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1、蒙日圆的定义.证明及其几何性质微点1蒙日圆的定义、证明及其几何性质【微点综述】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”.本微点主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质.1 .人物简介加斯帕尔蒙日（GaspardMonge,17461818）,法国数学家、化学家和物理学家.生于博恩的平民人家.蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不息，少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，14岁时就能造出消防用的灭火机，16岁毕业，留校任物理学教师.接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，年仅22岁就初创“画法几
2、何学”，23岁时任该校教师.26岁时被巴黎科学院选为通讯研究员.29岁时任皇家军事工程学院“皇家数学和物理学教授”.34岁时当选为科学院的几何学副研究员.38岁时被任命为法国海军学员的主考官.46岁时任海军部长8个月.51岁时任法国著名的综合工科学校校长.72岁在巴黎逝世.蒙日所处的时代，人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他的“画法几何学还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就
3、.蒙日是19世纪著名的几何学家他创立了画法几何学推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论,引导了纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就.他的大炮制造工艺在机械制造界影响颇大.主要著作有：曲面的解析式（1755静力学引论（1788画法几何学（1798代数在几何学中的应用（1802分析在几何学中的应用（1805）等.2 .蒙日圆定义及其证明先来看一道高考题：例1.(2014年高考广东理20)已知椭圆U*g=l(b0)的f焦点为(有,0),离心率为乎.(I)求椭圆C的标准方程；(11)若动点尸(不，为
4、)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.【解析】(】)可知。=有，又e=或=*,/.=3,从=/一。2=9-5=4,故椭圆。的aa5标准方程为：+二=1.94(11)设两切线为44,当/Jx轴或4X轴时，对应4X轴或4Ll轴,可知P(3,2)或P(3,2).当与r轴不垂直且不平行时，/*3,设(的斜率为攵，则女工。，2的斜率为-;，4的方程为)-为=(一%),联立f=,得(9d+4*+18Myo-K)X+9(%-5一4卜0,Y直线与椭圆相切，,A=O,得(18)2(yo-)2-36(yo-)2-4(924)=O,4(yo-)2-4(92+4)=O,整理得(-9)-2
5、xoyo+-4=O(*),.4是方程(*)的T根，同理一是方程(*)的另一个根，其中XoH3,.点2的轨迹方程为炉+9=13(户3),又63,2)或尸(3,2)满足上式.综上知：点P的轨迹方程为V+/=13.【点评】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.例1中的圆是蒙日的画法几何学中有一个有趣的结论(可以形象的称为筷子夹定理)：【定理1在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如
6、图1.如图1,设椭圆的方程为。卷=1（稣匕0）厕椭圆两条互相垂直的切线而，尸8交点唯轨迹是蒙日圆：八丁=+从.证明：证法一（解析法+韦达定理）：当题设中的两条互相垂直的切线小,PB斜率均存在且不为。时，可设PaO，%）（XO士4且治工），过P的椭圆的切线方程为MX-X0），y-%=MXTO）（2工0）,由b0）两条互相垂直的切线尸AdB交点产的轨迹是蒙日圆：i+y-=a+b.证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）：当题设中的两条互相垂直的切线姑，PB斜率均存在且不为。时，设P（%,%）（%且%工功）,切点A（X,）,B（z,%KVlAiy20）,则切线华+空=1,小岑+岑=1.a
