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1、专题1-8数列求和14类题型一网打尽MW/题型解读数列求和常见题型梳理【题型U错位相减【题型2】裂项相消（常规）【题型3】分组求和【题型4】裂项相消（进阶）【题型5】并项求和【题型6】倒序相加【题型752与Sa下标的讨论和处理【题型8】通项含有（-1）”的类型【题型9奇偶数列求和【题型10隔项数列求和（一皴并项求和）【题型11和为等比数列求和【题型12插入新数列混合求和【题型13】通项含绝对值的数列求和【题型14取整数列求和满了i瓦7数列求和常见题型梳理一、错位相减法类型一：%=%4（其中凡是等差数列，”是等比数列）类型二：,=1-（其中勺是等差数列，4是等比数列）bn二、裂项相消法类型一：等
2、差型111、11z11、-=7）；TjvJj77=（;7）n（n+k）knn+k（n-i）（n+1）2kn-kn+类型二：无理型I-r=(Vw+T-4n)yn+k+yn类型三：指数型(a-)a,_11(,+*+k)(ank)an+kan+l+k裂项相消进阶1、裂项相加：(-l)n例：J),；：；)=(_)：+7)，本类模型典型标志在通项中含有(T)乘以一个分式.对于=(-r+%可以裂项为“二(-i),t巴士包=(-rf-+4M川”an+)2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：n(n+1)=+1)(+2)一(一V)n(n+1)一般式,当公差为人时:3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函
3、数相乘例子:+22(n+)-n(2_1_1n(w+l)2n(n+)-2n-1ww+TjF-w2(w+l)2w一般结构a-)kn + ab + ak-b(攵一 b)女( + 1) + Z)an (kn-b)M + l) + b三、分组求和法3.1 如果一个数列可写成%二%2的形式，而数列%,是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.an为奇数3.2 如果一个数列可写成c“=(d/田3的形式，在求和时可以使用分组求和法.为偶数四、倒序相加法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和，心题型;【题型1】错位相减1.已知q,=
4、2-l,若数列出满足。自+%&+也=(23)2e+6,求和：Tn=a也+at,.lb2+岫.【答案】Tfl=32n+l-4n-6【详解】因为。4+生4+q=(2-3)2+6,所以albi+a2h2+TaT=(2n-5)2+6(2),两式相减得anbn=(2n-3)2+,6-(2w-5)2-6(2)=(2i-1)2w(2),又岫=2满足上式，所以allbn=(2n-l)2n(nN),又见二2-1,所以=2”.则7L=哂+a也T+-+an-lb2+=1x2+3x2T+5x2”-2+(21)x2,2=l2+l+32+52T+.+(2w-l)22,两式相减得：Tn=2+,+2+,+2rt+23-(2n
5、-1)2=*+8(1-21)-(2w-l)2=32+,-z-6.2.记数列“的前项和为。，且q=Iq=JG2).求数列q的通项公式；(2)设机为整数，且对任意7,m-+-,-,求AM的最小值.6%4f17=1,【答案】F2.3【分析】(1)由数列可与7；的关系可得%=2%(2),再结合等比数列的通项可得解：12n(2)利用错位相减法求出一+，结合范围即可得解.G。2an【详解】(1)因为q=1M=Ze(2),所以%=%=1,当“2时，a/I=Tft=Tn7+%=2。0,故”=422=2-2(2),且q=l不满足上式，故数列%的通项公式为an =1/ = 1,2n-n2.Cl2n(2)设S.=+
6、则S=l,aa2an当应2时,S=l+220+32-,+22n.故;Sz,=g+22+32+2j,于是=3+(2+2-2+22-)_25=g+l1klr?.2j22,2l-2l整理可得S,=7-5+2)22-,所以，6,所以符合题设条件的m的最小值为7O差比数列的其它处理方式（待定系数法）3 .已知为=(2-5)x2,求S”.【答案】勺=(2-5)x2=/l(+l)+4x2”“-(2+)x2=(/l+2；l+2，=2(=2l+=-5z=-9an=2(+1)-92n+,-(2-9)2n,Sn=2(w+l)-92rt+1+14=(2-7)2rt+,+14.【题型2】裂项相消（常规）4 .已知q=/
7、一,证明：+0,即可得证.n+anlnn+2J+1+2【详解】解：由%=y,则-=与%=&+1anw(w+2)(+2)2(n+2JKp-+J4416I6.已知正项数列”的前项和为Szf,且满足5”=4外+求打求Wrw+1+.+就;【答案】(I)SZf=G;(2)TT1【分析】(1)先令=1求出首项，再由数列的递推公式，当“2时，氏=5一SIT代入并结合等差数列的定义和通项公式求出S.(2)由第一问S”的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果【详解】(1)根据题意可得。”0,当=1时，S=q=g1%+:,解得q=1,由%=Stt-Sz,“2代入得S”=以整理后得SMt=,，即SS3=1
