RI。中平移，易知将线段BE沿BA平移，可得E点轨迹，取PD中点M,由平行四边形可得BEAM,故BE平面PAD.（3）方法三：BE平面PAD（反向平移法：构造面面平行）【简析】将尸。，4。平移，使之与BE共而，可得平面BEH,易知BHAD,EHPD,则平面EHB平面PAD,故BE平面PAD.【题型1由中位线得出平行关系1 .如图，尸。是三棱锥P48C的高，PA=PB,ABlACfE是PB的中点.证明：OE/平面P4C；【分析】连接30并延长交4C于点0,连接04、PD,根据三角形全等得到04=03,再根据直角三角形的性质得到40=00,
7、即可得到。为8。的中点从而得到。EP。，即可得证；【详解】（1）证明：连接8。并延长交4C于点O,连接。力、PD,因为Po是三棱锥P/18C的高，所以P0/平面力8C,40,BoU平面ABC,所以PO_L4O、POlBO,又PA=PB,软以bPOA=IhPoB,即04=08,所以NO45=NOA4,又N814C,即N84C=90,所以N8+NCUO=90。，ZOBA+ZODA=90f所以Zx）DA=40AD所以ZO=OO,AO=DO=OB,所以。为80的中点，又E为依的中点，所以。E/?0,又OEQ平面P4C,PDU平面P4C,所以OE平面P4CP【题型2】构造平行四边形得到平行关系2 .如图
8、，四楂台45a的下底面和上底面分别是边4和2的正方形，侧棱CG上点E满足1=P证明：直线43平面4AE【详解】(1)证明：延长AE和。C交于点M,连接MA史BC于点、N,连接AN,由*=,故旭=L,所以CM=4=48,所以MCN知ABN,CE2CM2所以BN=NC,所以N为8C中点，又AiDl/8C且4=BC,BxCxIIBN且B=BN,所以AQJ/BN且/IQ=BN,故四边形力乃M)I为平行四边形，所以48/RN,又Z)INU平面/RE,0平面4RE,所以4/平面4OE.(2)解：以C为原点，CD,CB,CG所在直线分别为X轴、V轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.【题型3】由面面平行得出
9、线面平行3 .如图，四边形力为为矩形，尸是四棱锥尸一工员3的顶点，/为密的中点，请问在以上是否存在点G使得金平面4%,并说明理出【答案】在24上存在中点G使得上平面尸,理由如下：取回、的中点7、H,连接会CH、CH：G、”是肉，勿的中点，勺4Z?中，可得GHHAD豆CH=又是叼的中点，且四边形力a3为矩形，2：.EC、W平行且相等，可得四边形土7是平行四边形：,EalCH,又.4e平面P,即平面7力,平面PCD.4 .如图,密且AP=2BGAPVCD、EalADREG=AD,CD/FG且CO=2FG,口社平面23C2DA=DC=DG,若为Cr的中点，为EG的中点，求证：/V/平面CZ).【答案
10、】证明：设，是勿的中点，连接“，MH,由于,是CC的中点，就以MHHcD,由于平面&E,CK笠面CDE,所以平面CDE.由于/V是&的中点，版VkNHllDE,由于由于/V*平面”F,DEUt面CDE,所以“平而8E.由十NHMH=H,所以平面MNHll笠弧8E,由千MNU斗的MNH、所以/W平面【答案】证明：连结PBl,交CE于点D,连结DF, EP, CBl,因为E, P分别为BIC1, CCl的中点，故EPgcBl且EP=；CBl,【题型4】构造2个平面的交线5 .如图，三棱柱中，E,P分别是4G和必的中点，点尸在棱44上,且与尸=24/，证明：4尸/平面分0PD1AF1故隹=；，又B1
11、F=2,A1B1=3,故工/=彳，DB2FBl2所以FDA1P,又FDU平面EFC,AIPa平面EFC,故AIP平面EFC;6 .如图，四棱锥P-z43CP的底面为正方形，且户YZL面am?.设平面必Z?与平面8纪的交线为/证明：/CB【证明】证明：因为ABCD为正方形,：,BCAD、又Y3平面PAD,4以一平面PAD.BCll南PAD又;的一平面PC8.平面AAE平面PCB=Lwe.模块二垂直证明（拆分练习）【题型5证明线面垂直7.如图，在四棱锥产一力3C0中，已知43/C0、ADtCD,AB=AD=,DC=DP=2,PDV5P11UABCD,求证：8C_L平面?80.【解答】证明：(1).