7、bCrb线他的方程为青督=尸小，）在切线%/3上，了.学+$=1,竽+繁=1,由两点确定一条直线得直MoB=机3=管J%)(3%)=7,可得，（寸-码化i J（私机42）即在圆的方程为介I,又在直线居学+火山+2a2b2x0yJ+b4(x2-6f2)=0二，4（一片）_（片一/）.屋E）至=QZZ1又(PAPR)(k(MkOB)=PAPB由已知PA_LP&-.。（B=T,2E=T,.+=/+从，点尸的坐标满足方程Y+=2+.当题设中的两条互相垂直的切线PA，PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点P的坐标为（a,b）或（,b）,此时点尸也在圆/+V=/+上综上所述：椭圆J+=l（）两条互相垂直的切
8、线P4P8交点的轨迹是蒙日圆:X2+y2=a2+b2.先给出几个引理，然后给出证法三蒙日圆的几何证法.【引理I】（椭圆的光学性质）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图2所示）.证明：如图3所示，设P为椭圆（其左、右焦点分别是TE）上任意给定的点,过点P作/6PK的外角平分线所在的直线/（N3=N4）.先证明/和相切于点P,只要证明/上异于P的点P都在椭圆的外部，即证1用+PEP耳+p周.在直线P匕上选取点尸，使PFf=PF2l得PPFqPFa咨PP.PF=PF?,可得1制+P闾=P制+PU耳Fl=山r+Pk=IP周+p闾.再过点。作NKPE的平分线P
9、A（Nl=N2）,易得尸A，/,入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.【引理2过椭圆（其中心是点O,长半轴长是）的任一焦点F作椭圆的任意切线/的垂线，设垂足是H,则IoM=.证明：如图4所示，设点I分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆厂的切线/上的切点，又设直线尸”,FA交于点B.由引理1,得NaiH=NZAu=N84（即反射角与入射角的余角相等），进而可得AFAHBAH,J点H是FB的中点，得OH是MFF的中位线.又M=IAM,QM=g（IF+AB）=g（IM+A尸）=.【引理3】平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明：这里略去过程（可用余弦、可作垂线、可用坐标）.【弓任里4】设
10、点尸是矩形ABCD所在平面上一点,则PA2+PC2=PB2+PD2.证明：如图5所示,设矩形ABC。的中心是点0.由弓任里3,可得PA2+PC2=2(OA2+OP2)=2(OB2+OP2)=PB2+PD2即欲做立.把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等.下面给出定理1的证法三.证法三(几何法)：不妨设O.当a=O时，易证成立.下面只证明ab的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是小入，焦距是2c,过动点P的两条切线分别是PMJN.连结”,作。GJ_PM,O_L/W,垂足分别是G.过点K作O_LPM,垂足为。，由引理2得IOq=。.再作KK_
11、LOG于K.记NOGK，得IDGl=旧用=CCOSe.由RtAOOG,得困?二囱2TDGI2=/cos2g又作F2ELPN,F2LlOH垂足分别为乙L.在RtB田中，同理可得：IOM2=IOEI2T时=a2.c2sin26,.(I)若PMsN,得矩形OGPH,Iozf=2+O2=(a2-c2cos29)+(a2-c2sin260)的两条切线Q为原点，则Po平分椭圆的切点弦AB.证明：P点坐标伍，%),直线OP斜率3=资，由切点弦公式得到AB方程誓+誓=1,oaDj2.2%J=一滔:，OPAB=21由点差法可知，OP平分A3,如图例是中点.【定理6】设P为蒙日圆。：/+/=/+加上任一点，过点P
12、作椭圆*+S=(oo)的两条切线,切点分别为A,3,0为原点延长PA,PB交蒙日圆O于两点CQ,则CD/AB.证明：由定理5可知，M为AB中点.由蒙日圆性质可知，ZAP3=90。，MA=MB=叱，同理OP=OC=OD,因此有NEW=ZA/W=NC尸O=N尸CO,AB/CD.由定理3和定理6可得如下的定理7：【定理7】设P为蒙日圆04+V+上任一点，过点P作椭圆2W=l(00)的h2两条切线，交蒙日圆O于两点C,D,则。儿的斜率乘积为定值自小及=-=.22【定理8】设/)为蒙日圆/+V=/+/上任一点，过点/，作椭圆,+*l(AO)的两条切线，切点分别为A,8,0为原点，则。AQ的斜率乘积为定值
13、：L%=q.【定理9】设尸为蒙日圆人)+从上任一点过点P作椭圆5+%=(bo)的两条切线，切点分别为4,尻。为原点，则SM犯的最大值为半，S,的最小值为-.2cr+hz22【定理10设P为蒙日圆Y+y2=+上任一点，过点P作椭圆*+方=i(7o)的两条切线，切点分别为Al,则SAm,的最大值为FJ,S.的最小值为FJ.a2+ba+b2,【定理11】设尸为蒙日圆/+)2=/+)2上任一点，过点P作椭圆*+g=lSb0)的两条切线，切点分别为AI,则椭圆切点弦AB的中点E的轨迹方程是【定理设夕为蒙日圆O*+y2+上任一点过点。作椭圆W+=的两条切线，a-Zr交椭圆于点A,8,0为原点，则O,P到A
