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1、二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点一、平面直角坐标系1,平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做X轴或横轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点0（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被X轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:X轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a,b）表达,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后，中间有“，”分开,横、纵坐标的位置不能
2、颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当WZ?时，（a,b）和（b,a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特性1、各象限内点的坐标的特性点P（,y）在第一象限OX0,y0点P（x,丫）在第二象限0%0,0点P（x,y）在第三象限UxO,y0,丁0b0_/kyL/X图像通过一、二、三象限，y随X的增大而增大。b0y0/图像通过一、三、四象限,y随X的增大而增大。K0y,图像通过一、二、四象限,y随X的增大而减小b0时，图像通过第一、三象限,y随X的增大而增大;(2)当k0时,y随X的增大而增大(2)当k0时，y随X的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的拟定拟定一个正比例函数，就
3、是要拟定正比例函数定义式y=Zx(k0)中的常数ko拟定一个一次函数，需要拟定一次函数定义式y=Zx+6(k0)中的常数k和bo解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数1、反比例函数的概念一般地,函数y=K(k是常数，ko)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=K-X的形式。自变量X的取值范围是XWO的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量xHO,函数y0,所以，它的图像与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐
4、标轴,但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的拟定拟定及误是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=幺中,只有一个待定系数，因此只需要一X对相应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而拟定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数），二七（女WO）图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形XkPMON的面积S=PMPN=HW=同。Py=一,孙=SS=M知识点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，假如特丁=办2+以4也。是常数，0）,特别注意a不为零那么y叫做X的二次函数。y=or?+尿+eg,。,。是常数，。0）叫
5、做二次函数的一般式。二次函数的图像是一条关于X=-A对称的曲线,这条曲线叫抛物线。2a抛物线的重要特性：有开口方向；有对称轴：有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y=ax2+hx+c与坐标轴的交点：当抛物线与X轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点Do将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。当抛物线与X轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D点可粗略地画出二次函数的草图。假如需要画出比
6、较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般两根三顶点(1)一般一般式:y=ar?+云+。(4,瓦。是常数,aQ)(2)两根当抛物线y=+u;+C与X轴有交点时,即相应二次好方程办2+/+c=0有实根匹和马存在时，根据二次三项式的分解因式4小+bx+c=a(x-x)(x-2),二次函数y=2+云+c可转化为两根式丁=4(%一2)“一)。假如没有交点，则不能这样表达。a的绝对值越大,抛物线的开口越小。三顶点顶点式：），=。（上一）2+攵（4/2次是常数，（）知识点八、二次函数的最值假如自变量的取值范
7、围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-2时，2a_4ac-b2总值=Fr假如自变量的取值范围是玉x%2,那么，一方面要看-2是否在自变量取值范围须XX22ab4acb?内，若在此范围内，则当=-2时，y=WC。；若不在此范围内，则需要考虑函数在2a啊4aX1xx2范围内的增减性，假如在此范围内，y随X的增大而增大，则当X=X2时，y最大=。君+Zu;2+*当X=Xl时、）小小=以；+h+C；假如在此范围内，y随X的增大而减小，则当X=Xl时，y般大=+bxl+Cf当X=X2时，）母小=ax2+bx2+c0aO图像y性质(1)抛物线中平匕并向上无限延伸：(2)对称轴是X
8、=-,顶点坐标是2ab4ac-b2(一,7)；2a4。(3)在对称轴的左侧,即当x-2时，y随X的2a增大而减小；在对称轴的右侧，即当X_L时，y随X的增大而增大，简记左2a减右增；(4)抛物线有最低点,当x=-上时，y有最小2a也4ac-b2值，y最小值二一(3)在对称轴的左侧，即当x-2时，y随X的增大而减小，简记2a左增右减；(4)抛物线有最高点,当乂=-2时,有最大2a任4ac-b2值，y最大值二一一2、二次函数y=02+b%+c(,b,c是常数,40)中,.、b、C的含义:。表达开口方向：。0时，抛物线开口向上0(即。、b同号)时，对称轴在y轴左2aa侧;2v0(即。、力异号)时,对
