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1、数列的求和,专题二：,知识梳理,一.公式法：,等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式,2+4+6+2n=；1+3+5+（2n+1）=；,n2+n,(n+1)2,二、错位相减法求和:例如 是等差数列，是等比数列，求a1b1a2b2anbn的和三、分组求和:把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和四、并项求和:例如求10029929829722212的和五、裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项,六、倒序相加法：如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数
2、列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.七、归纳猜想法：先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。八、奇偶法:通过分组，对n分奇偶讨论求和,十、周期转化法 如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并,九、通项分析求和法：,例1：,求和：,10看通项，是什么数列，用哪个公式；20注意项数,例2：,运用倒序相加法,倒序相加法,如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.,类型a1+an
3、=a2+an-1=a3+an-2=,已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1，(a0)，求其前n项和,例3.,注意对a的讨论,例3.已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)，求其前n项和,思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5，2n1与等比数列a0，a，a2，an1对应项的积，可用错位相减法求和,解析：设Sn13a5a2(2n1)an1a得，aSna3a25a3(2n1)an：(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an.,当a1时，Snn2.,点评：若数列an，bn分别是等差、等比数列，则求数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法,错位相减法：,如果一个数列的各项
4、是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.,既anbn型,等差,等比,变式探究1：,1.设数列 满足a13a232a33n1an，aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn，求数列 的前n项和Sn.,变式探究2：,1设数列 满足a13a232a33n1，aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn，求数列 的前n项和Sn.,解析：(1)a13a232a33n1an，,(2)bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减，得2Sn332333nn3n1，,裂项求和法：,把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成
5、两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）,1特别是对于，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用(其中dan1an),常见的拆项公式有：,例4：1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？,局部重组转化为常见数列,并项求和,练习：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求Sn,S20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39,S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）,=20,=-21,（2）Sn=-1+3-5+7+(-1)
6、n(2n-1),练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+(1+2+22+2n-1),通项分析求和,通项,=2n-1,先求通项再处理通项,提示：运用周期性质,练习：,练习：,3求数列1,3，32，3n 的各项的和,练习：,4.在等差数列 中，a13，d2，Sn是其前n项的和，求：S.,练习：,1要求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决3数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和,4解决非等差、等比数列的求和，有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和5“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最重要的方法是考试重点考查的内容，应熟练掌握,
