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1、第12讲极值点偏移前面所学内容可以归结为一元等式或者不等式问题，从本节开始要进入双元问题，也可以概括为双元等式或者双元不等式问题，其中极值点偏移是比较简单的，处理方法也相对容易，但其中体现的整体换元思想是需要认真体会的，这也是本书一贯强调的思想，难题就是把简单题整体代换一下，这是出题套路，也是解题之法.在学习极值点偏移的时候，同样要从概念、题型、解法的逻辑来学习.下面讲解极值点偏移的一些概念和定理，相对比较抽象，如果开始不太看得明白，可以先做几个题目，再反复理解！极值点偏移的相关推导一、极值点偏移的含义极值点不偏移：函数/(幻满足定义域内任意自变量4都有)=(2而-力，则函数/(X)关于直线X
2、=Xo对称，X=/必为/(X)的极值点.若F(X)=C的两根的中点为百芳，则刚好有步芦=为，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.简单来说，如果图像关于极值点处对称，则不偏移，否则偏移.极值点偏移：若受尹工与则为极值点偏移，单峰函数/(X)定义域内任意不同的实数苞，满足/(x1)=(x2),则f与极值点与必有确定的大小关系：若与包，则称为极值点右偏，即极值点在两根中点的右边.二、极值后偏移的判定定理求证:对于可导函数y=/(%),在(,力上只有一个极大值点/，方程/(x)=C的解分别为xi,x2,axlXQx2h.(1)若/(xjf(2xo-)，则Z；&/(2x0-x2),则百X0,即
3、函数y=f(x)在&,x2)上极小值点与左偏.证明：(1)对于可导函数y=(x),在(,6)上只有一个极大值点与，则函数/(x)的单调递增区间为(。，Xo),单调递减区间为()，b).由于百Vb，有X,且2/一电胸.又/(-vI)/(2x0-)fx2ro-x2即函数极大值点与右偏.(2)极小值可自行推导.三、对数平均不等式的介绍与证明两个正数。和力的对数平均定义：a-bz,、(ab)1.(a，b)=JIna-Inba(a=b)对数平均不等式为：而VL(,b)K.2取等条件：当且仅当=力时，等号成立.只证:当b时，L(a,/?),不失一般性，可设2证明：先证：LQ,力)式=Ina-Inz=In-
4、21nxl时，,(x)0,函数/(x)在(1，+8)上单调递减.故/(X)/=0，不等式成立.磊(其中京式 na-nba + b(2)再证：,b)1),则g,(x)r=工(x+l)X3+I)?x(x+,当xl时，gO,，函数g(x)在(1,+oo)上单调递增，故g(x)g=0,从而不等式成立.综合知，对VaR都有对数平均不等式必。，b)!2成立，2当且仅当=8时，等号成立.无参极值点偏移的方法总结关于极值点偏移常考的题型如下：题型一:若函数/(X)存在两个零点司，勺且N2,求证：%+%22%，而为函数/(X)的极值点.题型二:若函数/(x)中存在X，工2且不工“2满足/(Z)=f(%2)，求证
5、：X+工22与，%为函数/(X)的极值点.对于极值点偏移来说，所有方法的核心都是为了把双元问题转化为一元问题，那么在转换过程中常用如下方法：证法一:单调性放缩转化法，一般有两种构造函数的方式构造方式一：非对称构造构造函数函X)=F(X)-0(2%-X).(2)判断函数人。)的单调性.证明(x)0或(x)/(2而一x)或f(x)f(2x0-x)J.(4)结合函数的单调性，通过整体代换即可证再+为2%.构造方式二：对称构造(1)求出函数/(X)的极值点与，及单调区间.作差比较:构造一元差函数F(X)=/(x0+x)-(-x).(3)确定函数尸(X)的单调性.(4)结合7(0)=0,判断F(X)的符
6、号，从而确定/+x),/(与-x)的大小关系，结合函数f(x)的单调性，通过整体代换即可证x+V2与，或x1+x22瓦.证法二：引参消元法，一般有两种引参方式引参方式一：差式引参一般步骤如下：第一步:根据M和勺的关系式，一般为/(再)=/(电)，通过变形，构造出百-12.第二步:通过整体代换，令百-为=八引入参数f,如果可以直接构造一元函数就直接计算，如果不行再进入第三步.第三步:用参数，表示出变量进而构造一元函数.第四步:按照一元函数处理方式处理.引参方式二：齐次引参消元一般步骤如下：第一步:先根据已知条件确定出变量百，心满足的等式，并变形出土,然后令a=1.X2X2第二步:用参数，表示出变