9、称轴在y轴右侧.口诀同左异右a(3)c的大小决定抛物线y=ax?+法+c与丁轴交点的位置.当X=O时，y=c,；抛物线y=a/+法+c与y轴有且只有一个交点(o,c)：C=0,抛物线通过原点；c0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则-0.a十一，中考点击考点分析:内容规定1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点I2、自变量与函数之间的变化关系及图像的辨认,理解图像与变量的关系I3、一次函数的概念和图像I4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图H5、反比例函数的概念、图像特性，以及在实际生活中的应用H6、二次
10、函数的概念和性质,在实际情景中理解二次函数的意义,会运用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题H命题预测：函数是数形结合的重要体现,是每年中考的必考内容，函数的概念重要用选择、填空的形式考察自变量的取值范围,及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等,一般占2%左右.一次函数与一次方程有紧密地联系,是中考必考内容,一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考察，占5%左右.反比例函数的图像和性质的考察常以客观题形式出现,要关注反比例函数与实际问题的联系,突出应用价值,36分;二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点,多以压轴题出现在试卷中.规定:能通过对实际问题情景
11、分析拟定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数图像,能丛图像上分析二次函数的性质;会根据公式拟定图像的顶点、开口方向和对称轴,并能解决实际问题.会求一元二次方程的近似值.分析近年中考,特别是课改实验区的试题，预计2023年除了继续考察自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质,在实际问题中考核对反比例函数的概念及性质的理解.同时将注重考察二次函数,特别是二次函数的在实际生活中应用.十二,初中数学助记口诀（函数部分）特殊点坐标特性:坐标平面点（x,y）,横在前来纵在后；（+,+）,（-,+）,）和（+），四个象限分前后；X轴上y为OX为O在Y轴。对
12、称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称，X前面添负号；原点对称最佳记，横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次事底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式,则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍，同左上加异右下减一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像通过仁象限；正比例函数更简朴，通过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与Y轴来相见，k为正来右上斜，X增减y增减；k为负来左下展，变化规律正相反
13、；k的绝对值越大，线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点,它们拟定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。A反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远；k为正，图在一、三(象)限,k为负，图在二、四(象)限；图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反，两个分支分别添；线越长越近轴,永远与轴不沾边。正
14、比例函数是直线，图象一定过圆点,k的正负是关键，决定直线的象限，负k通过二四限，X增大y在减,上下平移k不变，由引得到一次线,向上加b向下减，图象通过三个限,两点决定一条线，选定系数是关键。A反比例函数双曲线,待定只需一个点，正k落在一三限,x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积对称轴是角分线y 的顺序可互换二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看,的符号最简便，X轴上数交点,a、b同号轴左边抛物线平移a不变,顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。对称点坐标：对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，X轴对称y相反，Y轴对称,X前面添负号；原点对称最佳记,横纵坐标变
15、符号。关于1轴对称y=Cix1+bx+c关于轴对称后，得到的解析式是.y=-ax2-bx-cy=a(x-h)2+k关于X轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)2-k关于V轴对称y=尔+法+c关于.V轴对称后,得到的解析式是y=ax2-bx+cIy=a(x-h)2+k关于轴对称后,得到的解析式是=(x+4+女;关于原点对称y=0?+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c;y=a(x-h)2+k关于原点对称后,得到的解析式是丁=-。(彳+力关于顶点对称y=0+u+c关于顶点对称后,得到的解析式是y=-d-hx+c-;2ay=a(x-h)2+k关于顶点对称后,得到的解析式是
16、y=-a(x-h)2+k.关于点(加，)对称y=a(x-h)+k关于点(如)对称后,得到的解析式是v=-a(x+h-2n)2+2n-k根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此Ial永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式，习惯上是先拟定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再拟定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.口诀Y反对X,X反对Y,都反对原点2自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幕底数不为零，函数图像的移动规律：若把一次函数解析式写成y=k(x0