8、,根据等差数列的定义可知，数列同是首项为1,公差为1的等差数列，则S；=l+(l)J=，s”=,-1111由可知邑=+一二 = l + 2+2+3+34+ lw w +1 -=J + l-1,5/2 1 3 VJ+,4 ,3 + . .+yn + -yfn+. + =Jn +1 -4SI+邑 s?+S3 S3 + S4 5+5+T7.已知勺 = 2-1,设=2 + 14%求数列出的前项和S”.【答案】【详解】所以 S. =4 +b2 + + o“11(/(3升+(-21)Z11_(-ll-2)112+,-122n+,-1对式子变形后再裂项：一瓶是分离常数8 .已知=J设%=42qt%+,求数列
9、匕的前项和2w-l【解析】4n14/L4-11_11二1(1J_Tn =cl +c2c3 + +c0 =w+ (1- 1+ 2w-l=w + 2wlJ 2+1(2w-l)(2zr+1)4n2-4n2-。-1)Q+1)2Q一12n+)9 .已知%=2+4,记=，数列也的前项和为求人n解析，地=/、=；Q-7?nan(2+4)41n+2J12n+1n+232+3G-4(+1)(+2)10 .已知勺二下可(eN)若=(2+l)d,求数列出的前项和乙,2w+l11【解析】“=而=；TmrsK,-M)+,()=(=三?-11 .已知=,证明：+-1+。,即可得证.【详解】解:1 +2 n+1 n+23=
10、n + 4 21 1 n + 2 ),则也=) _ W(7 + 2) H2)(+2)“ a， /(E4-+ +-2-= n+/7 + 2因为r .w+1 n+230,所以 + .4 2U + 1 n + 2L+a. 3+ -zL10=90.44JIll当为偶数时，CL西厂诉T(丁不二)“T10100O所以Ao=9O+j=-jp【题型4裂项相消(进阶)1、裂项相加：(1尸例：()“.j；+；)=(-1)：+：J，本类模型典型标志在通项中含有(一1)乘以一个分式.对于=(T)N可以裂项为a=(-l)rt4+e=(-1)4+%。向a+lan+)2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：n(n+1
11、)=-j(w+1)(?+2)-(n-)n(n+1)一般式，当公差为上时：kn(kn+k)=-kn(kn+k)(kn+2k)-(kn-k)kn(kn+k)3k3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘+22(wl)?(2_1_1n(n+)-2n(n+)-2n-1ww+Tj*F-w2rt-(w+l)2n一般结构a-)kn + ab + ak-bq (M-b)女( +l) + ban (kn-b)1邛( + 1) +可16 .若%=2I,数列也满足。=丑;上，也的前项和为7；,求7；anan+【答案】Tn【详解】由题可得2 = (T)/ 二严_(T)I (2-1)(2+1) -4-G-I2n +
12、1所以7；6,0，、17 .己知己=(+)(+2)若=(2+3)(-1)。，求的前项和。.【详解】=(2 + 3)(-1)Z= 6(-1)所以7；=4+&+“=-6；)+6J+691)(”3+白(-匹18 .已知=2-1,hn=anan+i,求数列勾的前项和4【答案】7；=%(42+61).【详解】当2时，ananan42-an_M+i=ananan42-an_1)=6anan+l=6bn,因此，=(A+2-!+)之4=!(%+(+2-。/3)=9”%/”+215),6=26On11C1则Tn=+4=2(的“+&+2-15)+axa2=-(2z-i2w+12m+3)-+3=-n(4z2+6j-
13、1),4=3满足上式,OO23所以7；=g(42+6l).19 .已知/=2-1,Z=(T)Z%,求数列4的前项和7；.【答案】。=2+2i=2MreN.n1-2/一2+1,”=2%-1,N【详解】当为偶数时，Tn=一6出+a2a3-a3a4+a4a5+(T)“%+l=。2(一+%)+4(-生+%)+.+4(-4-1+4+)y(3+27-l)=4(%+%+%)=4=2n(7+1)当n为奇数时，当=1时，7；=-3当3时，T=T_-(3+2/7-3)n一-的T=4，(2w-l)(2z+l)=-2w2-2+1经检验，7；也满足上式，所以当为奇数时，Tn=-2n2-2n+综上，数列间的前项和不_22
14、.2+1,=210420.己知=2-1,设C“二(一1)”2w+l(+1+)(+o,7L为数列仁的前项和，证明：n-162+14(+【详解】c=(-r2n+l.+l)(l)(1)由于y11(ED是递减的，所以k汨岛21 .已知=3，若q=8”DN*),求数列%的前项和4-1v7【详解】由bcn=N*),4w2-1k)_4+4_11可得3n(2w-l)(2wl)-311,(2-1)-311(2+1)则数列%的前项和为Illl11113013,33,33253n,(2w-l)3n(2w+l)311(2+1),己知勺=4-1,4=(7)”也吆，求数列4的前2+1项和耳【答案】8+ 1024+ 21.
