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1、限时训练24：第二章圆锥曲线解答题专项每日一练（限时20分钟）（把意念沉潜得下，何理不可得，把志气奋发得起，何事不可做。）1 .如图，直线卜=葭与抛物线交于AI两点，线段A3的垂直平分线与直线y=-5交于。点.2o（1）求点。的坐标；（2）当户为抛物线上位于线段A3下方（含AB）的动点时，求AOPQ面积的最大值.2 .如图，椭圆m;=l(bO)的离心率为近，直线x=a和=。所围成的矩形ABCD的面积为8.aiZr2(I )求椭圆M的标准方程;(II)设直线/：y=X+,(帆WR)与椭圆M有两个不同的交点尸,QJ与矩形ABCD有两个不同的交点S,r.求闸ISTl的最大值及取得最大值时m的值.限时
2、训练25：第二章圆锥曲线解答题专项每日一练(限时20分钟)(立志是事业的大门，工作是登门入室的旅程。)221.设椭圆二+q=l(a60)的左、右焦点分别为不亮，A是椭圆上的一点，AF2FiF2,原点。到直线的距erZr离吗M(I)证明=Jb;(II)设2,Q为椭圆上的两个动点，OQlIOQ2f过原点O作直线。卫2的垂线OQ,垂足为O,求点。的轨迹方程.2.如图，RE分别是椭圆C：ft0)的左、右焦点，d是椭圆C的顶点，S是直线NE与椭圆C的另一个交点，_石.尼=60。.(I)求椭圆C的离心率；(II)已知/月8的面积为4oj,求,b的值.限时训练26：第二章圆锥曲线解答题专项每日一练(限时20
3、分钟)(有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。)=4的焦点在X轴上(I )若椭圆E的焦距为I,求椭圆E的方程;(II)设,E分别是椭圆的左、右焦点，尸为椭圆E上第一象限内的点，直线三尸交J轴与点。，并且弓尸一6，证明：当。变化时，点尸在某定直线上.2.在平面直角坐标系XQy中，尸是抛物线U=20,(pO)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,3过M,E。三点的圆的圆心为Q,点。到抛物线C的准线的距离为4.(I)求抛物线C的方程；(II)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(In)若点”的横坐标为&,直线/：y=+；与抛物线C有两个不同
4、的交点A8,/与圆。有两个不同的交点D,E,求当gA2时，A卸2+|。目的最小值限时训练27：第二章圆锥曲线解答题专项每日一练(限时20分钟)(虽长不满七尺，而心雄万丈。)1 .已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2.0)为其右焦点.(I)求椭圆C的方程；（三）是否存在平行于OA的直线L,使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4?若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由.2 .如图，直线Ly=Kb与抛物线C:/=4），相切于点A.（1）求实数人的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.参考答案：1. (1)(5,-5)；(2)最大值30
5、【分析】(1)把直线方程抛物线方程联立求得交点A,8的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用48的斜率推断出48垂直平分线的斜率，进而求得48垂直平分线的方程，把)，二5代入求得Q的坐标.(2)设出/的坐标，利用?到直线OQ的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得。的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形。PQ,利用X的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值.1【详解】解：(1)解方程组；得IC或Iy=l-4U=U=48即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由KAB=g，直线AB的垂直平分线方程y-=-2(x-2)令yf得x=5,Q(5l5)(2)直线OQ的方
6、程为x+y=0,设P点P到直线OQ的距离d=2FPQ=T囤d*f+8x-32卜TP为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，/.4r434或4J45x2+8nx+4n2-4=0,y=x+m,设尸(为,凹),。(工2，%)，贝U%+x2=-n,x,x24z74,由A=64机220(472-4)0得_石m6.心叫产竽C当/过A点时，7=1,当/过。点时，机=-l当-4m一1时，有S(TW-1,-1),T(2,2+?),IST=2(3+2,PQ4I5-m2446阿7=时尸7其中r=w+3,由此知当，=,即f=1,/=一c(一百,一1)时，袅取得最大值由对称性，可知若1根6，则当m二：时，喀
7、取得最大值有.当一 l2b(II)点O的轨迹方程为/+V=【详解】(I)证法一：由题设AEJ_鸟及耳(-c,0),r(c,0),不妨设点4c，y),其中y0.由于点A在椭圆上，有即学+】解得),=与，从而得到AP直线AK的方程为y=&一(x+c),整理得从1-2y+Z2c=02ac1卜2由题设，原点。到直线AK的距离为To用，即彳=F=，33次+44将2=/一从代入上式并化简得6=22,即=J%.证法二：同证法一，得到点A的坐标为(GQla由椭圆定义得|4制+|4周=2%又忸0| = ；|0用，毕。S /,故耦=跳研E1外AL画以3M2a-F2At解得I居川=9,而因AI=，得工=，即。=扬.