12、PD1)ABCD,又BCu面8CO,.BC1PD,取Co中点E,连接8E,BELCD,且BE=I,在RtAABD中，BD=近,在RtABCE中，BC=2,.BD2+BC2=(2)2+(2)2=22=CD2,/.BCLBD,:PDnBD=D,二BC工平面PBD.8 .如图，在四棱锥尸8C0中，PA=PD,AB/CD,CDLAD,CD=IAB,点E为PC的中点，且BEI平面PCO.求证：COl.平面E4。【解答】解：证明：取PD的中点尸，连接力尸，EF,则E尸/CO,EF=；CD.又ABHCD,AB=CD,所以E尸/Z8,EF=AB,则四边形4BEF为平行四边形，所以/尸/BE.又8E_L平面尸C
13、D,CDU平面PCD,所以BE工CD,所以力/J.CO.又CO_L4O,AFAD=A,AF,/OU平面R1。，所以CP_L平而P4O.【题型6证明异面直线垂直9 .已知直三棱柱48C-44G中，侧面为正方形，AB=BC=2fE,F分别为力。和CG的中点，。为棱4用上的点，BF1AxBx.证明：BFVDEx【解答】证明：连接4尸,.E,/分别为直三棱柱48C44G的棱力C和CG的中点，且/5,VBF1AiBi,ABHAlBxt:.BFAB:.AF=yAB2+BF2=y22+(5)2=3,AC=AF2-CF1=32-l2=22，:.AC2=AB2+BC2,即区4_LBC,ZiABC为等腰直角三角形
14、.取BC中点G,因为EGAB,所以BF-LEG,又TABFCgZkBlGB,故B1GLBF.BFL平面EGBlDTDEcz平面EGBlDBFDE10 .如图，在四棱锥尸-48CD中，底面48C。是平行四边形，Z1BC=120o,JB=I,BC=A,PA=诟，M,N分别为8C,PC的中点，PDlDC,PM1MD.证明：451.尸M；【解答】证明：在平行四边形力BCO中，由已知可得，CD=AB=,CM=-BC=2tNDCM=60,由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDCMcos60p=l+4-2l2-=3,则CZ+Z)2=1+3=4=C2,即Co_LOM,又PDLDC,PDyDM=D,.C
15、OJ.平面PQA/,而尸MU平面POA/,/.CD1PM,；CDIlAB,aABLPM.11 .如图，已知三棱柱力8C-4BG,平面力4GCL平面4?C,N48C=90。，/BAC=30。,44=4。=4C,E,产分别是4C,AxBx的中点.证明：EFlBC3【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）如图所示，连结4E,BE,等边C中，AE=EC,则4E_L4C,平面ABCJ平面/CG,且平面ABC平面力/CG=NC,由面面垂直的性质定理可得：4EL平面48C,故4E_LBC,由三棱柱的性质可知44/8,而ABJ.BC,故44L8C,且44114E=4,由线面垂直的判定定理可得：BCI平面
16、结合E产G平面44石，故EFJ.BC.【题型7】证明面面垂直12 .在四棱锥。-48C。中，底面48C。是正方形，若力。=2,QD=QA=6QC=3,求证:平面。4。_L平面力8CO【解答】证明：AQCD中，CD=AD=2,QD=BC=3,所以CD?+Q)?=二2,所以；又。_L4。，DD=D,4)U平面04。，0。U平面040,所以8J.平面04。；入CDU平面ABCD,所以平面Q1。，平面4BCD.13 .图1是由矩形力DEB,RtAABC和菱形6尸GC组成的一个平面图形，其中B=1,BE=BF=2,ZFBC=60.将其沿,BC折起使得与B尸重合，连结。G,如图2.证明：图2中的4,C,G
17、,。四点共面，且平面力BCI平面BCGE图1图2【解答】解：证明：由已知可得4DBE,CGHBE,即有力。CG,则4O,CG确定一个平面，从而4,C,G,。四点共面；由四边形力8E。为矩形，可得4B1BE,由J8C为直角三角形，可得AB上BC,又BCnBE=B,可得力8_L平面BCGK,48u平面力8C,可得平面力8C_L平面BCGE【题型8】平行垂直的向量证明方法14 .如图，在四棱锥P-49C。中，JTO_L底面49CQ,底面45C。是边长为2的正方形，PD=DC,F,G分别是用，力。的中点.求证：GF_L平面尸C8；【分析】由题意可得QRO4OC两两垂直，所以以。为原点、，。所在直线为Z