15、,/ -w 8 + 2/ n”【详解】=(T)=(T) 4%8/1 + 2(4z-l)(4 + 3)(-1)”F 4 - 1 4 + 3所以&+1=4+b2+b3+b+i=l2kJ-U-W+_q(3IJ17IlJ(1115；I由一1加+3,18+38w+7j18+10-38n+724w+2122 .已知(+l=2,记a+1次=三二T为数列也的前项和，求小【解析】因为&+地二黑+2n+211所以(w2+n)(an+l)(n+l)2nn2n(11+1)2+,所以数列加的前项和为:12, (7 + l)Z,+ 1( + 1) 7, ,(+)2-123 .已知.=，设/jz,证明：+-+-.2,%-2
16、4【详解】解：因为b=2-qq*q+22川(+1)(+2)+1W(+2)h_14,2nzz(+l)-2n,(rt+l)(z+2),故“+%+=Illl112122223222323342,(w+1)2m+,(w+1)(w+2)111=:Jy27 .己知见=22，设a=1,鼠=丁、心在勒，求数列出的前2项和S2”.为偶数【详解】当为奇数时，+1=at=2211):则当为偶数时，+1=w.S2n=b+=(4+)+()+(),+(n-2+rt-l)=1+&“_1+2+4+(2-2)(2+2w-2)(-1)24n3 +w2 -n +=1+24n3八L2【题型6】倒序相加28 .“数学王子”高斯是近代数
17、学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个阶代数方程必有n个复数解等.若函数/（x）=og2台，设=1q=/（力+/（：卜/习+-3/（用6即d2）,则al+a2+a=.【答案】46【分析】先证/(x)+(lr)=2,由倒序相加法可得通项，然后可解.【详解】因为函数/(X)=Iog23的定义域为(0,1),设M(XQJ,N(x2,m)是函数y=f(x)图象上的两点，其中XpX2(0,1),且玉+x2=1,则有必+必=/(X)+/()=1g2+2=lg2/4=2,l-xll-x2l-(x,+x2)+xlx2从而当xe(0,
18、l)时，有：/(x)+(l-x)=2,当2时，/=/()+/()+/3)+匕+/(7)，所以（=1,又q=1,=1所以对一切正整数“，有,Cln-l,w2故有：41+2+i+“10=1+(1+2+3+9)=46.29 .（2023江西南昌统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法等等.已知某数列2-51丰26的通项对=2一52,则QI+出+%=（）1/=26A.48【答案】DB.49C.50D.51【分析】分离常
19、数后可得/+%2t=2,再利用倒序相加法，即可求解.【详解】当26时,2/-51_2-52+1T12-52-2-52-12(-26)/.an+=1+1+2(/?-26)2(52-26)2023,求的最小值.进而得出2x4*-83【分析】解法一：枚举；解法二：分组求和得出s.=M+1+”)，2&23Szj=弯2x,8,求解即可得出答案；解法三：分组求和得出Szi=乂兴求解即可得出答案.【详解】解法一：S9=al+a2+ai+a4+a5+a6+a7a8+a9=(cr1+ay+a5+a1+a9)+(a2+a4+a+a)=(1+2+3+4+5)+(23+25+27+29)=15+680=6952023
20、：又见0,则S.S/,且Sg2023品，所以的最小值为10.解法二：ACN时，S2k=al+a2+a3+-+a2k=(6+%+%+i)+(2+fl4+6,+2*)=(1+2+3+)+(23+25+27+22*)_住+1)8(4JI)-2+-3(Hl)8(4JI)2j-+1)4.2x48152*-l=2A-aIk-2+2=2+5所以S9=S2x5,1=竽+2，；-8=6952023，又可0,则邑5用，且S92023Skj,所以的最小值为10.解法三:当女eN时，S2k_.=+2tz3+a2k=(1+a3+a5+a2k)+(a2+a4+a6+a2k-2)=(l+2+3+)+(23+25+27+22