17、)+b,二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍，左正右负须牢记,上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像通过仁象限；正比例函数更简朴，通过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与Y轴来相见，k为正来右上斜,X增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀：二次函数抛物线,图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们拟定图象限；开口、大小由a断,c与Y轴来相见，b的符号较特别,符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0,牢记
18、心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀：反比例函数有特点,双曲线相背离的远；k为正,图在一、三（象）限；k为负，图在二、四（象）限；图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反，两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。函数学习口决：正比例函数是直线,图象一定过原点,k的正负是关键，决定直线的象限，负k通过二四限,X增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减,图象通过三个限,两点决定一条线,选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落
19、在一三限，X增大y在减,图象上面任意点，矩形面积都不变,对称轴是角分线x、y的顺序可互换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简便，X轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变,顶点牵着图象转，三种形式可变换,配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究,四项原则须留意。A指是分数底正数，数零没有零次易。A求定义域要过关，四项原则须注意。A分数指数底正数，数零没有零次幕。限制条件不唯一，不等式组求解集。负数不能开平方,分母为零无意义。限制条件不唯一，满足多个不等式。负数不能开平方,分母为零无意义。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。先去分母再括
20、号，移项别忘要变号。A同类各项去合并，系数化“1”注意了。A同乘除正无防碍,同乘除负也变号。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。A解一元二次不等式:一方面化成一般式，构造函数第二站。A判别式值若非负，曲线横轴有交点。Aa正开口它向上,大于零则取两边。A代数式若小于零，解集交点数之间。A方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程A要用公式解方程，一方面化成一般式。A调整系数随其后，使其成为最简比。4拟定参数abc,计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。A有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程:左未右已先分离，二系化
21、“ 1 ”是另一方面。A一系折半再平方,两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方,解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程:已知未知先分离，因式分解是另一方面。A调整系数等互反,和差积套恒等式。A完全平方等常数,间接配方显优势【注】恒等式解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最抱负。A假如缺少常数项,因式分解没商议。b、C相等都为零,等根是零不要忘。b、C同时不为零，因式分解或配方，A也可直接套公式，因题而异择良方。正比例函数的鉴别：判断正比例函数,检查当分两步走。一量表达另一量，有没有。A若有再去看取值，全体实数都需要。A区分正比例函数，衡量可分两步走。A量表达另一
22、量，是与否。若有还要看取值，全体实数都要有。正比例函数的图象与性质：K正一三负二四,变化趋势记心间。正比函数图直线，通过和原点。AK正左低右边高,同大同小向爬山。K负左高右边低，一大另小下山峦。一次函数:一次函数图直线，通过点。AK正左低右边高,越走越高向爬山OK负左高右边低，越来越低很明显。AK称斜率b截距，截距为零变正函。反比例函数:反比函数双曲线，通过点。K正一三负二四,两轴是它渐近线。4K负左低右边高，二四象限如爬山。K正左高右边低，一三象限滑下山。二次函数：二次方程零换y,二次函数便出现。A全体实数定义域，图像叫做抛物线。A抛物线有对称轴,两边 单调正相反。A定开口及大小，线轴交点叫
23、顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。A假如要画抛物线,平移也可去描点,提取配方定顶点,两条途径再挑选。A列表描点后连线,平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换y,就得到二次函数。A图像叫做抛物线，定义域全体实数。A定开口及大小，开口向上是正数。A绝对值大开口小,开口向下A负数。抛物线有对称轴,增减特性可看图。A线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。假如要画抛物线,描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。A列表描点后连线,三点大体定全图。A若要平移也不难,先画基础抛物线，A顶点移到新位置，开口大小随基础。A【注】基础抛物线列方程解应用题：列方程解应用题，审设列解双检答。列表画图造方程，解方程时守章法。A审题弄清已未知，设元直间两办法。A检查准且合题意,问求同一才作答。两点间距离公式:同轴两点求距离，大减小数就为之。平面任意两个点,横纵标差先求值。A与轴等距两个点,间距求法亦如此。A差方相加开平方,距离公式要牢记。
