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1、高等数学2016级下学期期末试卷A卷一、填空题(每题6分,共30分)1、(x-l)+2(y-2)+(z-l)=011Ex+2y+z=6,3、工esiny,fexcosy+exsiny(excosy+fi);4、5(1)=,S(100)=I;5、2,手)。二、单项选择题(每题4分,共20分)1、B；2、D；3、C；4、B；5、Ao三、(工科)求微分方程y-y-2y=(l-2%)的通解。解：特征方程产-2=0,特征根外=-1,G=2。齐次方程通解Y(x)=Ger+q/x,(4分)特解形式V(X)=xti,z,(x)=(0r+b)ex0(7分)将y”(x)代入原方程并整理得：-2ax+a-2h=-2
2、x9M=Lh=0,a-2b=1所以y(X)=冗/，通解y()=G+C2e2x+xe2ro(10分)三、(高数)求过Z轴且与平面2x+y+3z=0垂直的平面方程。解：由题意，所求平面过原点0(0,0,0),且法向量垂直于向量(0,0,1),同理法向量垂直于向量(2,1,3),故:i,j,k=(),0,1=(-1,2,0)(7分)2,1,3故点法式平面方程：x-2y=Oo(10分)三、(微积分)求二重积分口。2+/)皿，其中D由=l,y=l和DX2+/=Iay0)围成的区域。解：设A=(x,y)d+y2,yN0,(2分)(x2+y2)dxdy=(x2+Wy-(x2-y1)dxdyDD+Dl(8分)
3、(Io 分)=H+V)少Ed可了2四、用拉格朗日(Lagrange)乘子法求函数/(x,y)=，+4xy+y?在单位圆/+V=1上的最大值和最小值。解：令(x,yt)=x2+4xy+y2+(x2+y2-1)o1.x=2x+4y+2x=O由ILy=4x+2y+2ly=0,得(5分)1.a=x2+y2-1=0If72- - =I%- -W K- 、 1212 = = xyl1XL忑7)=y意=3,最大值；噜弓)=专超J，最小值。(1分)五、将函数/(x)=arctanLH展为X的塞级数，并求收敛域。1-18解：fx)=-7=y(-lx2-lxf:)2。二而 xzdydz + (x2 + y3 )d
4、xdy = (x2 + y3 )dxdy =(x2 + y3 )dxdy,LiDx2+y2由对称性，得 /dxdy = 09Z)f+1由轮换对称性，得 x2cbcdy Pur2+y2lML(32K心故(10 分)七、计算曲线积分J势二竽，其中L为从点A(l,l)沿直线到点B(T,0),再沿 L + y曲线y = f_到点C(I,0)。解：P = 7 = X P Q _ y , 1 - + y2 y x (x2 + y2)2-X(2分)积分与路径无关，自选路径。令点力(-1,1),选从点4(1,1)沿水平线到点D(-1J)后,(4分)沿铅直线到点(-l,0),再沿下半单位圆到点C(l,0)。其中
5、：AExdy-ydxy = r- -dxX = XJI2+ yI-I Tt-arctan xl = 92fEBxdy- ydxx = - -dy y = y L 1 + 炉X +y-arctan y0 TtFJBCxdy- ydx X22Jr + y= CoSrrO 99(sin t + cos t)dt = o =SinfJF所以,(10 分)rxdy-ydxl1x+y244B卷一、填空题(每题6分,共30分)1、/J,etsiny,fexcosy+exsiny(excosy+ft);2、(X-I)+2(y-2)+(z-l)=0或x+2y+z=6,=?3、(2,3,1),-:4、2,半万；5
6、、5(1)=,S(100)=Io二、单项选择题(每题4分,共20分)1、C；2、B；3、D；4、A；5、Bo三、(工科)求微分方程丁+了-2丁=(2戈+1)6一的通解。解：特征方程/+2=0,特征根4=1,弓=-2。齐次方程通解Y(x)=G+,(4分)特解形式y(X)=XkQn().*=3+b)ex0(7分)2=2将y(x)代入原方程并整理得：-2g:-一劝=2x+lJM=-I力=0,-a-2b=所以y(x)=-xex,/.通解y(x)=clex+c2e2x-XeXo(10分)三、(高数)求过X轴且与平面2x+y+3z=0垂直的平面方程。解：由题意，所求平面过原点0(0,0,0)，且法向量垂直
7、于向量(1,0,0)，同理法向量垂直于向量(2,1,3),故：i,j,kn=1,0,()=(0,-3,1)(7分)2,1,3故点法式平面方程：3y-z=0o(10分)三、(微积分)求二重积分(y2+x2)y,其中D由X=I,y=l和x2+y2=(x,yO)围成的区域。（2分）解：D1=(x,y)x2+y2l,x,yO(y2+x2)dxdy=(y2+x2)dxdy-(y2+-2)dxdyDiD+Dl= (y2+2),-d Pdr(8分)（10 分）23S四、用拉格朗日（Lagrange）乘子法求函数/（x,y）=-4xy+y2在单位圆X2+y2=上的最大值和最小值。解：L(xyy,)=X2-4x
8、y+y2+(x2+y2-1)01.x=2x-4y+2x=O由=-4x+2y+2;ly=0,得(5分)1.=x2+y2-1=0111xJyXL忑1,1,1y=3JL正V忑zz,=3,最大值。（1分）五、同A卷。六、求曲面积分/=,立（1）也+，+）,2）山，其中Z：z=x2+y2（Ozl）,取下侧。解：补有向曲面Z：z=z（x9y）=1（x2+y21）,取上侧。（2分）由高斯公式，/+=JJJzdV,3（5分）i其中zdV=zdzdxdy=z1dz=-CD1zx2+y2(yfz)23,而xzdydz+(x3y2)dxdy=(x3+y2)dxdy=(x3+y2)dxdy,i由对称性，得xydxdy=O,Dvtx2+yil由轮换对称性，得y2dxdy=-(x2+j2)dxdy=-Jdridr=,故/=巴。(10分)12七、同A卷。