7、量进而构造一元函数，将关于有，工2待求的问题转化为关于f的函数问题.第三步:构造关于，的一元函数g(t)求解.证法三:齐次分式整体代换消元法一般步骤如下：第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的条件.第二步:通过将所有涉及国，X2的式子转化为关于五的式子，将问题转化为关于自变量且(包亦可)的函数问题.再第三步:整体代换区=/,构造关于f的一元函数g(r)求解.电证法四:对数平均不等式法一般步骤如下：第一步:通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出“ln-心”及“须一局”.第二步:通过等式两边同除以In-Inx,”构建对数平均数*一In再-InX2第三步:利用对数平均不等式将*一4转化为土后再证明
8、王+2xa.【例1】已知函数/(%)=XeT(XWR),如果Xx2,且Fa)=/()，证明：X+22.【解析】证明法一：对称构造法广)=(1-工把-“易得/。)在(-,1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减.x-8时，/(),/(0)=0.Kf+8时，/(x)0.函数/(x)在X=I时取得极大值：/(1)=-.e由/(玉)=/(x2),x1x2不妨设X1x2.则必有X110.F(x)在Xe(O,1上单调递增，F(x)F(O)=O,即f(l+x)/(l-x)对XW(O，1恒成立.由OVKlVlV电,则IfW(O，1.(l+(l-x1)=(2-x1)/(1-(ITl)=/(X)=(s),BP(
9、2-x1)(j).又2-百，电(1,+8),且/()在(1,+8)上单调递减，.2-X,2.法二:非对称构造法欲证司+Jt22,印证为2-司.由“法一”可知OVXlx2,故2-X，x2e(,+).又/%)在(1,+8)上单调递减，故只需证明/(x2)(2-x1).又/(%)=/()，王工芍,，证明/()(2-马)即可.构造函数H(X)=/一/(2),x(O,l).等价于证明(x)0.)在工(0,1)上单调递增.W(x)W(I)=O,即以证明”。)2成立.法三：差式引参换元法由/(所卜/仇)，得NeF=r2ef,化简得2F=包.为不妨设工2司，由“法一知，OXl0,工2=，+不，代入式，得e=，
10、反【解析】出玉=一一.X1e,-1则国+电=2x+=-+f,故要证司+%2,即证告+2.Xe,-l0,等价于证明+(f-2)(d-l)0构造函数G(Z)=2f+2)(ez-l),(/0),则G0,故G,(t)在/w(0,+S)上单调递增，G,(t)G(O)=0.从而G也在r(0,+8)上单调递增，G(0G(O)=O,即式成立，故原不等式七+勺2成立.法四：齐次分式整体消元法由“法三”中式，两边同时取自然对数，可得X-X2=ln%=lnXTnx2.Al即屿二生包=1,从而药+=&+引.gl=!也/a=ln%百一勺X1一巧W一刍-1均令/=(1),欲证百+为2,等价于证明上Llnr2.1+)构造M
11、) =四t-x2t-In/,(r1),则MB)=LT-2hvr(r-D2X4(t)=2-1-2rIntt1),则)=2-2(h11+l)=2(f-I-Inf).由于f-llnf对Vfe(1,+8)恒成立，故于(f)0,以1)=0,从而(r)0,故Ma)在re(l,+8)上单调递增.由洛必达法则知，IimM=xlHmE=nm(EilM=Hmam+山=2,(下-章会讲)XTl”1XTl(，-1)Xft)可得()2,即证式成立,即原不等式x1+x22成立.法五:对数平均不等式法由“法三”中式,两边同时取自然对数，可得Xl-X2=In=lor,-Inx2.X2即=1.把N-W=1代入不等式即可得N-F
