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1、一、函数的单调性,二、函数的极值,四、函数图形的描绘,三、曲线的凹凸性与拐点,五、小结 思考题,2.4 导数的应用,一、函数的单调性,定理,1单调性的判别法,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,2单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,证,注意:区间内个别点导
2、数为零,不影响区间的单调性.,例如,二、函数的极值,1函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,2函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,三、曲线的凹凸性与拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,1曲线的凹凸性,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,1凹凸
3、性的判定,定理1,例1,解,注意到,2、曲线的拐点及其求法,拐点的定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,拐点的求法,证,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,例4,解,四、函数图形的描绘,如果函数 f(x)的定义域上的某个小区间中,（1）单调性已知；,（2）凹凸性已知；,（3）区间端点的位置已知或变化趋势已知；,那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形,1渐近线,定义:,(1)铅直渐近线,(vertical asymptotes),例如,有铅直渐近线两条:,(2)水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,(3)斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例1
4、,解,2函数图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,3函数作图举例,例2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,例3,解,偶函数,图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,例4,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,五、小结 思考题,1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，
5、结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),2.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,3.曲线的弯曲方向凹凸性；凹凸性的判定.,改变弯曲方向的点拐点;拐点的求法.,4.函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,思考题,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,思考题,下
6、命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,思考题,在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔内部的直径为d,并且在地面处开了一个高为H的小门.现在要对水塔进行维修施工，施工方案要求把一根长度为l(ld)的水管运到水塔内部.请问水塔的门多高时，才有可能成功地把水管搬进水塔内？,水管运进水塔时,一端在地面上滑动,另一端在水塔壁上垂直滑动.设水管运动过程中,在入门处的高度为h,水管与地面的夹角为 根据题意可知：,现在计算h的极大值.,解 建立如右图示坐标系.,思考题,某杂技团刻意求新,在某海滨城市演出时,利用当地靠海的条件,设计了这样一个节目：在离开海边9米的沙滩上,建一10米高台
7、,高台下5米处置一极富弹性的斜面(用弹簧编织而成),斜面与水平面成 角.然后让演员从高台团身跳下,与斜面碰撞(假定为弹性碰撞)后将其弹到海里.不知这个方案是否可行，请鉴定.,分析：如右图示,演员的表演分三个阶段完成：自由落体,碰撞,平抛.判断该方案是否可行,就是看经过这样,的运动之后能否平安地落入海中.这只需计算平抛阶段的水平距离是否大于9米即可.,记高台、高台距斜面的高度分别为H和h,显然,s是h的函数,问题转化为求s(h)的极大值.,演员碰到斜面时的速度可计算得,由于假定是弹性碰撞，因而他水平飞出的速度,演员从(H-h)处自由下落需要的时间为,故演员水平飞出的距离为,即把斜面放在全高的一半处,就可得到最大的水平距离.即,飞出的距离可达10米,而高台离海边仅9米,故方案,是可行的.,思考题,思考题解答,例,思考题,思考题解答,练 习 题(一),练习题(一)答案,练 习 题(二),练习题(二)答案,练 习 题(三),练习题(三)答案,第五题图,练 习 题（四),1图,2图,二、,练习题（四)答案,三、,练习题（四)答案,