18、轴，X轴，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，再利用空间向量证明即可.【详解】证明：因为PQl.底面力8CQ,DA,DCu法而ABCD,且底面49Co是边长为2的正方形,所以DP,。4DC两两垂直，所以以。为原点，OP,。,。所在直线为N轴，X轴，V轴，建立如图所示空间直角坐标系，则力(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),G(l,0,0),F(l,l,l),所以不=(0,1,1),PC=(0,2-2),丽=(2,2,-2),设平面PBC的法向量二(,y,z),PCn=2y-2z=0_,取y=1可得Z=LX=0,PBn=2x+2y-2z=0所以平面P8C的一个法向量
19、为=(0,1,1),因为不=7,所以G/_1_平面PC8.15 .如图，在三棱柱48。一4四。中，CGj平面45C,AClBC,BC=/C=CC=4,。为/用的中点，C4交8G于点证明：CBQCQ.【详解】因为CCJ平面平面力5CI平面48,所以CG，平面44G,因为CMCBlU平面AIBC，所以CG-LC1JpCC1JLC1B1,因为NCZ3C,所以4G由GCG两两垂直，所以以G为原点，C/,G耳,GC所在的直线分别为Xj,z轴建立如图所示的空间直甬坐标系,则C(0,0,4),G(0,0,0),4(0,4,0),4(4,0,0),4(4,0,4),8(0,4,4)/(2,2,2),所以西=(
20、0,4,-4),卒二(2,2,2),所以西m=0+8-8=0,所以西1m，故CBlIC1D16 .如图，在四棱锥尸-48CD中，底面48C。为正方形，尸41平面/8CO,E为尸。的中点,产力=48=2.求证：PB平面/EC；【分析】由题意可得力8,ADy/尸两两互相垂直，所以以4为原点，以48,ADf力尸分别为X轴,y轴，Z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量证明即可.【详解】证明：因为R4_L平面48CO,且力民力。U平面为88,PA1AByPA1ADf因为四边形XBCO为正方形，所以熊_LM,所以48,AD,力尸两两互相垂直，如图，以A为原点、,以4B,AD,力尸分别为X轴，y轴，Z轴
21、，建立空间直角坐标系/一师，则4(0,0,0),尸(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0)1(0,1,1),可得丽=(2,0,-2),JC=(2,2,0),三=(0,1,1).设平面AEC的法向量为加=(XJ,z),ACm=2x+2y=0AEin=y+z=0所以平面AEC的一个法向量为w=(1,-1,1),可知尸8m=2l+0-2l=0,即PB_L/w,又因为P8平面NEC,所以PB平面AEC,模块三点与面【题型9】证明四点共面17 .如图，在长方体NBCO-NgGA中，点E,F分别在棱。4,84上，2DE=EDl,BF=2FB,证明：点G在平面AEF内.【解答】证明：在44】上取点
22、M使得4M=24V,卷壤EMBM,EC,FC,在长方体aa%-a3CZ?中，本DD/AAxH33,且，=44=BBx.乂2DE=EDAM=2AM,BF=2FBYDE=AM=FB 四边形3石4/口四边形都是平行四边形.：AFHMBdAF=MBADMEdAgME.又在长方体CR中，有&/?34,且2A=3C,BCME卫BC=ME,则四边形3CE”为平行四边形， EG/MBdEC=MBk义AFHMBdAF=MB,.,.AFM必,且AF=ECx,则四边形力学E为平行四边膨， 点C在平面力分内18.如图，多面体力为为田r中，AB,AC,az?两两垂直，平面am/平面。EFG,平面g7平面a%CAB=Ag
23、DG=2,AC=EF=L判断点3CF,C是否共面，并说明理由.【详解】取DG中点P,连接PA,PF,如图示:在梯形EFGD中，FPDE且FP=DE.又ABDE且AB=DE,AB/7PFJLAB=PF四边形ABFP为平行四边形，AP/7BF在梯彩ACGD中，APCG,BFCG,B,C,F,G四点共面.19.如图，四棱锥尸-48CD的底面为正方形，尸力_L平面48CmB=2,4=3,2而=丽，(1)证明:C,M,N四点共面;(2)求点P到平面MNC的距离.【答案】(1)证明见解析,(2)5酗109【分析】(1)建立如图所示的空间直南坐标系，结合空间向量线性运算的坐标表示可得31CH=-CM+-CN
24、f进而求证；(2)求出平面MNC的法向量，结合空间向量知识求解即可.【详解】(1)证明：因为4_L平面力5C。，40U平面458,XBu平面4BC0,所以尸4力。,产力_1_力3,又四边形力8C。为正方形，所以/18_L4).以A为坐标原点，力8,4。,/P所在直线分别为X轴、歹轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.JPMlPN1PH_1fjPB3,PD-2,44,则C(2,2,0),M停0,2)N0,1,),(0,0,胃P0,0,3).所以C=2,-2,J,C/=(一-2,2),CN=12,LT),设国=2丽+函，则0),所以丽=(Io-I),丽=(TiO),pBCd1所以cos=,网CD