12、=12.Inx1-Inx2Iilt1-Inx2Inx1-Inx22例2已知函数/(x)=2x-d，上存在两个不相等的数和5，满足)=工2)，求证:xi+x20j(x)在(-oo,ln2)上单调递增.当xln2时,/(力0,f(x)在(ln2,+8)上单调递减.x=ln2为f(x)的极大值点，不妨设x1x2,由题意可知x1112x2.令F(X)=/(In2+x)-/(In2-)=4x-2ex+2e-x,F,(x)=4-2ex-2e-ex+e-xSlf:,F,(x)0,.尸单调递减.又尸(O)=O,.F(力0在(0,+8)上恒成立，即/(ln2+x)上恒成立.(1)=(x2)=/(ln2+(x2-
13、Im)/(ln2-(x2-In2)=/(21n2-x2).X1ln2,2卜2-七M2,又y(x)在(YOJn2)上单调递增，.xi2n2-x2.xi+x2(2a-x1),然后构造函数F(x)=f(x)-f(2a-x),利用函数的单调性可得/(内)-/(2。7)0,从而得出结论.含参型一:函数含参极值点偏移问题例1已知函数/(外=(工-2”，+。(-11有两个零点.求。的取值范围.(2)设是/(x)的两个零点,证明:xl+x20时,由尸(X)=O得x=l,由f(x)O得xl,由尸(x)0得x1.x=l是/(x)的极小值点,也是/(x)的最小值点.f(4)=(l)=-e0,.在(1,2)上存在一个
14、零点Z,即10,.(x)在(YO,1)上存在唯一零点x,即XVl.a0时,/(%)存在两个零点.ii .当l,即0一|时,易证f(x)nux=f=-e0,故/(x)在R上只有一个零点.若ln(-24)vl,即一：VaVo时，易证./(x)ma=/(ln(-2a)=a(ln2(-2a)-41n(-2a)+5)0.(2)证明法一:非对称构造法由(1)题知，a0且xiX21,.X-10,e2(x-l)-10.hf(x)0.,.(x)在(1,+8)上单调递增.(x)A(l)=0(x)(2-x).(x2)(2-2).f(x)f2-x2).,X1,2-巧L(x)在上单调递减,，内2-x2,即玉+9l时,g
15、,(x)Og(X)单调递增.g()=(k2f + l(1)3ex.设m0,构造代数/1、/1山-1+m-m-l.m+mx.m(m-2mg(l+间-g(l-?)=eF-Xe=-ee+1设h(ni=-e2m+l,n0.则/W)=J：；xe2-O,故单调递增,有(M)(o)=O.因止匕,对于任意的机0,g(1+?)g(1-.由g(xJ=g(X2)可知X,%2不可能在g(x)的同一个单调区间上，不妨设不“2,则必有玉10,则有gl+(lxjgl(lxjog(2xjg(xj=g(x2).而2-内1,J1送(工)在(1,+8)上单调递增,因此8(2-内)8()02-王x2.整理得+看2.【解析】f(x)=
16、-nx,定义域为(0,+8卜尸(力=一=_.当a()时，aaxaxJ(x)0,0xa,f,(x)0J(x)0时,/(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(0,+oo).当“()时,/(力的单调递减区间是(0,+8),无单调递增区间.证明由题知当。0,此时/(x)在(U)上单调递减,在(a,+oo)上单调递增.若存在两个不相等的正数与,工2,满足/(xj=f(w),不妨设X2。,即证x22a-xi.x2a,2a-xia.由题知在m+8)上单调递增,故只需证/(&)2”大).又/(%)=/(占)，即要证/(芭)/(2_司)(其中0&0.当(,24)时,尸(X)=f(%)-/(2-x)O.x
17、i+x22a【例2】已知/(x)=xlnrWX27,me/?.若/(x)有两个极值点玉用，且玉e2(e为自然对数的底数).【解析】证明法一:零点等式相减相加消参换元法欲证x1x2e2,需证Inx1+Inx22.若/()有两个极值点X，w，则函数广有两个零点.又广(力=成-小，.w是方程r()=o的两个不同实根.则有fg%=,解得zw=l!1g.Inx2-nx2=O菁+/另一方面,由I得lnx,-Inx1=w(x,-i),Inx2-Wir2=O从而可得g1叫=M+g.X2-i1+X,G+ni.,lx11眸=-)=IRN-百i_l又O%1.1叫+nx2UJ1.x1t-要证1叫+g2,即证上业21.