14、B的距离分别为4，W,则4，4乘积为定值.证明：如图所示,设PNa2+ycos,。?+/sin。),贝Il直线AB的方程为h2Ja2+h2cosya2Ja2+h2sin-a2b2=0,a2h2则原点O到直线AB的距离为4=如+叫Wsit办/cc则点P到直线AB的距离为产色+)COS2O+)(/+卜疗O-/1分尸COS?0y(a2+h2a4sin2+h4cos2J(+12)(sin?J+b,cos26)Ia4sin2+b4cos2=V77P，2244=-(定值)a+n4蒙日圆的应用例2.(2022吉林抚松一中高二月考)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线
15、的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:二+二=l(0)(aX)的蒙日圆Y+y2=4,a=()a+2aA.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在Y与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(0,G),(2T,),则两条切线分别是X=应77,y=8,这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为,而P在蒙日圆上,(27？)2()2=4廨得=1,故选A.【点评】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值.例3(2022安徽舒城中学三模期椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点
16、都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆uf=l(4)的蒙日圆的半径为2J,则椭圆C的离心率为.【答案】咚2【分析】由蒙日圆定义可知夕(42)在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得小,由此可求得椭圆离心率.【解析】过飞，2)可作椭圆。的两条互相垂直的切线X=和.v=2,.P(4,2)在蒙日圆上，/.ya2+4=2/3,解得:/=8,，椭圆C的离心率e=乎.【点评】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：(1)根据已知条件，求解得到。工的值或取值范围，由。=求得结果；a(2)根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式,配凑出离心
17、率。，从而得到结果.例4.过椭圆+4=l上一点M作圆x2=2的两条切线，切点为AS,过AI的直线94与4轴和)轴分别交于p，Q,则APOQ面积的最小值为.【答案】I【分析】设出M点坐标，根据相切关系分析得到AB的直线方程，由此表示出尸,Q的坐标并表示出APOQ的面积,再根据M在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值.【解析】设M(XO，%)，从点坐标为(3),8点坐标为(9,%),VM42+oa2=o2,b2+ob2=om2化耐得,工与再是方程(2(2)5+%5=2的两个解，直线43的方程为.%工+%产2,/.P-,0,Q0,且oNOJAPOQ的面积梓*峥Ifvo3,品若，取等号时=y,即一=
18、T或二W,综上可知：ZXPOQ面积2的最小值为:.【点评】结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：(1)过圆/+V=/上一点PaUyo)作圆的切线则切线方程为9+%),二,；(2)过圆/十丁=产外一点p(%,%)作圆的切线，切点为AB,则直线A4的方程为v+%y=/.例5.已知椭圆方程为a+=l(bO),过椭圆夕一点P可以做出两条切线(如图一)，我们形象的称为“筷子夹汤圆”.若P点在变化过程中，保持两根“筷子垂直不变，则P到原点的距离始终为一个定值，即P的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是.若矩形ABC。的四条边都与该椭圆相切(如
19、图二)，则矩形ABCD的面积最大值为.【答案】+r=22（a2+b2）【分析】根据特殊位置0点的坐标，求得“准圆”的半径，由此求得准圆方程.根据圆内接矩形的几何性质，求得矩形ABCZ）面积的最大值.【解析】由于“准圆”上的点P至嫄点的距离始终为f定值，不妨取P（a，。），如下图所示.蛇到原点的距离为77万，准圆”的半径为7寿，“准圆”的方程为f+V=/+/由于四边形ABCz）是“准圆”的内接矩形，对角线AC、5。是“准圆”的直径，OA=OB=OC=OD,当AC_L3D时，矩形ABCD的面积最大，最大值为【点评】本小题主要考查新定义圆的概念的理解和运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.例
