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1、1,高等数学,第十二讲,2,第九章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,3,一元函数的极值,一元函数,存在,1）若在,的某领域内,则,为极大（小）值，,为极大（小）点。,2）若,为极值点,（必要条件）,3）若,4）若,3），4）为极值存在的充分条件。,与一元函数类似，可利用多元函数的偏导数解决,多元函数的极值问题。,4,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,5,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点
2、(0,0) 无极值.,6,7,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,8,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明见 第九节(P122) .,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,9,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.
3、,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,10,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,11,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,12,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最
4、值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,13,解,如图,例1,14,15,16,解,由,例2,17,例3.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,18,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的
5、无条件极值问题。,对自变量只有定义域限制。,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制。,例如 ,19,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,20,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,21,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,22,例1.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设
6、,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,23,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,24,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),例2,则,25,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知，点 C 与 E 重合时 ,三角形面积最大。,26,解法一,则,例3,将,代入（4）,27,则,例3,解法二,28,例4 设在锥面,解法一,与平面,的锥体内，作底面平行于,平面的长方体，求长方,解
7、得唯一驻点,体的最大体积V。,所围成,设,最大体积V,29,例4 设在锥面,解法二,与平面,的锥体内，作底面平行于,平面的长方体，求长方,体的最大体积V。,所围成,最大体积,得,令,30,例5. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,31,例6：某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本,不同，第一个工厂生产,件产品和第二个工厂生产,件产品时的总成本是;,若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总,成本最小。,解：根
8、据题意是求,在条件,下的极值。,作辅助函数：,代入,得：,根据题意可知：当第一个工厂生产125件产品，第二个,工厂生产375件产品该公司的总成本最低。,32,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法；,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法。,33,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,