18、即当rl时,有lm亚少./-1/+I设函数/()=hv-符7,则/(/)=；-生平普D=卢朱.0,，+11(r+l)r(rl).力(。为(1,+8)上的增函数./?(1)=0,/).川1)=0.于是,当经1时,有lm亚少.t+:.Inx1+la2.:.xyx2e2.法二:含参非对称构造欲证那濡证Ig+g2.若/(x)有两个极值点XM,即函数r(x)有两个零点.又r(x)=ku区3,9是方程尸=。的两个不同实根.显然相0,否则,函数(力为单调函数,不符合题意.由于/(x)J-m=a,故/(X)在一上单调递增,在XXmJ(,+8)上单调递减./Vl-TMLt1=0.田Inx1lnx,=(x+x,)
19、,/x2-mx,=0需证明m(x1+居)2即可.即只需证明+%2.m设g()5*/,OUg，(X)=等葛0,故g()在陷)上单调递增,即g(X)VgO=。,故r(%)r(5T.由于/(_6=上2竺,故尸3在U上单调递增,在化,+。上单调递减.XXm)m)设XJ,f-X11mm)X.-2，-x1+J(x)在jL+上单调递减,故有X,2-,即玉+,2.原f11mJmJmm命题得证.法三:单调性放缩转换法由x1,x2是方程f(x)=O的两个不同实根得姓吧,X令g(%)=y,g(s)=g(W),由于g(x)=，因此,g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+00)上单调递减.设Oe且(0,e),*2只
20、需证明/(%)/,即J0,即/(x2)-/2X2)x2)即hx)=f(x)-ff,x(l,e),(x)=InX,Mx)在(Le)上单调递增,故(x)h(e)=O,即/(x)/(71令X=xpWlJ(x2)=(x1)上,即再x2e2.法四:差式引参消元法设G=皿e(0,l),2=Inv2e(l,oo),则由僵二得；二：=L=八，设女=%-4e2,需证InXl+Inr22,即只需证明+Z22.%(+/)MJ2Q)(l+e*)2(e火-1)(l+e)-2(e*-l)0.设g(Z)=Ml+d)_2(eJl)(ZvO),gU)=E3+l,g仕)=收g(0)=O,故屋女)在(-oo,0)上单调递增，因此g
21、（八）,需证1叫+1吨2,即只需证明4+G2,即(女+1)InZ2(k-l)2(-l)L2nkLoInA-L0,故g(k)在(0,1)上单调递增，因此Z+1k(k+1)g(%)Vg(l)=0,命题得证.极值点偏移变形一般题型1 .若函数/(x)存在两个零点S,W且内x2,求证:/(、0.2 .若函数/(x)中存在N,且不工超，满足fM=/(占)，求证:七)3.若函数“力存在两个零点X,x2且$x2,求证:/Jxm)04.若函数/(x)中存在8,X2且Hz，满足/(X)=/(2)，求证:,(7)O-方法核心:要证明/(与歪)0,即比较然区与极值点小的大小,得出土产所在的单调区间,从而得出该处函数
22、导数值的正负,从而结论得证.对于r(M)o问题,要结合基本不等式，后0).当时o时,但,函数人力在(a+8)上单调递增,.()的单调递增区间为(0,+oo).当0时,由尸(X)0得.由(O得OVX技.j()的单调递增区间为仁,+8),单调递减区间为(Om(2)证明XpX2是方程/()的两个不等实根,.0.不妨设0芭|时/)5当0x”寸,/(x)即可,即证1+2x；+2xf-2汽,22x1+Iar1-x2-Inx22A-2即证n2x22,Bpln_受_ZX+ZZJl设f=五(00,则g()=ln-箸在(OJ)上为增函数,又g=0,c(0,1)时,g(/)0总成立,得证.【例2】已知函数f()=2