20、6.(2022江苏南京十三中高三开学考试)定义椭圆C:=l(”0)的豫日圆”的方程为F+V=/+从，已知椭圆C的长轴长为4,离心率为e=g.(I)求椭圆。的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(2)过豫日圆”E上的任意一点M作椭圆。的一条切线M4,A为切点，延长MA与蒙日圆”点E交于点。，。为坐标原点，若直线OM,。的斜率存在，且分别设为勺，玲，证明：为定值.【答案】()C:g+!=l；E：X2+/=7；(2)证明见解析.43【分析】(1)由题意可得=2,C=I,再由从可求得从=3,进而可求出椭圆。的标准方程和它的“蒙日圆”七的方程；(2)当切线始的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为y=fc
21、r+m,然后将直线方程和椭圆方程联立，消去,再由判别式等于零，可得4=3+4/,再将直线方程和“蒙日圆”E的方程联立，消去)，再利用根与系数的关系可得x,+x2=三,中2=B，然后求2的值，当切线MA的斜率不存在且为零时，再求解仁人的值即可【解析】(1)解：由题意知2a=4,e=-=-t.c=l,.h2=3a2椭圆的方程+V=l,，“蒙日圆”E的方程为炉+V=4+3=7,即f+),2=743(2)证明：当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线Ml的方程为尸质十，y=kx+m则由二+=,消去y得(3+4*)d+8欣+4病-12=0,T+T-.=64n2-4(3+4k2)(4n2-12)=O,:,m
22、2=3+4k2,由心，消去)，得(1+公卜2+2依+?2_7=0,.=4w2-4(l+2)(w2-7)=4+12A:20,设M(XQJ,。(孙必)，贝”，中2=，_y1y2_(Ax1+m)(kx2+m)k2xix2+km(xl+x2)+nrKtKy=X1X2X1X2rr-1,-2mk2r+协+2,2_+k2+k2J-7kwr-7 + k2Z，C,2-m2-7k23+4公-7&23m=3+4K,/.k#,=；=-：=1-/一73+42-743当切线MA的斜率不存在且为零时，k&=W成立，=3为定值.【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置的关系，解题的关键设切线始的方程为.V=区+，
23、先与椭圆方程联立,消去y,由判别式为O,得加=3+42,再和“蒙日圆”上的方程联立，消去，再利用根与系数关系和斜率公式化简可得结果.例7.法国数学家加斯帕尔蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果,我们22定义：给定椭圆匚，+m=1(。60),则称圆心在原点O,半径是7寿的圆为“椭圆C的伴随圆”，已知椭圆CJ+/1(”)的一个焦点为诉0),其短轴的一个端点到焦点厂的距离为6.(1)求椭圆C和其“伴随Er的方程；(2)若点A是椭圆C的“伴随圆”与X轴正半轴的交点，氏。是椭圆C上的两相异点，且轴，求A8AO的
24、取值范围；(3)在椭圆。的“伴随圆”上任取一点P,过点P作直线4、/2,使得4、/?与椭圆。都只有一个交点，试判断4、，2是否垂直?并说明理由.【答案】(1)C：+=lJ半随圆”方程为r+V=4;(2)10,7+4)；(3)垂直，理由见解析.【分析】(1)首先根据题意得到c=,且a=用下=6，可得人=1，从而得到椭圆C和其“伴随圆”的方程.(2)首先设8(中),D(m,-n),(-3n3),得至148.40=3卜一|，从而得至1AA4O的取值范围是,7+4J).(3)首先设P(s,),三Jr+r=4,当时，f=1,易得,当6时，设/的方程为V-Z=Mx-S),代入椭圆C方程可得(3公+1)/+
25、6依抬口+3(抬)2-3=0,根据A=O得到(3-s24+2s+l=0,从而得到堆2=-1,即可得到答案【解析】(1)由题意知C=应，且历”=G,可得。=1,故椭圆。的方程为1+y2=,其“伴随圆,方程为/+y2=4(2)由题意，可设见?,)，D(-n)t(-3n3),则有+2=i,又A点坐标为(2,0),故AB=G-2,)/AZ)=W-2,-)，AB-AD=(n-2y-n2=m24n+4-l-=m24m+3=m-r又Smb0)上一点，从原点。向圆R：(XTO)2+(y-加)2=8作两条切线，分别交p、Q两点.(1)若R点在第一象限，且直线OP_LOQ,求圆R的方程；(2)若直线OP、OQ的斜率存在，并记为kk2,求krk2；(3)试问0P2+02是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
