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1、,3.4 极值与凹凸性,3.4.1 函数的极值,定义3.1,的一个极大值(或极小值),如果在 x0的,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点x0称为极值点.,设 在 x0 附近有定义,某个空心邻域内,恒有,注意:极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉及函数在一点附近的性质.,定理3.4(极值的必要条件),注意:可导函数的极值点必定是驻点,例如,但驻点不一定是极值点.,则必有,设 在点 处可导,且在 处取得极值,的驻点.,另外:连续函数的不可导点,也可能是极值点.,例如,设函数 在 x0 处连续,定理3.5(极值的第一充分条件),在 x0的某个空心,邻域内可导,则,(1)如果 有,而,
2、有,则 在 处取得极大值;,(2)如果 有,而,有,则 在 处取得极小值;,(3)如果当 及 时,符号相同,则 在 处无极值.,是极值点情形,不是极值点情形,求函数极值的基本步骤:,(3)求出各极值点处的函数值,得到相应的极值.,(1)求出 的所有可能的极值点,即的不可导的点和 的点;,(2)对(1)中求得的每个点,根据 在其左、右是否变号,确定该点是否为极值点.,如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点;,例1 求函数 的极值.,解,极大值,极小值,函数在其定义域 内连续.,导数不存在;,不存在,无极值,不存在,定理3.6(极值的第二充分条件),注意:,则,设 在 处具有二阶导数,且,
3、(1)当 时,函数 在 处取得极大值;,(2)当 时,函数 在 处取得极小值.,此时仍需用定理3.5.,极大值,极小值,解,定义域为,例2 求函数 的极值.,图形上任意弧段位于所张弦的上方,3.4.2 曲线的凹凸性及拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的下方,恒有,设 在区间I 上连续,定义 3.2,如果,恒有,如果,定理3.7,解,定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线的拐点.,例3 判断曲线 的凹凸性.,定理3.8(拐点的第一充分条件),设函数 在 x0的某邻域 内连续，,在空心邻域 内 存在,(1),(2),定理3.9(拐点的第二充分条件),曲线 的拐
4、点.,解,凹的,凸的,凹的,拐点,不是拐点,例4 求曲线 的拐点及凹凸区间.,函数在其定义域 内连续.,不存在,例5 证明,证,所以曲线在 上是严格向下凸的.,有,即,性质,有,则,其中,证,例6 证明当,设,则,即,1.铅直渐近线(垂直于x 轴的渐近线),3.4.3 函数图形的描绘,一条渐近线.,移向无穷点时,如果点P到某定直线L 的距离,趋向于零,如果,例如,有两条铅直渐近线:,2.水平渐近线(平行于x 轴的渐近线),例如,有两条水平渐近线:,如果,3.斜渐近线,斜渐近线求法,如果,或,若,且,注意:,解,如果,定义域为,例7 求 的渐近线.,不存在;,不存在;,可以断定 不存在斜渐近线.,所以,是曲线的铅直渐近线.,所以,是曲线的一条斜渐近线.,(1)确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.,和拐点.,(2)确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势.,确定曲线的凹凸性,(4)适当计算曲线上一些点的坐标,如极值,拐点,的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点.,函数作图的具体步骤可归纳如下:,(3)求出函数的单调性和极值,例8 描绘函数 的图形.,解,函数非奇非偶.,定义域为,水平渐近线:,不存在,拐点,极小值,间断点,无斜渐近线.,列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:,铅直渐近线,作图,拐点,极小值,补充点,水平渐近线:,垂直渐近线:,