25、2l(l-/)2因为直线所与C所成角的大小为三，所以cos=(,11即西干广，解得人。(舍)或者F所以BC的长为2:(2)由(1)知(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0)CQ20),令平面PBO的法向量为何二(Xj,z),因为丽=(l,0,-1),而=(OJT),mPB=0x-z=0一.、所以_,令x=l,则y=l,z=l,所以机=(IJ,1),wPD=0Qz=O,bnCA22L2L又C5=(0,-2,0),所以d=LFrj=-r=6,所以点C到平面08。的距离为一J.pm333【题型12线面角26.在四棱锥P48C。中，PD上底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=I,AB=2
26、,DP=C.(1)证明：；(2)求尸。与平面P/B所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)4.【分析】(1)作。于E,CFJ.AB千F,利用勾股定理证明40工6。，根据线面垂直的性质可得PD工BD,从而可得8。工平面P/O,再根据线面垂直的性质即可得证：(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】(1)证明：在四边形45CQ中，作DE工于E,CFJ.AB于F,因为CDNAB,AD=CD=CB=I,AB=2,所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE=BF=一,2故DE=曰,BD=4DE?+BE?=L所以力。、笈a=4外，所以ADJ.BD,因为Po_L平面48CD
27、,8。U平面45CZ).所以PDl.BD,又PDCAD=D,所以BD工平面PAD,又因为尸力U平面产力。，所以Bola4:(2)解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，BD=B则4(1,0,0),8(0,6,0),尸伍,0,码,则不=(TO,J),而=他,-66),而=(o,o,J),设平面0/8的法向量=(XJ,N),n-AP=-x+yJ5=0-(r则有-LL,可取=U,wBP=-3y+3z=O,即cosw,DP=2=-J、/nDP5，所以PD与平面PAB所展角的正弦值为（1）证明：ABlPB（2）若平面R48_L平面PC。，且功=如，求直线XC与平面P8C所成角的正弦值.2【答案】（1）
28、证明见解析；（2）受【详解】（1）如图1,连接BD,因为四边形ABCD是平行四边彩，且48C=I20。，AB=I,BC=2,所以CQ=1,ZBCD=60。,AB/CD,所以8。2=8。2+。2-28。（：0$/88=1+42乂1*2乂！=3,2所以8O=J5,所以8。2=802+CZ)2,所以Coj.8。，又因为CD上PD,BDCPD=D,BD,PDU平面PBD,所以C0_L平面PBD,因为PBU平面PBD,所以CDA.PB,因为ABCD,所以4BJ.PB.(2)如图2,设平面PAB和平面PCD的交线为直线1,因为CDAB,CDC平面PAB,ABU平面PAB,所以CQ平面PAB,因为CDU平面
29、PCD,平面PAD尸4OU平面尸8C=/,所以C因为CO_L平面PBD,所以平面PBD,因为PB,PDU平面PBD,所以NBPD是平面PAB与平面PCD的二面角，因为平面尸彳Bl平面PCD,所以/BPO=90。，即8尸IDP在RlABP中，因为尸4=巫，AS=t所以PB=显,22在RsBPD中，因为BD=由,则PD=在,所以ABPD为等腰直角三角形，2方法一：由(1)得CDL平面PBD,如图3,以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，DC所在直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为Z轴速立空间直角坐标系，则(3,-l,),5(3,),叫当。,用,C(OJO),P所以衣=9JJ,2,0),C=