21、*,)M八 I)MiJ、 2( 1-4 )M% + l) 8(4*-1)2-+所以W=S-X=半+=6952023.又见0,则S,Sm,且S920231+,)+(+)=-(l+3+n-l)+(32+34+3n)yl+(w-l)W-柒1-9=d当为奇数时北=3向-1）-空上-3田JXO4o综上所述：TIX=,卜尸号-整为奇数（口”）-!，为偶数【题型8】通项含有(一1)的类型33.已知为奇数),若“=(T)%：,求数列4的前项和7；,=-12+22-32+42+-(-1)2为偶数(n=bi+b2+b3+-+bn为奇数时，-1为偶数=+-1+,即:Tn=n+bn=(-1,=(2 + l)(2-l)
22、 + (4 + 3)(4-3) + + (w(w-1)(w-(-1)+22)+(-32+42)+-(-1)2+2注意到-1为偶数，所以7；_,可使用偶数项和的结论，代人左侧求和结果：Tn_1则：TatlTn=(2+l)+(4+3)+(w+(n-l)V(W-D2+(/?-1)Mr-rmn+n综上：n=2+2M且旗偶数.34 .已知可二，设数列=(T);三(M),数列化也的前2项和为Q4-1思路点拨：注意到通项中含有“，会影响最后一项41Zn-1Zn1取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.n-,.bn=(-l)rt(3:-1)3w-l,为偶数即4=一(3_1),为奇数，厂.当为彳禺数时，S
23、n=(2+5)+(-8+11)hf(3-4)+(3-1)=,显然Sfr-99无解:当为奇数时，W=，+4用=电电一3(+1)-1=一，令S.-99,解得：66,结合为奇数得：的最小值为67.38 .已知数列%的前项和，,i=l,%0,cnan+=4Sn-l.计算的值，求4的通项公式；(2)设4=(-l)nrt+1,求数列b的前2n项和T2n.【答案】4=3,an=2-l弓.=4(2+l)【分析】(1)根据c、c，作差得到q+2一4=4,再根据等差数列通项公式计算可得;3“一院”(2)由(1)可得2=(-1)”(2-1乂2+1),利用并项求和法计算可得；【详解】(1)解：当=1时，乎2=4-l,
24、解得生=3,由题知=4S-1，%M+2=4S-1，由一得仆+1(4.2-4)=44“，因为%0,所以a”+?一q=4,于是：数列SJ的奇数项是以6=1为首项，以4为公差的等差数列,即4m=1+4(-1)=4-3=2(2-1)一1,偶数项是以4=3为首项，以4为公差的等差数列，即%”=3+4(-1)=4-1所以%的通项公式=In-；(2)解：由(1)可得“=(T)LlX2+1),h2n_+b2n=-(4n-3)(4z-1)+(4-1)(4+1)=4(4/-1)%2)+(4+4)+(%+&)=43+7+(4D=4x!0=4(2+1).39 .已知%=-112=求的前64项和Q.4【答案】也的前64
25、项和Q=8.【详解】=-=-r=(-y,(7i),an-1.7=-l+(2+1)-(+)+-()4-l+54-2)+(4+4-l)=-l+l+2-2-3+-62-63+63+64=64=8,即：几=8.，也的前64项和&=8.【题型9】奇偶数列求和重庆一中月考40 .己知数列%满足q=2,az、=；偶【，若S”=%+。?+/+%(wN),求S?”.【答案】2rt+3-3n-8an+1,”为奇数，【详解】证明七网为偶数.，设=e1=%“+2+1=(fl2n+1)+1=电川+2=2a2n+2=2(a2tl+1)=2bn,又4=%+1=(6+1)+1=400骨=2,.为以4为首项，2为公比的等比数列
26、.b=。+1=42-=2+,.a,tl=2+,-1,又。2”=的1+1=2+-.。21=2向2,所以S2”=(q+%+%+2”-1)+(“2+%+%+4”)= 2+3-3-8.4(l-2w)-n1-22021新高考1卷T1741 .已知数列q满足=1,Q+=.、/伸渊，求/的前20项和.勺+2.为偶数【答案】300.【详解】”+1=%+2吗/2=%+l+l,设a=。2”所以1,2=%+3,P+=+3,且友=。2=片+1=2,所以也是以2为首项，3为公差的等差数列，于是4=2,=5,bn=3n-l$20=%+2+%+。2。=(4+%+6+69)+(4+4+%+。20)=(Z)I+/?-+4一+bo1)+b+Z2+4+j=2x+j-l-io=3oo.22“-1,当为奇数时42 .(广东实验中学校考)己知数列(满足勺浦=(+3)当为偶数时，且的前100项和8=3775求凡的首项为；（2）记=-,数列也的前项和为4,求