23、x+(l-2)lnx+g.讨论/(力的单调性.(2)如果方程f()=m有两个不相等的解号,且王0.【解析】(l),()=2+j_=2d+(l-,2a)j(ta)(2x+l)*o)XX广X当at,0时,tg(0,+oo)J(%)0J(x)单调递增.当0时,Xw(0m)()0J(力单调递增.综上,当小0时,/(在(0,+8)上单调递增.当0时,/)在(OM)上单调递减,在(,+8)上单调递增.(2)证明由(1)题知，当O时,f(力在(O,+oo)上单调递增,/(力=m至多有一个根,不符合题意.当40时,/(x)在(0,)上单调递减,在(,+8)上单调递增,则f,(a)=0.不妨设0X10,即证”广
24、a,即证$+乙2。,即证x22-jH在m+co)上单调递增,即证W)(20F),又，(七)=/(百)，即证/()/(%3),即证f(+x)/(-x),其中=-x,xc(0,).令g(x)=(+x)-(x)=2( + x) + (1- 2)ln ( + x)+ a j -：2(a-) + (1 - 2)ln (-x)+ a - a-X=4x+(l-2a)n(ax)-(l-2a)n(a-x)+-a+xa-xF(X) = 4 +-2a -2a aa + x a-x ( + x)2 (xj4+2。”)CT -Xi2a(a2+x2)4x2(x1-a2-a)(+x)2(-x)2(+x)2(-x)2当(0,
25、)吐g(x)v,g(x)单调递减又g(O)=+O)Tg-0)=0,当XW(OM)时,g(X)g(O)=0,即/(+x)/(2。f)后习0、)【例3】设函数/(*)=-如+(eR)淇图像与X轴交于A(,0),8(w,0)两点,且X1x,.求实数。的取值范围.证明:r(M)O在R上恒成立,不合题意.当。0时,易知,x=ln为函数/(x)的极值点,且是唯一极值点.故(IM=。(2-1M.当“XL”.。,即0,e20,()至多有一个零点,不合题意,故舍去.当/U)e之时,由/=e0,且/(x)在(YOJna)上单调递减，故/(%)在(Ijna)上有且只有一个零,点.由f(nc)=-2alna+a=a(
26、a+-21n).2令y=4+1-2)na,a/,贝IJ/=10,故a+-2nae2+1-4=e2-30.(lna2)0,即在(Ina,2Ina)上有且只有一个零点.二.ac2.由题知,/(x)在(Flna)上单调递减,在(Ina+8)上单调递增,且/(l)=eO.1xllnx221na,要证百/)0,只需证a,即证JXlX?In.又yxx2广,故只需证取+x22na.令(x)=f(x)-f(2na-x)=ex-ax+a-e2ax+a(2na-x)-a=ex-a2ex-2ax+2analxl116f.则”(x)=炉+aex-2a.2品XaleT_勿=0,.,.h(x)在(IJna)上单调递增.MX)Ven-2elnfl-2ana+2ana=0,即f(x)/(21na-x).:.f(xi)f(2na-x1).又/(XJ=/(巧)，:/(毛)ln,2na-x1ln,且/(x)在(Ina,+)上单调递增，.x221n-x1,即x1+x221n.Jx2)0.