8、2aa2(11)解法一：设点。的坐标为(%,%).当为w时，由。，。2知，直线OQ的斜率为一无，所以直线。Q的方程为Ao2(X-X0)+y0,或.V=收+?，其中女=一迎，n=y0+-.%NOy=Ax+m,点2(如力)，。2*2,)的坐标满足方程组，以，X+2y=2b.将式代入式，得+2(kx+m)2=2从，整理得(1+2k2)x2+4hnx+2m2-2b2=Of于是玉+/=一4km1 + 2公2m2-2b1+22由式得)y2=(心i+fn)(kx2+m)=k2xlx2+hn(xi+x2)+k2,22m2-2b2.-Akin2nj2-2b2k2=K；+m+n=；.+2k2+2k+2k2由OQ1
9、OQ2知三。V.V.=0.将式和式代入得3加.乃226公=0,+2k3mi=2b2(+k2).将4二相=No+代入上式，整理得x；+y；=.0NO3当第=0时，直线0。2的方程为为=。，Q,），Q（X2,为）的坐标满足方程组X=X，x2+2y2=2b2.所以 N=X2 = o , ylf2 = 由。QJoQ知乂兑M=0,即/一丝尹二0,7解得片这时，点。的坐标仍满足其+尤=7.7综上，点。的轨迹方程为XJo=2解法二：设点D的坐标为，NO）,直线。的方程为o-y=0,由，垂足为D,可知直线QQ的方程为V+y0y=片+y：.记OO_LQQ（显然z0）,点QG，弘），2H）的坐标满足方程组x+2y
10、=2b由式得=/一才0%.由式得J22y-y2=2渭.将式代入式得M/+2（机一XoX）2=2y1b2.整理得（2后+y；）x2-4mu0x+2m2-2h2y1=0,262一必;2片+W由式得y0y=m-x0x.由式得封+2xly2=Ixlb2将式代入式得Mi+25l/x)2=2y1b2,整理得QE+yi)y2-2my0y+m2-叫=0,曰nr-Ilr4于是m=由OQj.OQ?知乂。I”、=。.将式和式代入得:=二K+：二2下二o,2拓+券2芯+笠3m2-2Z2(+yJ)=0.7将0。_LQQ代入上式，得+9所以，点。的轨迹方程为片4. (I)y(11)a=10,Z?=53【详解】(I)由题石
11、工外=60。，则箓=5=sin3O。=,即椭圆C的离心率为(II)因M弓B的面积为40设次台,为)，又面积公式S=2cx(yA-yB)=cx(yA-yB)=40/3,又直线AB:y=-5(x-c),14又由(I)知C=联立方程可得2+3(-c)2=.b2,整理得；02炉+3。2(_9)2=2.12,解得出=,%=-半,所以却冬+噜)=4j,解得a=0,b=5y3.5. (I)+-=1（三）见解析53【详解】(1)由题意2c=l,得C=；,Wa2-(I-2)=I所以/=初2=：488所以椭圆的标准方程为8x2Sy2.53(2)设P(b,%)(lO,%O),K(-c,0),6(c,0)VX-C-C
12、直线PK的直线方程为上当X=O时，y=-Jo,y0“0-cXo-C故。点坐标(。，二上为),xoc由题意与产Q=O得(%+c,%)(-V0)=0XLC即(4+c)c-必一=0解得疗=行一/=、(勿：又P点在曲线上，+=,解得/=/,%=_/-1a则尸点在定直线+y=.根据题意确定C的大小，以及/=+/,可以很快求出椭圆E的方程，但容易弄混长轴长(2a)、短轴长(26)和焦距(2c)的概念，简单题；第(2)属于定直线问题，对于定直线问题，需要根据题意确定动点的坐标，再确定动点横纵坐标的关系，其实是变向的考查求动点P的轨迹方程问题，本题可以设出。点的坐标，根据垂直关系，利用向量或斜率求出户的坐标关
13、系式，再利用P在圆锥曲线上，即可求出P点坐标，继而能够确定尸点在定直线上，属于中档题.【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线与直线，直线与椭圆的位置关系.6. ：(I)X2=2y.(II)存在，点M的坐标为(,1)(III)当k =；时，1A域+I/:的最小值为*如图,取行的中点M则”L*即。N+H*%d所以抛物线C的方程为2 =2y.(II)设存在点M使得直线MQ与抛物线C相切于点M1。，3片由V =工得切线MQ的斜率为攵=%,直线MQ的方程为代入y得。在+专，；由回=IMa 得(在+*)= x(r+ +x化简得片=2.因M是抛物线C上位于第一象限内的点，所以毛=JI所以所求的点M
14、的坐标为(I1)f52 (III)由(II)可知。V- ,OQ到直线/的距离的平方为25 k2、27 25 k2 251 = .32 + k2)88 + k2 8(1 + 2) 4 ,所以 IoE=4X2=2y联立,1得以-=4-+2V=Alv+-4所以|隅2=(1+/ff=(1+42)(必2+2),W+2=(1+巧W+2)+i+令1+r=，,由于Qg)为增函数，所以gin=g0号.即当A=；时，IA优+由的最小值为程【考点定位】本题通过抛物线和圆的性质确定抛物线方程，呈现出对基础知识的考查.并进一步把问题深化，考查了切线方程的求法，点到直线的距离公式，曲线的弦长运算等，最后通过导数工具求得结
15、果,有很强的综合性，着力体现了能力考查7. (I)上+上=1(II)不存在.1612【详解】试题分析：(1)先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得C和a,进而求得b,则椭圆的方程可得.(2)先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y,进而根据判别式大于O求得t的范围，进而根据直线OA与1的距离求得3最后验证I不符合题意，则结论可得试题解析：(1)依题意，可设椭圆C的方程为二+=1,且可知左焦点为F(20),abc=2从而有Ga=A目+A曰=8解得c=2m=4又a?=/；?+。?所以=2故椭圆C的方程为2，三十16123y=-x+t32(2)假设存在符合题意的直线/,其方程为
16、y=9r+/由,=得3+3戊+/2=0,2V1+=11612因为直线/与椭圆有公共点，所以有A0解得-4否4G,另一方面，由直线OA与/的r距离4=亡从而2而，由于2如任-46,4百,所以符合题意的直线/不存在考点：L椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线的综合问题8. (1)b=-l；(2)(x-2)2+(y-l)2=4.【分析】(1)联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程=(),即可求得6的值；(2)将(1)中所得的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线C的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程.【详解】(1)直线/：尸口。与抛物线U=4y相切于点A.,(y=x+b,、则+(y-l)2=4.【点睛】本题考查由直线与抛物线相切求参数,抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法,属于基础题.