30、(-3,l,),设平面PBC的法向量为=(XJ,z),nBC=-3x+y=0则一33.22取x=l,则y=6,z=l,得=(1,G,1),记直线AC与平面PBC所成角为仇则sinB=cosJC)=解f=浮雪。J=始，171nACl+3+l3+435所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为受.方法二：在AABC中，因为48=1,BC=?,480=120。，则AC=AB2+BC2-IABBC-cosZBC=J+4-2l2F,设点A到平面PBC的距离为d,由(D知CDL平面PBD,因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC,又因为Zo(Z平面PBC,BCu平面PBC,所以力平面PBC,所以VA-P
31、BC=D-PBC因为VD-PBC=VC-BPD，所以a-PBC-C-BPD，设点A到平面PBC的距离为d,由(I)知CDL平面PBD,所以;Sz8cM=tfPDCD,在APBC中，PB=显,BC=2fPC=PA=-122因为尸8?+尸C?=BC?,所以PBLPC,所以S-X叵=妪，pbc2224所以LX巫M=LXLX理XEi,解得d=姮,3432225叵L记直线AC与平面PBC所成角为仇则ad5J而，sinU=AC735【题型13求二面角（重点）28.如图，四棱锥尸-48Co的底面是矩形，底面8CD,PD=。C=I,M为5C的中点,且尸BIAM.（I）求BC；（2）求二面角l-RW-6的正弦值
32、.【答案】（1）应：（2）叵14【详解】(I)I方法一:空间坐标系+空间向量法：PDLsABCD,四边形49CQ为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA、DC、OP所在直线分别为x、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。一平，设8C=2,则。(0,0,0)、尸(0,0,1)、8(2a,l,0)、M(a,l,0)./(2a,0,0),则而二(2,l,T),丽=(F,1,0),VPBLAM,则丽翔=-2/+1=0,解得=也，故5C=2=:2I方法二【最优解】：几何法+相似三角彩法如图，连结50.因为尸。_1_底面488,且AMU底面4BCD,所以PDJ.AM.又因为P81A,PB11PD=P,所以AM
33、J.平面PBD.又BDU平面PBD,所以4J.8O.从而ZADB+ZDAM=90.因为ZMAB+ZDAM=90,所以ZMAB=NADB.,十OADBA所以aAOBSaA4M,于是=.ABBM所以gBC=l.所以5C=.方法三:几何法+三角形面积法如图，联结BD交AM千点、N.由方法二知4MLO5.在矩形46C。中，本4DANsABMN,所以出=生=2,即4N=M.MNBM3令5C=2f0),因为A1为BC的中点，则8M=f,DB=+1,AM=2+l.由邑3=g48=g84N,得TnTiqEi,解得产二；,所以5C=2f=(2)方法一【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面尸力AZ的法向量为沅=
34、(XI,zj,K)AM,JP=(-2,0,l),2八inAM=X1+V1=0r-r-由J2I力，取玉=,可得而=(,l,2),inAP-2xi+z1=0设平面P8的法向量为万二(租必，22),两二|一半,0,0,BP=(-71,-1,1),hBf=-x-,=0/、由，22,取H=1,可得万二(OJl),nBP=-y2x2-y2+z2=/_mn3314cos(min)=：.?=产=,|加|同7214所以，sin(百万)=JI-COS*加万=，因此，二面角A-PM-B的正弦值为叵14I方法二:构造长方体法+等体积法如图，构造长方体45CD-44G4,联结交点记为“，由于彳用工力产，ABi1BC,所
35、以AHl平面4BC0.过作AM的垂线，垂足记为G.联结4G,由三垂线定理可知4G_LRM,故NJG”为二面角力-尸的平面角.易证四边形45CA是边长为近的正方形，联结HM.SaDHM=qDMHG，SctfHM=S止方彩ABCD一SGDiAH-StkHBM-SiiMCS,由等积法解得HG=3叵.IO在&f/G中，AH=-iHG=-f由勾股定理求得4G=叵.2105所以，snZAGH=-=-,即二面角Z-尸M-8的正弦值为由AG141429.如图，三棱锥48Co中，DA=DB=DC,BDlCD,ZADB=ZADC=60E为BC的中点.(1)证明：BCtDA；(2)点F满足呼=耳，求二面角-尸的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)日.【分析】(1)根据题意易证8C1平面/0E,从而证得5C_LO4；(2)由题可证4_L平面BCD,所以以点E为原点，EO,E8,所在直线分别为MK?轴，建
